2024．06
考生注意：
1．本試卷共4頁，18道試題，滿分100分，考試時間90分鐘．
2．本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．
一、填空題（本大題共有10題，滿分35分，其中115題每題3分，610題每題4分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．】
1．已知向量，則______．
2．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．
3．已知（其中為正整數(shù)）是公比為的等比數(shù)列，且，則______．
4．已知角的終邊經(jīng)過點，則______．
5．已知向量，且，則實數(shù)______．
6．已知平面上兩點的坐標分別是是直線上的一點，且，則點的坐標是______．
7．在中，若，那么______．
8．設(shè)是正實數(shù)，將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到的曲線仍然是某個函數(shù)的圖像，則的最大值______．
9．已知角的終邊經(jīng)過點，則______．
10．函數(shù)的部分圖像的示意圖如圖所示，已知，且，則______．
二、選擇題（本大題共有3題，滿分12分，每題4分）
【每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得相應(yīng)分值，否則一律得零分．】
11．已知，則角的終邊所在的象限為第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
12．已知函數(shù)，且，則（ ）
A．11B．14C．17D．20
13．若函數(shù)在內(nèi)是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
三、解答題（本大題共有5題，滿分53分）
【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．】
14．（本題滿分10分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分5分）
已知一元二次方程．
（1）在復數(shù)范圍內(nèi)解該方程；
（2）設(shè)這個方程的兩個復數(shù)根在復平面上所對應(yīng)的向量分別為（為坐標原點），求與夾角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
15．（本題滿分10分）
設(shè)是數(shù)列的前項和（其中為正整數(shù)），已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，求．
16．（本題滿分10分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分5分）化簡下列各式：
（1）；
（2）．
17．（本題滿分11分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分4分）已知函數(shù)．
（1）某同學打算用“五點法”畫出函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像，列表如下：
請在答題紙上填寫上表的空格處數(shù)值，并寫出函數(shù)的表達式和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將（1）中函數(shù)的圖像向下平移個單位得到的圖像，若函數(shù)在閉區(qū)間上恰有兩個零點，請直接寫出實數(shù)的取值范圍．
18．（本題滿分12分，本題共有3個小題，第（1）小題滿分3分，第（2）小題滿分4分，第（3）小題滿分5分）
在某一個十字路口，每次亮綠燈的時長為（為時間單位：秒），那么每次綠燈亮時，在同一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口？
該問題涉及車長、車距、車速，前方堵塞狀況包括行人非機動車等因素．為了將問題簡化，在路況車況駕駛狀態(tài)等都良好的前提下，提出如下基本假設(shè)：
1．通過路口的車輛長度都相等；
2．等待通行時，前后相鄰兩輛車的車距都相等；
3．綠燈亮時，汽車都是沿同方向從靜止狀態(tài)勻加速啟動，到達最高限速汽車開始勻速行駛；
4．離路口信號燈最近的第一輛車在綠燈亮后延遲時間開始動起來．前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延遲時間相等，在延遲時間內(nèi)，車輛保持靜止；
5．按照交通安全法規(guī)行駛，行車秩序良好，沒有碰擦或堵塞等現(xiàn)象發(fā)生．
一名建模愛好者收集數(shù)據(jù)整理如下：
1．車長設(shè)為，取，車距設(shè)為，取，第一輛車離停車線距離為；
2．加速度記作，取，汽車在勻加速運動時段行駛路程；
3．前后車啟動延遲時間記為，??；
4．第輛車啟動延遲時間為；
5．該十字路口限速，換算為；
6．第輛車到達最高限速的時間為?。?br>設(shè)第輛車在綠燈持續(xù)時間內(nèi)駛離停車線的距離為．根據(jù)上述假設(shè)與數(shù)據(jù)，，依次類推．請你解決下列問題：
（1）求；（結(jié)果保留一位小數(shù)，單位：）
（2）對于第輛車，寫出函數(shù)的分段表達式；
（3）求在亮綠燈的內(nèi)，這一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口．
靜安區(qū)2023學年第二學期教學質(zhì)量調(diào)研
高一數(shù)學試卷含評分標準 2024.6
考生注意：
1．本試卷共4頁，18道試題，滿分100分，考試時間90分鐘．
2．本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．
一、填空題（本大題共有10題，滿分35分，其中題每題3分，題每題4分）
【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．】
1．已知向量，則______．-2
2．若復數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則______
3．已知（其中為正整數(shù)）是公比為的等比數(shù)列，且，則______．
3
4．已知角的終邊經(jīng)過點，則______．
5．已知向量，且，則實數(shù)______．2
6．已知平面上兩點的坐標分別是，是直線上的一點，且，則點M的坐標是______．（0，15）
7．在中，若，那么______．
8．設(shè)是正實數(shù)，將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到的曲線仍然是某個函數(shù)的圖像，則a的最大值為______．
9．已知角終邊上有一點，則______．
10．函數(shù)的部分圖像的示意圖如圖所示，已知，且，則______．
二、選擇題（本大題共有3題，滿分12分，每題4分）
【每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得相應(yīng)分值，否則一律得零分．】
11．已知，則角的終邊所在的象限為第（ ）象限．
A．—B．二C．三D．四
C
12．已知函數(shù)，且，則（ ）．
A．11B．14C．17D．20
B
13．若函數(shù)在內(nèi)是嚴格減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
D
三、解答題（本大題共有5題，滿分53分）
【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．】
14．（本題滿分10分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分5分）
已知一元二次方程．
（1）在復數(shù)范圍內(nèi)解該方程；
（2）設(shè)這個方程的兩個復數(shù)根在復平面上所對應(yīng)的向量分別為（為坐標原點），求與夾角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
解：
（1），方程有一對虛數(shù)根．（1分）（累計1分）
解得．（4分）（累計5分）
（2），（2分）（累計7分）
，求得
與夾角的大小為．（3分）（累計10分）
15．（本題滿分10分）
設(shè)是數(shù)列的前項和（其中為正整數(shù)），已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，求．
解：設(shè)公差為，
，（或者即，）（2分）（累計2分）
又，所以（或者）（2分）（累計2分）
解得．（2分）（累計6分）
所以為正整數(shù)（3分）（累計9分）
所以．（1分）（累計10分）
16．（本題滿分10分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分5分）
化簡下列各式：
（1）；
（2）．
解：（1）．（5分）（累計5分）（輔助角公式3分，結(jié)果2分）
方法2：（5分）（累計5分）
（兩角和與差公式3分，結(jié)果2分）
（2）．（5分）
（累計10分）
（誘導公式3分，化簡結(jié)果2分）
17．（本題滿分11分，本題共有2個問題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分4分）已知函數(shù)．
（1）某同學打算用“五點法”畫出函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像，列表如下：
請在答題紙?zhí)顚懮媳淼目崭裉?，并寫出函?shù)的表達式和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將（1）中函數(shù)的圖像向下平移個單位得到的圖像，若函數(shù)在閉區(qū)間上恰有兩個零點，請直接寫出的取值范圍．
解：．（3分）（累計3分）
（累計分）
單調(diào)遞增區(qū)間．（2分）（累計7分）
（2）的取值范圍是．（4分）（累計11分）（區(qū)間端點或者不等式值正確得2分，在區(qū)間端點值正確的前提下，區(qū)間端點處開閉或者不等式符號一處1分，共2分）
18．（本題滿分12分，本題共有3個小題，第（1）小題滿分3分，第（2）小題滿分4分，第（3）小題滿分5分）
在某一個十字路口，每次亮綠燈的時長為（s為時間單位：秒），那么，每次綠燈亮時，在同一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口？
該問題涉及車長，車距、車速、前方堵塞狀況，包括行人非機動車等因素．為了將問題簡化，在路況車況駕駛狀態(tài)等都良好的前提下，建模愛好者提出如下基本假設(shè)：
1．通過路口的車輛長度都相等；
2．等待通行時，前后相鄰兩輛車的車距都相等；
3．綠燈亮時，汽車都是沿同方向從靜止狀態(tài)勻加速啟動，到達最高限速汽車開始勻速行駛；4．離路口信號燈最近的第一輛車在綠燈亮后延遲1s時間開始動起來．前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延遲時間相等，在延遲時間內(nèi)，車輛保持靜止；
5．按照交通安全法規(guī)行駛，行車秩序良好，沒有碰擦或堵塞等現(xiàn)象發(fā)生．
一名建模愛好者收集數(shù)據(jù)整理如下：
1．車長設(shè)為，取，車距設(shè)為，取，第一輛車離停車線距離為；
2．加速度記作，取，汽車在勻加速運動時段行駛路程；
3．前后車啟動延遲時間記為，取；
4．第輛車啟動延遲時間為；
5．該十字路口限速，換算為，
6．第輛車到達最高限速的時間為?。?br>設(shè)第輛車在綠燈持續(xù)時間內(nèi)駛離停車線的距離為．根據(jù)上述假設(shè)與數(shù)據(jù)，，依次類推．請你解決下列問題：
（1）求；（結(jié)果保留一位小數(shù)，單位：m）
（2）對于第輛車，寫出函數(shù)的分段表達式；
（3）求在亮綠燈的15s內(nèi)，這一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口．
解：（1），（1分）
（2分）（累計3分）
（2）對第輛車，列出函數(shù)的分段表達式，相當于已經(jīng)解決一般化的問題．
通過對小汽車三個運動階段的分析，整理得：
（4分）（累計7分）
其中，，
或者寫成
（4分）（累計7分）
（表達式中可以保留，也可以寫成—；表達式書寫結(jié)果只要合理都應(yīng)適當給分，例如某段表達正確或者某個具體的正確，給1分；題設(shè)已經(jīng)明確，可以不寫）
（3）由于十字路口亮綠燈的時長為，即，于是，該實際問題可表述為數(shù)學問題：求的最大．（1分）（累計8分）
與計算的方法相同，計算，
，第8輛車沒有行駛到停車線時綠燈已經(jīng)結(jié)束，沒能通過十字路口．
在亮綠燈的內(nèi)，這一條直行道路上同方向至多有7輛汽車通過該十字路口．
（4分）（累計12分）
（從，解得正整數(shù)，計算進行判斷或者從遞減判斷亦可）
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