說(shuō)明：這是2024年大連市內(nèi)五區(qū)聯(lián)考初中學(xué)業(yè)水平模擬考試的最后一卷，祝2024年大連市所有考生考試順利，超常發(fā)揮，逐夢(mèng)未來(lái)．
甘井子區(qū)數(shù)學(xué)教研組
2023年6月
（本試卷共23道題 滿分120分 考試時(shí)間：120分鐘）
考生注意：所有試題必須在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，在本試卷上作答無(wú)效
第一部分 選擇題（共30分）
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．某銷(xiāo)售教輔材料的商家記錄了6天以來(lái)每天的盈虧情況，并用“＋”表示盈利，“－”表示虧損，他記錄的表格如下：
下列關(guān)于盈虧說(shuō)法正確的是（ ）
A．6天以來(lái)虧損了3元B．6天以來(lái)虧損了2元
C．6天以來(lái)盈利了12元D．6天以來(lái)盈利了6元
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊的面積為，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖所示為一個(gè)三棱錐的主視圖，已知其底面上由兩條棱所成角的度數(shù)均為60°，則這個(gè)三棱錐一定為（ ）
A．正三棱錐B．正四面體C．等腰四棱錐D．對(duì)稱四棱錐
4．關(guān)于一次函數(shù)的一些性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．與y軸的交點(diǎn)為；B．隨著x的增大而減??；
C．與垂直；D．與平行．
5．關(guān)于統(tǒng)計(jì)與概率下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平均數(shù)能夠間接反映數(shù)據(jù)波動(dòng)程度；
B．中位數(shù)是指一組從小到大排列的數(shù)據(jù)最中間的數(shù)；
C．對(duì)于拋硬幣實(shí)驗(yàn)而言，拋的次數(shù)越多，正反面朝上的概率越趨近于0.5；
D．2024年遼寧省數(shù)學(xué)考試難度大是必然事件．
6．雙曲線與拋物線在第一象限內(nèi)恰有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為（ ）
A．－4B．－3C．－2D．
7．下列命題的逆命題是真命題的是（ ）
A．具有對(duì)稱性的圖形是拋物線；B．對(duì)頂角相等；
C．全等三角形的三組內(nèi)角分別相等；D．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的拋物線判別式一定等于0．
8．對(duì)于一些圓錐曲線而言，從它們的一個(gè)焦點(diǎn)射出的一束光線會(huì)在它們的曲面上發(fā)生反射從另一個(gè)焦點(diǎn)射出．但是拋物線比較特殊，由于離心率，經(jīng)過(guò)它焦點(diǎn)的光線的反射光線會(huì)與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸平行．根據(jù)以上信息解答：如圖，一條拋物線的對(duì)稱軸為x軸，它的焦點(diǎn)在x軸正半軸．從射出一條光線交拋物線于C，點(diǎn)B在其反射光線上，若，圖中所示虛線為法線，則反射角度數(shù)為（ ）
A．37°B．32°C．29°D．54°
9．作為一種新興的紙牌游戲，“狼人殺”的規(guī)則如下：在一普通局中的角色分為好人和狼人，好人分為平民、女巫、守衛(wèi)、預(yù)言家，狼人分為狼王和小狼．在天黑后狼人先指明所刀對(duì)象（排隊(duì)刀自己的情況），女巫可以使用解藥或毒藥對(duì)其進(jìn)行解救（不能自救），守衛(wèi)可以守人來(lái)保護(hù)角色不被狼人殺死（可以守自己），預(yù)言家可以查驗(yàn)其他玩家的善惡．已知參與游戲的有10人，其中4個(gè)人是狼人，1個(gè)人是女巫，1個(gè)人是守衛(wèi)，1個(gè)人是預(yù)言家，1個(gè)人是法官（法官不參與游戲，身份已知并負(fù)責(zé)掌控全局），剩下全是平民．除了狼之外，其他玩家都不知道其他人的身份，狼也只能知道自己同伴的身份．下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．天黑后，預(yù)言家查驗(yàn)查到狼人的概率為；
B．天黑后，一個(gè)玩家被守衛(wèi)守的概率為；
C．天黑后，守衛(wèi)守到的是好人的概率為；
D．天黑后，若女巫使用解藥和毒藥的概率均為，一個(gè)玩家被狼人刀后被女巫救的概率．
10．如圖，在等邊中，點(diǎn)D在平面內(nèi)，，，則AD的最大值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
第二部分 非選擇題（共90分）
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．計(jì)算：______．
12．我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式．一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)如圖所示，則其面積為_(kāi)_____．
13．解方程：，其中______；______．
14．一個(gè)圓錐的底面直徑為4，側(cè)面表面積為，則母線長(zhǎng)為_(kāi)_____．
15．如圖，已知在梯形ABCD中，，，為等腰直角三角形，E落在CD上．若，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）
16．（10分）
（1）計(jì)算：；
（2）解方程：．
17．（8分）
某校計(jì)劃成立課外興趣小組，現(xiàn)需購(gòu)買(mǎi)攝影器材和編程機(jī)器人．已知購(gòu)買(mǎi)2套攝影器材和3個(gè)編程機(jī)器人所需費(fèi)用相同，購(gòu)買(mǎi)4套攝影器材和6個(gè)編程機(jī)器人需要34800元．
（1）購(gòu)買(mǎi)1套攝影器材和1個(gè)編程機(jī)器人分別需要多少元？
（2）校方?jīng)Q定批給小組100000元購(gòu)買(mǎi)器材，小明一共想要購(gòu)買(mǎi)機(jī)器人和器材一共15個(gè)，現(xiàn)在小明希望用100000元買(mǎi)不低于3套攝影器材，則求編程機(jī)器人購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)的取值范圍．
18．（8分）
如圖，點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)A下方，且點(diǎn)C坐標(biāo)為，連接OA，OC，過(guò)點(diǎn)A作軸交OC于點(diǎn)B，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．
（1）求反比例函數(shù)的函數(shù)解析式；
（2）觀察圖象，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）連接AC，求的面積．
19．（9分）
某中學(xué)藝術(shù)節(jié)期間，向全校學(xué)生征集書(shū)畫(huà)作品．王老師從全校14個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班，對(duì)征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì)，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖1、圖2）．
（1）王老師所調(diào)查的4個(gè)班征集到作品共______件，其中B班征集到作品______件，請(qǐng)把圖2補(bǔ)充完整；
（2）王老師所調(diào)查的四個(gè)班平均每個(gè)班征集作品多少件？請(qǐng)估計(jì)全校共征集到作品多少件？
（3）如果全校參展作品中有5件獲得一等獎(jiǎng)，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．現(xiàn)在要在其中抽兩人去參見(jiàn)學(xué)?？偨Y(jié)表彰座談會(huì)，用樹(shù)狀圖或列表法求出恰好抽中一男一女的概率．
20．（8分）
如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔80n mile的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔的距離為多遠(yuǎn)？
21．（8分）
如圖，在中，弦AB的長(zhǎng)為8，點(diǎn)C在BO延長(zhǎng)線上，且，．
（1）求的半徑；
（2）求的正切值．
22．（11分）
【課堂背景】大連市某中學(xué)的王老師以“幾何題目開(kāi)放探索”為主題，開(kāi)展了一節(jié)“綜合與實(shí)踐”的數(shù)學(xué)課．課堂上，王老師給出了這樣一個(gè)圖形，供同學(xué)們發(fā)揮幾何思維．
【設(shè)置情景】王老師給出了如下幾何圖形：
“如圖1，已知中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為外一點(diǎn)，連接AE、EC．此時(shí)我們假設(shè)這個(gè)幾何圖形滿足的數(shù)量關(guān)系．”
【提出問(wèn)題】擅長(zhǎng)幾何的小胖同學(xué)經(jīng)過(guò)思索后，為題目增加如下條件，請(qǐng)你幫他作答．
（1）“若，，再給出BD和AE的長(zhǎng)度，可以求出CD的長(zhǎng)度．”為了簡(jiǎn)化計(jì)算，王老師提出令，，，求CD的長(zhǎng)（結(jié)果無(wú)需化簡(jiǎn)）；
（2）在小胖的啟發(fā)下，同學(xué)們紛紛開(kāi)始積極地進(jìn)行討論．后來(lái)，小明與他的小組更改了題目的部分信息，令點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)，將條件“”改為了“”，其他條件不變，想要探究邊的關(guān)系．
王老師根據(jù)他們關(guān)于題目的修改，提出問(wèn)題，請(qǐng)你解答．
【拓展探索】“如圖2，已知中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，，若，探究AB、AC、EC的數(shù)量關(guān)系，并證明．
23．（12分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：（m為常數(shù)）與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作軸交拋物線于與點(diǎn)A相異的一點(diǎn)B．點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接BC．過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C．
（1）求證：直線BC恒過(guò)一定點(diǎn)；
（2）取拋物線與x軸的交點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P靠近原點(diǎn)O）．將點(diǎn)B向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)D，連接AD．以AD為對(duì)稱軸，將翻折得到．
①求證：當(dāng)落在x軸上時(shí)，恒與拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)重合；
②連接PA，當(dāng)時(shí)，求m的值；
③拋物線由旋轉(zhuǎn)180°后平移得到，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)落在拋物線上時(shí)，求m的值．天數(shù)/天
盈虧情況/元
1
＋10
2
－12
3
－24
4
＋15
5
＋9
6
－2

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