通用的解題思路：
一、利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積及最值
1、根據(jù)已知條件得出拋物線(xiàn)解析式；
2、根據(jù)解析式，用公式法或配方法求出最值及取得最值時(shí)自變量的值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)、
二、實(shí)際問(wèn)題與拋物線(xiàn)
1、從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)模型；
2、數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題，需要注意自變量的取值范圍要使實(shí)際情況有意義。
1．（2022·安徽·中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線(xiàn)的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
(1)求此拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線(xiàn)段所示，點(diǎn)，在x軸上，MN與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線(xiàn)段， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，MN長(zhǎng)度之和．請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
（?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)，在拋物線(xiàn)AED上．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值；
（ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍（在右側(cè)）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（?。﹍＝m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：最大面積27，＋9≤P1橫坐標(biāo)≤；方案二：最大面積 SKIPIF 1 < 0 ＋≤P1橫坐標(biāo)≤
【分析】（1）通過(guò)分析A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）（?。┙Y(jié)合矩形性質(zhì)分析得出P2的坐標(biāo)為（m，－m2＋8），然后列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值；
（ⅱ）設(shè)P2P1＝n，分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值，從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍．
【詳解】（1）由題意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋8，將A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點(diǎn)P2，P3在拋物線(xiàn)AED上，
∴P2的坐標(biāo)為（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l(xiāng)＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，l有最大值為26，
即柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l＝m2＋2m＋24，l的最大值為26；
（ⅱ）方案一：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面積為（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴當(dāng)n＝3時(shí)，矩形面積有最大值為27，
此時(shí)P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此時(shí)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為＋9≤P1橫坐標(biāo)≤，
方案二：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面積為（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴當(dāng)n＝時(shí)，矩形面積有最大值為，
此時(shí)P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此時(shí)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ＋≤P1橫坐標(biāo)≤．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確識(shí)圖，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
2．（2023·山東青島·中考真題）許多數(shù)學(xué)問(wèn)題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開(kāi)后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線(xiàn)．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傘骨，的交點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)上，，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．分米，點(diǎn)A到x軸的距離是分米，A，B兩點(diǎn)之間的距離是4分米．

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
(2)分別延長(zhǎng)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F，E，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離；
(3)以?huà)佄锞€(xiàn)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為，將拋物線(xiàn)向右平移個(gè)單位，得到一條新拋物線(xiàn)，以新拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 SKIPIF 1 < 0 ．若，求m的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)2或4；
【分析】（1）根據(jù)題意得到 SKIPIF 1 < 0 ，，，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為代入求解即可得到答案；
（2）分別求出，所在直線(xiàn)的解析式，求出與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)F，E即可得到答案；
（3）求出拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到，表示出新拋物線(xiàn)找到交點(diǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)面積公式列方程求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，由題意可得，
SKIPIF 1 < 0 ，，，
∴，，
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入所設(shè)解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：設(shè)的解析式為：，的解析式為：，
分別將，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式為：，的解析式為：，
聯(lián)立直線(xiàn)解析式與拋物線(xiàn)得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為：；
（3）解：當(dāng)時(shí)，，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵拋物線(xiàn)向右平移個(gè)單位，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：， SKIPIF 1 < 0 （不符合題意舍去），，（不符合題意舍去），
綜上所述：m等于2或4；
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法及平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
1．（2024·安徽合肥·二模）如圖（1）是一個(gè)高腳杯的截面圖，杯體呈拋物線(xiàn)形（杯體厚度不計(jì)），杯底，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，，杯子的高度（即，之間的距離）為，所在直線(xiàn)為x軸，所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（1個(gè)單位長(zhǎng)度表示）．
(1)求杯體所在拋物線(xiàn)的解析式；
(2)將杯子向右平移，并倒?jié)M飲料，杯體與y軸交于點(diǎn)E（圖2），過(guò)D點(diǎn)放一根吸管，吸管底部碰觸到杯壁后不再移動(dòng)，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)E，設(shè)吸管所在直線(xiàn)的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，求k的取值范圍；
(3)將放在水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，液面恰好到達(dá)點(diǎn)D處（），如圖3．
①請(qǐng)你以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸，所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系；
②請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)杯子內(nèi)液體的最大深度．
【答案】(1)
(2)
(3)①，見(jiàn)解析；②
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，代入計(jì)算即可；
（2）先確定平移后的解析式為，再計(jì)算直線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)的解析式，結(jié)合喝過(guò)一次飲料后，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)，確定范圍即可．
（3）①根據(jù)題意，畫(huà)出符合題意的坐標(biāo)系即可，設(shè)與軸的交點(diǎn)為M，計(jì)算的長(zhǎng)即可得到坐標(biāo)．
②設(shè)點(diǎn)N是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，；過(guò)點(diǎn)N作軸，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)E，確定，計(jì)算得最大值，且最大值為，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)H，則，
故的最大值為．
【詳解】（1）∵，杯子的高度（即，之間的距離）為．
∴，，
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，
∴，
解得，
∴拋物線(xiàn)的解析式為．
（2）∵拋物線(xiàn)的解析式為，
∴平移后的解析式為．
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) SKIPIF 1 < 0 ，，
∴的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
∵，
∴平移后，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
∴，
解得；
∴；
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
∴，
解得；
∴，
根據(jù)題意，喝過(guò)一次飲料后，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)，
∴．
（3）①根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系如下，設(shè)與軸的交點(diǎn)為M，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為S，
∵，杯子的高度（即，之間的距離）為．
∴，，
∵水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵拋物線(xiàn)的解析式為，
設(shè)點(diǎn)N是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，；
過(guò)點(diǎn)N作軸，交于點(diǎn)G，
∵水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴，
∵，
∴，
過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)E，
∵軸，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，，
∴時(shí)，取得最大值，且最大值為，
過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)H，
則，
故的最大值為，
故液體的最大深度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，正切函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，特殊角的三角函數(shù)值，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法，正切函數(shù)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·安徽·一模）某公園要在小廣場(chǎng)上建造一個(gè)噴泉景觀，在小廣場(chǎng)中央處垂直于地面安裝一個(gè)高為1.25米的花形柱子，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線(xiàn)路徑落下，且在過(guò)OA的任一平面上拋物線(xiàn)路徑如圖1所示．為使水流形狀較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度，此時(shí)離地面2.25米．
(1)以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒(méi)有被水淋到，此時(shí)他離花形柱子的距離為米，求的取值范圍；
(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面處安裝射燈，射燈射出的光線(xiàn)與地面成45°角，如圖3所示，光線(xiàn)交匯點(diǎn)在花形柱子的正上方，其中光線(xiàn)所在的直線(xiàn)解析式為，求光線(xiàn)與拋物線(xiàn)水流之間的最小垂直距離．
【答案】(1)
(2)
(3)光線(xiàn)與拋物線(xiàn)水流之間的最小垂直距離為米．
【分析】（1）根據(jù)題意得到第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將拋物線(xiàn)設(shè)成頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出時(shí)的取值范圍即可；
（3）先作輔助線(xiàn)，作出直線(xiàn)的平行線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，然后設(shè)出直線(xiàn)的解析式，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式，利用相切，方程只有一個(gè)解，解出直線(xiàn)的解析式，從而得到直線(xiàn)與軸交點(diǎn)，最后利用銳角三角函數(shù)求出直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的距離．
【詳解】（1）根據(jù)題意第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
設(shè)第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)解析式為，
將點(diǎn)代入物線(xiàn)解析式，
，
解得，
第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)解析式為；
（2）根據(jù)題意，令，
即，
解得，，
，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，，
的取值范圍為；
（3）作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，分別交軸，軸于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，作，垂足為，如圖所示，
，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式，
，
整理得，
直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，
方程只有一個(gè)根，
，
解得，
直線(xiàn)的解析式為，
令，則，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
即，
射燈射出的光線(xiàn)與地面成角，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
光線(xiàn)與拋物線(xiàn)水流之間的最小垂直距離為米．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，直線(xiàn)的平移，直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切等知識(shí)，關(guān)鍵是求拋物線(xiàn)解析式．
3．（2024·安徽宿州·一模）如圖1，某灑水車(chē)的噴水口距地面．如圖2，已知噴水口噴出最遠(yuǎn)的水柱是拋物線(xiàn)：，軸是地面，位于軸上，則點(diǎn)，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)．（注：拋物線(xiàn)水柱的寬度忽略）
(1)求該灑水車(chē)噴水能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離的長(zhǎng)；
(2)如圖3，將拋物線(xiàn)向左平移使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，此時(shí)拋物線(xiàn)是該灑水車(chē)噴出的最近水柱，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)．
（ⅰ）求的長(zhǎng)；
（ⅱ）如圖4，已知一條隔離綠化帶的橫截面是矩形，，，設(shè)灑水車(chē)到綠化帶的距離 SKIPIF 1 < 0 ，若該灑水車(chē)在行駛過(guò)程中能澆到完整的這條隔離綠化帶，求d的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】
（1）根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可得a的值，令，解方程從而解決問(wèn)題；
（2）（?。┯蓪?duì)稱(chēng)軸知點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則下邊緣拋物線(xiàn)是由上邊緣拋物線(xiàn)向左平移得到的，可得的長(zhǎng)度；
（ⅱ）根據(jù)，，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值和最小值，從而得出答案；
【詳解】（1）解：∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
∴，
，
∴上邊緣拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為，
令，則，
解得或（舍去），
∴灑水車(chē)噴出水的最大射程為；
（2）（?。?duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
∴點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
∵平移后仍過(guò)點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 是由向左平移得到的，
，點(diǎn)C是由點(diǎn)B向左平移得到的，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，
；
（ⅱ），
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為1，
，
解得或（舍去）
，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，要使，
則，
∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，且時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，要使，則，
，灌溉車(chē)行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，
的最大值為
∵下邊緣拋物線(xiàn)，噴出的水能灌溉到綠化帶底部的條件是，
的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某蔬菜基地調(diào)灑水車(chē)來(lái)澆灌菜地，已知灑水的剖面是由、兩條拋物線(xiàn)和地面組成，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)為，其最高點(diǎn)離地面的高度是 SKIPIF 1 < 0 米，且恰好在點(diǎn)的正上方．
(1)如圖1，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求拋物線(xiàn)與軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

(2)如圖2，若大棚的一邊是防風(fēng)墻 SKIPIF 1 < 0 ，防風(fēng)墻距離點(diǎn)有11米，墻高米，要想所灑的水既能到墻邊又不會(huì)灑到墻外，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．

(3)如圖3，在（2）拋物線(xiàn)正好經(jīng)過(guò)墻角的條件下，為了防止強(qiáng)光灼傷蔬菜，菜農(nóng)將遮陰網(wǎng)（用線(xiàn)段表示，與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)）兩端固定在兩處，點(diǎn)距點(diǎn)正好2米．若是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求長(zhǎng)度的最大值．

【答案】(1)拋物線(xiàn)與軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式，最后令，求出對(duì)的x的值即可；
（2），則可求當(dāng)時(shí)，，然后根據(jù)所灑的水既能到墻邊又不會(huì)灑到墻外得出，即可求解；
（3）先求直線(xiàn)的表達(dá)式為，拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：把代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ．
將點(diǎn)代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得，
拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為．
令，得，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
拋物線(xiàn)與軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．
（2）解：設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ．
它經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)時(shí)，．
要想所灑的水既能到墻邊又不會(huì)灑到墻外，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入，求出
（3）解：由題意知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，
，解得
SKIPIF 1 < 0 ．
拋物線(xiàn)正好經(jīng)過(guò)墻角，
拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為．
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
軸，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的橫坐標(biāo)為．
SKIPIF 1 < 0 ．
，
當(dāng)時(shí)，取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
即長(zhǎng)度的最大值為 SKIPIF 1 < 0 米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題等知識(shí)，明確題意，運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象的頂點(diǎn)為M．矩形的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，
(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)的矩形．已知邊，分別與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，Q，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G．
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí)，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是
(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入拋物線(xiàn)的解析式即可求出c，把拋物線(xiàn)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①先判斷當(dāng)時(shí)，，的坐標(biāo)分別是，，再求出， SKIPIF 1 < 0 時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解；
②先求出，易得P，Q的坐標(biāo)分別是，，然后分點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方與點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是．
（2）①∵A在x軸上，B的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是．
當(dāng)時(shí)，，的坐標(biāo)分別是，．
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是2，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1．
∵，
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面積為1，，
∴．
根據(jù)題意，得P，Q的坐標(biāo)分別是，．
如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方時(shí)，，
此時(shí)（在的范圍內(nèi)），

如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方時(shí)，，
此時(shí)（在的范圍內(nèi)）．
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·河北保定·二模）如圖，某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為．運(yùn)動(dòng)員（將運(yùn)動(dòng)員看成一點(diǎn)）在空中運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線(xiàn)．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在空中最高處A點(diǎn)的坐標(biāo)為，正常情況下，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰、打開(kāi)動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)失誤．運(yùn)動(dòng)員入水后，運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)為另一條拋物線(xiàn)．

(1)求運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)的解析式并求出入水處B點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，恰好距點(diǎn)E的水平距離為5米，問(wèn)該運(yùn)動(dòng)員此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；
(3)在該運(yùn)動(dòng)員入水點(diǎn)的正前方有M，N兩點(diǎn)，且，，該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)解析式為且頂點(diǎn)C距水面4米，若該運(yùn)動(dòng)員出水點(diǎn)D在之間（包括M，N兩點(diǎn)），請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)該運(yùn)動(dòng)員此次跳水失誤了，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，將代入即可求得解析式；令，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求出距點(diǎn)E水平距離為5米的點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可進(jìn)行判斷；
（3）分別求出當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的的值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為
將代入解析式得：
∴拋物線(xiàn)的解析式為
令，則
解得：
∴入水處B點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）解：距點(diǎn)E的水平距離為5米，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為：
將代入解析式得：
∵
∴該運(yùn)動(dòng)員此次跳水失誤了
（3）解：∵，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為
∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：
∵該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)解析式為頂點(diǎn)C距水面4米
，
∴當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，把點(diǎn)M代入得：
同理，當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
由點(diǎn)D在之間可得：
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．涉及了拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式、求拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)等．熟記二次函數(shù)的相關(guān)形式是解題關(guān)鍵．
7．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某小區(qū)的景觀池中安裝一雕塑，米，噴出兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線(xiàn)（圖中的，）的部分圖象，兩條拋物線(xiàn)的形狀相同且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，且經(jīng)測(cè)算發(fā)現(xiàn)拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)（頂點(diǎn)）C距離水池面米，且與的水平距離為2米．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；
(2)求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)小明同學(xué)打算操控微型無(wú)人機(jī)在，之間飛行，為了無(wú)人機(jī)的安全，要求無(wú)人機(jī)在豎直方向上的活動(dòng)范圍不小于米，設(shè)無(wú)人機(jī)與的水平距離為m，求m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)
【分析】（1）由題意可知過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn)，且，代入解析式可求得解析式；
（2）兩條拋物線(xiàn)的形狀相同且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同且經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求得解析式，再根據(jù)題意進(jìn)行取舍即可；
（3）無(wú)人機(jī)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)題意列出不等式，求解即可．
【詳解】（1）解：由已知可得：過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn)，設(shè)其解析式為，
代入兩點(diǎn)，由的橫坐標(biāo)為可得，
，解得：，
故的解析式為：；
（2）解：兩條拋物線(xiàn)的形狀相同，
設(shè)的解析式為，
已知經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，故的解析式為①，
頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，
SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入①，
可得：，
解得：，
故的解析式為②或③，
由圖可知的終點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0，而②中不合題意，故舍去②，
令將代入，
解得或（舍去），
故點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：由題意可得：，
解得：，
又，
解得：，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確求出函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．
8．（2023·安徽蕪湖·二模）某大型樂(lè)園包含多項(xiàng)主題演出與游樂(lè)項(xiàng)目，其中過(guò)山車(chē)“沖上云霄”是其經(jīng)典項(xiàng)目之一．如圖所示，A→B→C為過(guò)山車(chē)“沖上云霄”的一部分軌道（B為軌道最低點(diǎn)），它可以看成一段拋物線(xiàn)．其中米，米（軌道厚度忽略不計(jì)）．
(1)求拋物線(xiàn)A→B→C的函數(shù)關(guān)系式；
(2)在軌道距離地面5米處有兩個(gè)位置P和C，當(dāng)過(guò)山車(chē)運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，又進(jìn)入下坡段C→E （接口處軌道忽略不計(jì)）．已知軌道拋物線(xiàn)C→E→F的大小形狀與拋物線(xiàn)A→B→C完全相同，求的長(zhǎng)度；
(3)現(xiàn)需要對(duì)軌道下坡段A→B進(jìn)行安全加固，架設(shè)某種材料的水平支架和豎直支架、、、，且要求． 如何設(shè)計(jì)支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)
(3)當(dāng)時(shí)用料最少，最少需要材料米
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）先求出，坐標(biāo)，再求出長(zhǎng)度，通過(guò)拋物線(xiàn)的形狀與拋物線(xiàn)完全相同，平移長(zhǎng)度為，可得拋物線(xiàn)解析式，可得結(jié)論；
（3）先設(shè)出，橫坐標(biāo)，再代入解析式，分別求出， SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)，然后求出、、、之和的最小值，從而求出最少所需材料．
【詳解】（1）解：由圖象可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，
拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，，
SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 ，，
SKIPIF 1 < 0 ，
拋物線(xiàn)的形狀與拋物線(xiàn)完全相同，
拋物線(xiàn)由拋物線(xiàn)右平移個(gè)單位，
拋物線(xiàn)為： SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)時(shí)，，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設(shè)，， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
開(kāi)口向上，
當(dāng)時(shí)，最短，最短為米，
即當(dāng)時(shí)用料最少，最少需要材料米．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及平移的性質(zhì)，關(guān)鍵用拋物線(xiàn)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題．
9．（2023·安徽蚌埠·二模）如圖，蚌埠花博園要建造一圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)柱子，O恰在水面中心，高3米，如圖1，由柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各方面沿形狀相同的拋物線(xiàn)落下．
(1)如果要求設(shè)計(jì)成水流在離距離為1米處達(dá)到最高點(diǎn)，且與水面的距離是4米，那么水池的內(nèi)部半徑至少要多少米，才能使噴出的水不致落到池外；（利用圖2所示的坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算）
(2)若水流噴出的拋物線(xiàn)形狀與（1）相同，水池內(nèi)部的半徑為5米，要使水流不落到池外，此時(shí)水流達(dá)到的最高點(diǎn)與水面的距離應(yīng)是多少米？
【答案】(1)水池的內(nèi)部半徑至少要3米
(2)米
【分析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式，求出時(shí)的的值，即可得解；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，待定系數(shù)法求出解析式，將解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵水流在離距離為1米處達(dá)到最高點(diǎn)，且與水面的距離是4米，
∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，由題意，得：拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
∴，解得：，
∴．
當(dāng)時(shí)，
，
解得：（舍去），．
∴水池的內(nèi)部半徑至少要3米；
（2）根據(jù)水流噴出的拋物線(xiàn)形狀與（1）相同，得到新的拋物線(xiàn)解析式的，
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，由題意，得：拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴，
∴此時(shí)水流達(dá)到的最高點(diǎn)與水面的距離應(yīng)是米．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·安徽合肥·二模）如圖1所示的某種發(fā)石車(chē)是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器，將發(fā)石車(chē)置于山坡底部處，以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)看，其飛行路線(xiàn)可以近似看作拋物線(xiàn)的一部分，山坡上有一堵防御墻，其豎直截面為，墻寬米，與軸平行，點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為米、垂直距離為米．
(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為米，
①求拋物線(xiàn)的解析式；
②試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明石塊能否飛越防御墻；
(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部上（包括端點(diǎn)、），求的取值范圍，
【答案】(1)；②石塊能飛越防御墻；
(2)
【分析】（1）①根據(jù)題意得拋物線(xiàn)解析式為：，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
②根據(jù)題意，得出，將代入解析式計(jì)算，即可求解．
（2）依題意得出，進(jìn)而根據(jù)以及原點(diǎn)分別待定系數(shù)法求解析式即可求解．
【詳解】（1）解：①∵發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為米，
∴拋物線(xiàn)解析式為：，
將點(diǎn)代入得，，
解得：，
∴拋物線(xiàn)解析式為，
∴，
②∵點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為米、垂直距離為米．
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴石塊能飛越防御墻；
（2）∵，，
∴
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，
，解得：.
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，
，解得：
∴要使石塊恰好落在防御墻頂部上（包括端點(diǎn)、），的取值范圍為
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）萬(wàn)達(dá)樂(lè)園的過(guò)山車(chē)是其經(jīng)典項(xiàng)目之一．如圖，B→D→C為過(guò)山車(chē)的—部分軌道，若這部分軌道可以用拋物線(xiàn)來(lái)刻畫(huà)，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的水平距離米，點(diǎn)B到工軸（代表地面）的距離米，B，C間的水平距離為12米．
(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)過(guò)山車(chē)運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了2米至H點(diǎn)，又進(jìn)入下一段軌道H→F→G．已知軌道H→F→G的形狀與軌道B→D→C完全相同，若某名游客從B→D→C軌道滑行至H→F→G軌道，起點(diǎn)和終點(diǎn)距離地面均為8米，則該游客移動(dòng)的最大水平距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）
(3)已知軌道B→M→N→C和軌道B→D→C關(guān)于對(duì)稱(chēng)，現(xiàn)需要在軌道B→M→N→C下進(jìn)行安全加固，建造支架，且，支架的價(jià)格是元/米，如何設(shè)計(jì)支架，使得造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？
【答案】(1)
(2)米
(3)兩個(gè)支架相距3.6米時(shí)，造假最低為元
【分析】（1）根據(jù)題意確定，即可得出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，然后將點(diǎn)B代入解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意分析：當(dāng)游客最開(kāi)始實(shí)在段上距離地面8米，最后位置是在段上距離地面8米處停下時(shí)，水平移動(dòng)的距離最大，然后確定出拋物線(xiàn)的解析式，再代入求解即可；
（3）根據(jù)題意確定拋物線(xiàn)解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，將將點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入解析式，得出的解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵B到y(tǒng)軸的水平距離米，點(diǎn)B到工軸（代表地面）的距離米，B，C間的水平距離為12米．
∴，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：
將點(diǎn)B代入拋物線(xiàn)解析式得：
，
解得：，
∴拋物線(xiàn)的解析式為；
（2）解：當(dāng)游客最開(kāi)始實(shí)在段上距離地面8米，最后位置是在段上距離地面8米處停下時(shí)，水平移動(dòng)的距離最大，
當(dāng)時(shí)，在拋物線(xiàn)段上，，
解得：（不符合題意，舍去），
∵B，C間的水平距離為12米，過(guò)山車(chē)運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了2米至H點(diǎn)，
∴拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn)向右平移12+2=14個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，在拋物線(xiàn)段上，，
解得：（不符合題意，舍去），
∴該游客移動(dòng)的最大水平距離為：米；
（3）解：由（1）得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)D到的距離為米，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
∵拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為即
∴拋物線(xiàn)解析式為，
將點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入解析式得：，，
∴，
關(guān)于a的方程的對(duì)稱(chēng)軸為，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
∴，
∴最低造價(jià)為元，
∴兩個(gè)支架相距3.6米時(shí)，造假最低為元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·安徽合肥·二模）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組以樓梯為場(chǎng)景設(shè)計(jì)的小球彈射實(shí)驗(yàn)示意圖，樓梯平臺(tái)寬為3，前方有六個(gè)臺(tái)階（各拐點(diǎn)均為90°），每個(gè)臺(tái)階的高為2，寬為2，樓梯平臺(tái)到x軸距離，從y軸上的點(diǎn)C處向右上方彈射出一個(gè)小球P（小球視為點(diǎn)），飛行路線(xiàn)為拋物線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P落到臺(tái)階后立即彈起，其飛行路線(xiàn)是與L形狀相同的拋物線(xiàn)．
(1)通過(guò)計(jì)算判斷小球P第一次會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；
(2)若小球P第二次的落點(diǎn)在臺(tái)階中點(diǎn)M上，求小球P第二次飛行路線(xiàn)的解析式；
(3)若小球P再次從點(diǎn)M處彈起后落入x軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿也為接收），接收裝置最大截面為矩形 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E橫坐標(biāo)為16，，，求出小球第三次飛行路線(xiàn)的頂點(diǎn)到x軸距離最小值．
【答案】(1)臺(tái)階上．
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，第二個(gè)臺(tái)階的左端點(diǎn)坐標(biāo)為，右端點(diǎn)坐標(biāo)為，計(jì)算，時(shí)的y值，運(yùn)用夾逼法確定交點(diǎn)位置．
（2）根據(jù)（1）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為，再次著地左端點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，結(jié)合臺(tái)階寬為2，得到點(diǎn)P的落地點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)解析式求解即可．
（3）根據(jù)（2）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為，再次著地近地點(diǎn)坐標(biāo)為，遠(yuǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)解析式求解即可．
【詳解】（1）∵樓梯平臺(tái)寬為3，每個(gè)臺(tái)階的高為2，寬為2，，
∴第二個(gè)臺(tái)階的左端點(diǎn)坐標(biāo)為，右端點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故與拋物線(xiàn)交點(diǎn)在， 之間，
當(dāng)時(shí)，，
解得（舍去）
∴小球落在第二個(gè)臺(tái)階上，此時(shí)點(diǎn)．
（2）根據(jù)（1）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為，再次著地左端點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，結(jié)合臺(tái)階寬為2，得到點(diǎn)P的落地點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)解析式，
得，
解得．
故解析式為．
（3）根據(jù)（2）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為，近地點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)解析式，
得，
解得．
故解析式為，
此時(shí)，函數(shù)的最小值為．
根據(jù)（2）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為，遠(yuǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)解析式，
得，
解得．
故解析式為，
此時(shí)，函數(shù)的最小值為．
∵，
∴小球第三次飛行路線(xiàn)的頂點(diǎn)到x軸距離最小值是．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，求函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法，拋物線(xiàn)的最值是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·河北唐山·一模）為了給觀光綠化帶澆水，擬安裝一排噴水口，如圖 為噴水口噴水的橫截面，該噴水口 SKIPIF 1 < 0 離地豎直高度 為 ，可以把噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線(xiàn)的部分圖象：把綠化帶橫截面抽象為矩形，其中 ，其下邊緣拋物線(xiàn)是由上邊緣拋物線(xiàn)向左平移得到，上邊拋物線(xiàn)最高點(diǎn) 離噴水口的水平距離為，高出噴水口， 噴水口到綠化帶的水平距離 為（單位： SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)求上邊緣拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
(2)通過(guò)計(jì)算求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)綠化帶右側(cè)（圖中點(diǎn)的右側(cè)）米外是人行道，要使噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，同時(shí)不會(huì)淋濕行人，直接寫(xiě)出的取值范圍．
【答案】(1)，米；
(2)
(3)
【分析】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，
（1）由題意可知：頂點(diǎn)坐標(biāo)， SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式為：，令 SKIPIF 1 < 0 即可求出米；
（2）利用 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：，可知下邊緣拋物線(xiàn)是由上邊緣拋物線(xiàn)向左平移4個(gè)單位得到，求出下邊緣拋物線(xiàn)為： SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)一步可求出，即可求解．
（3）當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，d有最小值，此時(shí)；當(dāng)上邊緣拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，d有最大值，；所以．
【詳解】（1）解：由題意可知：，故設(shè)上邊緣拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為：，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
將其代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得：，
∴上邊緣拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為：，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或，
∵點(diǎn)C在x軸的正半軸，
∴，即噴出水的最大射程米．
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：，
∴下邊緣拋物線(xiàn)是由上邊緣拋物線(xiàn)向左平移4個(gè)單位得到，
∴下邊緣拋物線(xiàn)為： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)B在正半軸上，
∴．
（3）解：綠化帶右側(cè)（圖中點(diǎn)的右側(cè)）米外是人行道，
此時(shí)
則，
當(dāng)d有最小值，
當(dāng)上邊緣拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值，
∵，．
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：或，
結(jié)合圖象可知： SKIPIF 1 < 0
∴d的最大值為：；
∴．
14．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）
【答案】任務(wù)1：
任務(wù)2：的高度為米
任務(wù)3：
【分析】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，
任務(wù)1：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式，再將代入即可得到結(jié)論；
任務(wù)2：令（1）拋物線(xiàn)，得，求出，再依據(jù)即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)圖3中拋物線(xiàn)解析式為，代入即可求解．
任務(wù)3；設(shè)，根據(jù)題意得從點(diǎn)噴射的拋物線(xiàn)水柱頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由于拋物線(xiàn)形狀相同，可得拋物線(xiàn)表達(dá)式為，把代入可得，可得函數(shù)關(guān)系式，再把點(diǎn)代入即可得出結(jié)論．
【詳解】解：任務(wù)1：以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示．
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵水柱距水池中心處到達(dá)最高，高度為，
∴左側(cè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為，
設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，
把 SKIPIF 1 < 0 代入得，
∴即．
任務(wù)2：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系
∵兩種噴水頭均能?chē)娚渑c圖2中形狀相同的拋物線(xiàn)．
設(shè)的最高高度為．
∴設(shè)圖3中拋物線(xiàn)解析式為
由（1）可得圖2中的拋物線(xiàn)解析式為:
令，得，
解得（舍去），，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
將 SKIPIF 1 < 0 代入
解得：
∴的最高高度為米
任務(wù)3：如圖．
設(shè)，∵乙噴水頭噴射水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)P的高度差為
∴從點(diǎn)P噴射的拋物線(xiàn)水柱頂點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵拋物線(xiàn)形狀相同，
∴拋物線(xiàn)表達(dá)式為，
把代入得，
解得或（舍去），
∴，
∵噴出的水柱高度不低于，
∴
∴
又∵要求水柱不能碰到圖2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．
由（2）可得
代入
即
解得：
∴
∴噴水裝置高度的變化范圍為．
15．（2024·河北石家莊·一模）圖1為某游樂(lè)場(chǎng)過(guò)山車(chē)的一部分滑道設(shè)施，為研究過(guò)山車(chē)沿滑道運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)知識(shí)，小李使用電腦軟件將這部分滑道抽象出如圖2所示的函數(shù)圖象，并模擬過(guò)山車(chē)（抽象為點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)．線(xiàn)段是一段直滑道，點(diǎn)A在y軸上，且．滑道為拋物線(xiàn)：的一部分，在點(diǎn)處達(dá)到最低，點(diǎn)B，D到x軸的距離相等，其中點(diǎn)B到點(diǎn)A的水平距離為2，軸于點(diǎn)G．滑道與滑道可看作形狀相同、開(kāi)口方向相反的兩段拋物線(xiàn)，點(diǎn)．
(1)求拋物線(xiàn)和的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)過(guò)山車(chē)沿滑道從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過(guò)程中，過(guò)山車(chē)到x軸的距離為1.5時(shí)，求它到出發(fā)點(diǎn)A的水平距離；
(3)點(diǎn)M為上的一點(diǎn)，求點(diǎn)M到和到x軸的距離之和（圖中 SKIPIF 1 < 0 ）的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，的函數(shù)表達(dá)式為
(2)或 SKIPIF 1 < 0
(3)和長(zhǎng)度之和的最大值為4．此時(shí)M的坐標(biāo)為
【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求出滑道和 的解析式即可；
（2）先求出直線(xiàn)的解析式，再分析時(shí)在各段函數(shù)上的對(duì)應(yīng)值，最后計(jì)算各點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離即可；
（3）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則，，整理出 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于的函數(shù)解析式，分析判斷最值即可得到點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：滑道； 的頂點(diǎn)為點(diǎn)，
即，
點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離為2，
將 SKIPIF 1 < 0 代入，
SKIPIF 1 < 0
點(diǎn)．
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
滑道 與滑道 是形狀完全相同、開(kāi)口方向相反的拋物線(xiàn)，
可設(shè)拋物線(xiàn) 的函數(shù)表達(dá)式為．
將點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 分別代入得：
，解得，
拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ．
將，代入 SKIPIF 1 < 0 得：
，解得，
直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為．
點(diǎn)為拋物線(xiàn) 的頂點(diǎn)，
拋物線(xiàn) 不存在 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn)．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，．
，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)圖像可知 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，過(guò)山車(chē)到出發(fā)點(diǎn)的水平距離為：或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則，，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
點(diǎn)為上一點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的值隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)時(shí)，和長(zhǎng)度之和的最大值為4．
此時(shí)的坐標(biāo)為．
16．（2024·浙江嘉興·一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【答案】任務(wù)1：見(jiàn)解析，；任務(wù)2：水流無(wú)法噴灌到草坡最遠(yuǎn)處,理由見(jiàn)解析；任務(wù)3：樹(shù)可以被灌溉到，理由見(jiàn)解析；的取值范圍．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的平移，解直角三角形的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
任務(wù)1：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)、代入求出、的值，即可得到拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
任務(wù)2：設(shè)草坡最遠(yuǎn)處為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn)，結(jié)合坡度解直角三角形，求出，，得到，再求出當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，的值，比較即可得到答案；
任務(wù)3：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，結(jié)合坡度解直角三角形，得到，再求出當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，的值，比較即可得到答案．由題意可知，移動(dòng)后的解析式為，求出，將點(diǎn)代入解析式求出的值，即可得到的取值范圍．
【詳解】解：任務(wù)1：
如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，
由圖象可知，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)、，
則，解得：，
∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；
任務(wù)2：
水流無(wú)法噴灌到草坡最遠(yuǎn)處,理由如下：
如圖，設(shè)草坡最遠(yuǎn)處為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn)，
由題意可知，噴灌架置于坡度為 SKIPIF 1 < 0 的坡地底部點(diǎn)處． 草坡的長(zhǎng)度為米，
∴，，
設(shè)，，
由題意得：，
∴，
∴，，
∴，
在拋物線(xiàn)中，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，，
∵，
∴水流無(wú)法噴灌到草坡最遠(yuǎn)處；
任務(wù)3：
樹(shù)能否被灌溉到，理由如下：
由題意可知，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，
由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ，，
∵坡度為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴，，
在拋物線(xiàn)中，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，，
∵，
∴樹(shù)可以被灌溉到，
由題意可知，將噴灌架向正后方向移動(dòng)米，則移動(dòng)后的解析式為，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，，
若要使樹(shù)被噴灌到，則，
解得：，（舍），
∴．
17．（2024·遼寧葫蘆島·一模）某廠家特制了一批高腳杯，分為男士杯和女士杯（如圖1），相關(guān)信息如下：
根據(jù)以上素材內(nèi)容，嘗試求解以下問(wèn)題：
(1)求拋物線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式；
(2)當(dāng)杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時(shí)，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為4cm，求兩者液體最上層表面圓面積之差；（結(jié)果保留）
(3)當(dāng)杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時(shí)，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度相等，兩者液體最上層表面圓面積相差，求杯中液體的深度．
【答案】(1)拋物線(xiàn)的解析式為，拋物線(xiàn)的解析式為：
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)杯中液體深度為或
【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)男士杯中液體與女士杯中液體最上層表面圓的半徑分別為 SKIPIF 1 < 0 ，,分別求出 SKIPIF 1 < 0 ，,即可得出結(jié)果；
（3）分和進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：點(diǎn)為拋物線(xiàn)和拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：，
將點(diǎn)代入，得，解得．
拋物線(xiàn)的解析式為：．
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：，將點(diǎn)代入，
得，解得．
拋物線(xiàn)FCG的解析式為：．
（2）解：設(shè)男士杯中的液體與女士杯中的液體最上層表面圓的半徑分別為，
由題可知，當(dāng)男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為時(shí)，．
在拋物線(xiàn)中：將代入解析式得，
，
兩者液體最上層表面圓面積之差為；
（3）解：設(shè)男士杯中的液體與女士杯中的液體最上層表面圓的半徑分別為，
當(dāng)時(shí)，
即
解得．此時(shí)深度為．
當(dāng)時(shí)，，
即．解得．
此時(shí)深度為．綜上所述：杯中液體深度為或．
18．（2024·河南信陽(yáng)·二模）安陽(yáng)市水冶鎮(zhèn)附近有一個(gè)馬氏莊園，莊園中的建筑房頂為懸山頂式構(gòu)造，獨(dú)特的屋頂線(xiàn)條設(shè)計(jì)可以在下雨時(shí)保證雨水流下時(shí)流到院中地面某處．如圖為一棟建筑的側(cè)面示意圖，下雨時(shí)，雨水順著房頂，經(jīng)走廊頂部水平管道流出，呈拋物線(xiàn)落到院中地面上點(diǎn)（可視為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)）．若走廊和頂部的寬度均為，屋高為，雨水落點(diǎn)距屋子的水平距離為，請(qǐng)根據(jù)題意，解決下列問(wèn)題．
(1)建立合適的坐標(biāo)系，求出雨水從頂點(diǎn)落到地面點(diǎn)的拋物線(xiàn)表達(dá)式；
(2)現(xiàn)計(jì)劃在院中安放一個(gè)高為的圓柱形洗手池，洗手池下面連接儲(chǔ)水裝置，可以對(duì)水資源重復(fù)利用，為使下雨時(shí)雨水正好可以落在洗手池的頂部中心 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)，請(qǐng)按設(shè)計(jì)計(jì)算雨水池的底面中心到墻面的距離的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用：
（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，方向?yàn)檎较蚪⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得，設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與之間的距離即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，方向?yàn)檎较蚪⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，
，，，
∴
，.
設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，
將點(diǎn)代入解析式可得，，
解得，
拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；
（2）解：若想讓雨滴正好落在 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 需在所在的拋物線(xiàn)上，
，，則與 SKIPIF 1 < 0 的距離為，
可設(shè)，，
將代入解析式可得，
，
解得，
19．（2023·河北邯鄲·二模）某公園要在小廣場(chǎng)建造一個(gè)噴泉景觀．在小廣場(chǎng)中央O處垂直于地面安裝一個(gè)高為米的花形柱子，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線(xiàn)路徑落下，為使水流形狀較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度，此時(shí)離地面米．
(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)的解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高米的張師傅卻沒(méi)有被水淋到，此時(shí)他離花形柱子的距離為d米，求d的取值范圍；
(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線(xiàn)與地面成角，如圖3，光線(xiàn)交匯點(diǎn)P在花形柱子的正上方，其中光線(xiàn)所在的直線(xiàn)解析式為，求光線(xiàn)與拋物線(xiàn)水流之間的最小垂直距離．
【答案】(1)
(2)
(3)光線(xiàn)與拋物線(xiàn)水流之間的最小垂直距離為米
【分析】（1）根據(jù)題意得到第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將拋物線(xiàn)設(shè)成頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入即可求出第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出時(shí)的取值范圍即可；
（3）先作輔助線(xiàn)，作出直線(xiàn)的平行線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，然后設(shè)出直線(xiàn)的解析式，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式，利用相切，方程只有一個(gè)解，解出直線(xiàn)的解析式，從而得到直線(xiàn)與軸交點(diǎn)，最后利用銳角三角函數(shù)求出直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的距離．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
設(shè)第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)解析式為，
將點(diǎn)代入物線(xiàn)解析式，
，
解得，
第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)解析式為；
（2）解：根據(jù)題意，令，
即，
解得，，
，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，，
的取值范圍為；
（3）解：作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，分別交軸，軸于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，作，垂足為，如圖所示，
，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式，
整理得，
直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，
方程只有一個(gè)根，
，
解得，
直線(xiàn)的解析式為，
令，則，
，
，
即，
射燈射出的光線(xiàn)與地面成角，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
光線(xiàn)與拋物線(xiàn)水流之間的最小垂直距離為米．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線(xiàn)的平移，直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求拋物線(xiàn)解析式．
20．（2024·陜西西安·一模）2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成中國(guó)民航商業(yè)運(yùn)營(yíng)國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)正式起步．12時(shí)31分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場(chǎng)，穿過(guò)隆重的“水門(mén)禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”，是國(guó)際民航中高級(jí)別的禮儀），如圖1，在一次“水門(mén)禮”的預(yù)演中，兩輛消防車(chē)從機(jī)翼兩側(cè)向斜上方噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線(xiàn)的一部分，當(dāng)兩輛消防車(chē)噴水口A、B的水平距離為80米時(shí)，兩條水柱恰好在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處相遇，此時(shí)相遇點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．如圖2，以地面兩輛消防車(chē)所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所在的鉛直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)寫(xiě)出點(diǎn)B、H的坐標(biāo)，并求出拋物線(xiàn)的關(guān)系式；
(2)兩輛消防車(chē)同時(shí)向后移動(dòng)相同的距離，此時(shí)兩個(gè)水柱的交點(diǎn)記為，若 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)求出兩輛消防車(chē)移動(dòng)的距離．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，；
(2)兩輛消防車(chē)應(yīng)同時(shí)向后移動(dòng)10米．
【分析】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，正確地求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 代入求得a的值即可；
（2）由題知，可得 SKIPIF 1 < 0 ． 設(shè)平移的后拋物線(xiàn)為 SKIPIF 1 < 0 ， 將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入求得m的值即可解答．
【詳解】（1）由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：，
；
（2）由題知，
．
同時(shí)移動(dòng)后兩條水柱形成的拋物線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，因此就是平移后任意一條拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，設(shè)右側(cè)消防車(chē)向后移動(dòng)了米，
則平移的后拋物線(xiàn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入上式，解得：或-10（舍），
因此要使 SKIPIF 1 < 0 ，兩輛消防車(chē)應(yīng)同時(shí)向后移動(dòng)10米．
設(shè)計(jì)噴水方案
素材1
圖1為某公園的圓形噴水池，圖2是其示意圖，O為水池中心，噴頭A、B之間的距離為20米，噴射水柱呈拋物線(xiàn)形，水柱距水池中心處達(dá)到最高，高度為，水池中心處有一個(gè)圓柱形蓄水池，其底面直徑為，高為米


素材2
如圖3、圖4，擬將在圓柱形蓄水池中心處建一能伸縮高度的噴水裝置，要求水柱不能碰到圖2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．經(jīng)調(diào)研，目前市場(chǎng)有兩種噴水頭均能?chē)娚渑c圖2中形狀相同的拋物線(xiàn)．其中，甲噴水頭以點(diǎn)P為最高點(diǎn)向四周?chē)娚渌?如圖3)，乙噴水頭噴射水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)P的高度差為 (如圖4)．

問(wèn)題解決
任務(wù)1
確定水柱形狀
在圖2中以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系，求左邊這條拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
選擇噴水裝置甲，確定噴水裝置的最高高度
若選擇甲裝置(圖3)，為防止水花濺出，當(dāng)落水點(diǎn)G、M之間的距離滿(mǎn)足時(shí)，不能再升高，求此時(shí)的最高高度．
任務(wù)3
選擇噴水裝置乙，擬定噴水裝置的高度范圍
若選擇乙裝置(圖4)，為了美觀，要求噴出的水柱高度不低于，求噴水裝置高度的變化范圍．
素材
如圖1，一個(gè)移動(dòng)噴灌架射出的水流可以近似地看成拋物線(xiàn)． 圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是米． 當(dāng)噴射出水流距離噴水頭米時(shí)，達(dá)到最大高度米．
素材
現(xiàn)將噴灌架置于坡度為的坡地底部點(diǎn)處． 草坡的長(zhǎng)度為米．
問(wèn)題解決
任務(wù)
請(qǐng)?jiān)趫D中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)
當(dāng)噴灌架底部位于點(diǎn)處時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明水流能否噴灌到草坡最遠(yuǎn)處．
任務(wù)
草坡上距離的水平距離為米處有一棵高度為米的樹(shù)需要被噴灌，當(dāng)噴灌架底部仍然在點(diǎn)處時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明樹(shù)能否被灌溉到．現(xiàn)將噴灌架向正后方向移動(dòng)米，若要使樹(shù)被噴灌到，求的取值范圍．
素材
內(nèi)容
素材1
如圖1，這種高腳杯從下往上分為三部分：
杯托，杯腳，杯體．杯托為一個(gè)圓，水平放置時(shí)候，杯腳經(jīng)過(guò)杯托圓心，并垂直任意直徑，杯體的水平橫截面都為圓，這些圓的圓心都在杯腳所在直線(xiàn)上．
素材2
圖2坐標(biāo)系中，特制男士杯可以看作由線(xiàn)段，，拋物線(xiàn)（實(shí)線(xiàn)部分），線(xiàn)段，線(xiàn)段繞軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形（不考慮杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由線(xiàn)段，，拋物線(xiàn)（虛線(xiàn)部分）繞軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形
素材3
已知，圖2坐標(biāo)系中，，記為，．

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