數(shù) 學(xué)
本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
3．奇函數(shù)對(duì)任意都有，且，則（ ）
A．－1B．0C．1D．2
4．已知命題“成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．8B．9C．16D．24
6．已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A．408B．672C．840D．1200
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠鋵?dǎo)函數(shù)，若對(duì)，，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，取得最小值D．使成立的的最大值為62
10．下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為4
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集為
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12．已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則______．
13．已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的值為______．
14．若正整數(shù)集的非空子集滿足：至少含有2個(gè)元素，且任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，則稱為數(shù)集的超子集．對(duì)于集合，記的超子集的個(gè)數(shù)為，則______，與的關(guān)系為______．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．（13分）已知函數(shù)在處取得極小值0．
（1）求的值，并說(shuō)明的單調(diào)性；
（2）若的一條切線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求切線的方程．
16．（15分）已知等差數(shù)列的前9項(xiàng)和，且．若數(shù)列滿足
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
17．（15分）2023年12月28日工業(yè)和信息化部等八部門發(fā)布了關(guān)于加快傳統(tǒng)制造業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)的指導(dǎo)意見，某機(jī)械廠積極響應(yīng)決定進(jìn)行轉(zhuǎn)型升級(jí)．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，轉(zhuǎn)型升級(jí)后生產(chǎn)的固定成本為300萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品需可變成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬(wàn)件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬(wàn)件時(shí)，．每件產(chǎn)品的售價(jià)為200元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部銷售完．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)的解析式；
（2）求利潤(rùn)函數(shù)的最大值．
18．（17分）已知函數(shù)，其中．
（1）直接寫出的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
（3）證明：．
19．（17分）意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達(dá)式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為．
（1）證明：①；
②．
（2）求不等式：的解集．
（3）已知函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2023—2024學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)6月階段考試
數(shù)學(xué) 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
1．C【解析】因?yàn)榧希?，所以?br>故選：C．
2．D【解析】由題意可知，要使有意義，則解得
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故選：D．
3．A【解析】因?yàn)閷?duì)任意都有，又，所以，所以函數(shù)的周期為12，所以．
故選：A．
4．A【解析】由命題“成立”是假命題，則命題“，成立”是真命題，即恒成立．令，則，且函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以．
故選：A．
5．C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，解得或（不合題意，舍去），所以．
又．令，即．
由題意得，是方程的兩個(gè)相異正根，
則，符合題意．
故選：C．
6．B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以．同理，當(dāng)時(shí)，成立，所以函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，且，
，即，于是，即．
故選：B．
7．D【解析】由，
所以
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相加，得，
所以
．
當(dāng)時(shí)，．
由，
兩式相減，得，
所以，
所以．
故選：D．
8．C【解析】令，
則，
所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
由于當(dāng)時(shí)，且，所以；
當(dāng)時(shí)，且，所以；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，得，所以在上恒成立?br>故選：C．
9．AC【解析】由題意可知，故A不正確；
又，所以，故不正確；
即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故正確；
因?yàn)椋允钩闪⒌牡淖畲笾禐?1，故D不正確．
故選：AC．
10．ACD【解析】對(duì)于，由，得，所以，故正確；
對(duì)于，要證成立，只需證，即證．
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，顯然，故B不正確；
對(duì)于，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；
對(duì)于，由，可得，所以．
由為正實(shí)數(shù)且，可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即
時(shí)等號(hào)成立，故D正確．
故選：ACD．
11．ACD【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱．
又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即．
令，則，故A正確；
令，則，所以．
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，所以，故B不正確；
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，即．
由，可得，
所以
，
故正確；
因?yàn)?，令?br>當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增．
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，
則在單調(diào)遞減，且，
所以不等式等價(jià)于，
則，即或，解得或，
故該不等式的解集為，故正確．
故選：ACD．
12．-2【解析】函數(shù)可視為函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于變量的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)函數(shù)
為，所以，所以．
13．6【解析】由的對(duì)稱軸為，則，解得
，則在上單調(diào)遞增，所以即所以為
方程的兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根，所以．
14．7【解析】由題意知，
，則超子集只有，所以；
，則超子集有，所以；
，則超子集有，所以
由此可以分析，對(duì)于的超子集可以分為兩類：
第一類是超子集中不含，這類超子集有個(gè)；
第二類是超子集中含，這類超子集同樣也包含兩類，一類在中取一個(gè)元素，個(gè)數(shù)為；另一類在中取兩個(gè)或兩個(gè)以上個(gè)元素，任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，個(gè)數(shù)為，所以．
15．（13分）解：（1）由題可得．
因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值0，
所以即解得
所以．
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）知．
設(shè)切點(diǎn)為，則，
切線方程為
因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，
所以，整理得，
解得，或
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即過(guò)點(diǎn)的切線方程為或
16．（15分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．
由，得，化簡(jiǎn)得．
又，即，
解得，
所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，②
①—②得，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
故．
（2）由于，
則，
又，
兩式相減，得
故
17．（15分）解：（1）由題意得，銷售收入為萬(wàn)元．
當(dāng)產(chǎn)量不足50萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)；
當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)
所以利潤(rùn)函數(shù)
（2）當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立
又，故當(dāng)時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大值為1000萬(wàn)元．
18．（17分）（1）解：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間是和，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間
（2）解：令．
要證明，即證明恒成立，且，
設(shè)，其中
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，
所以在上，，即，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，故滿足題意；
②當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)．
設(shè)的兩根為，
解得（舍），．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
則，與題意矛盾，故不滿足題意．
綜上，的取值范圍是
（3）證明：由（2）可知當(dāng)時(shí)，恒成立，
整理得．
令，即
所以，整理得
所以．
19．（17分）（1）證明：①
．
②
（2）解：因?yàn)楹愠闪?，故是奇函?shù)．
又因?yàn)樵谏蠂?yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，
故是上的嚴(yán)格增函數(shù)，
所以，即，
所以，解得，
即所求不等式的解集為
（3）解：由題可知，
所以
因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，．
要證明函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，只需證明在存在一個(gè)零點(diǎn)．
由，所以．
①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以在上單調(diào)遞增，
而，所以函數(shù)只存在一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若滿足，
即當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，顯然，
所以在存在一個(gè)零點(diǎn)，
所以在定義域上共存在三個(gè)零點(diǎn)．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

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