注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知命題，則為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，而命題是全稱量詞命題，所以為“”.
故選：B.
2. 已知，且為純虛數(shù)，則（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【答案】D
【解析】由題意可得為純虛數(shù)，
所以，所以.
故選：D.
3. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】因為，
由正態(tài)分布的對稱性可知，
所以.
故選：B.
4. 已知雙曲線的實軸長為6，焦點為，則的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意可得的焦點為，且實半軸長為3，
則虛半軸長為，雙曲線的方程為，
所以的漸近線方程為.故選：A.
5. 甲乙兩名大學(xué)生計劃今年五一假期分別從岳陽樓，常德桃花源，天門山，長沙橘子洲頭，茶峒古鎮(zhèn)五個不同的景區(qū)隨機(jī)選三個景區(qū)前往打卡旅游，則兩人恰好有兩個景區(qū)相同的選法共有（ ）
A. 36種B. 48種C. 60種D. 72種
【答案】C
【解析】先從5個景點選出2個相同的，有種，
再從剩下的3個景點選兩個分配給甲乙二人，有，
所以兩人恰好有兩個景區(qū)相同的選法共有種.故選：C.
6. 已知首項為3的數(shù)列滿足，則（ ）
A. -2B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】由題意知首項為3的數(shù)列滿足，
即，
所以數(shù)列的周期是4，
從而，故選：D.
7. 為了解某高中甲?乙兩個清北班一周內(nèi)的請假同學(xué)人數(shù)情況，采用樣本量比例分配分層隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行了調(diào)查.已知甲班調(diào)查了40名同學(xué)，其一周內(nèi)請假人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為5和1.65，乙班調(diào)查了60名同學(xué)，其一周內(nèi)請假人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為4和3.5，據(jù)此估計該校兩個清北班一周內(nèi)請假人數(shù)的總體方差為（ ）
A. 2.6B. 3C. 3.4D. 4.1
【答案】B
【解析】因為甲班調(diào)查了40人，則甲班所占比重為，
乙班調(diào)查了60人，則乙班所占比重為，
甲班平均數(shù)和方差分別為和乙班平均數(shù)和方差分別為和
設(shè)調(diào)查的總樣本的平均數(shù)為和方差為則，
故選：B.
8. 設(shè)是線段的中點，是直線外一點.為線段上的兩點，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于，即Q是的中點，知.
設(shè)，
同理得；
同時，則，
同理得.
因此由題意，
得.
同理可得，
結(jié)合，解得，所以，
故選：D
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.
9. 已知隨機(jī)變量，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】對于，由題意可得服從二項分布，故，故正確；
對于：因為，
所以，故B錯誤；
對于，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：AD.
10. 設(shè)數(shù)列的前項和為，且（為常數(shù)），則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若為等差數(shù)列，則
D. 若為等比數(shù)列，則
【答案】ACD
【解析】當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以，
對于A，若，則，
故，則，故A選項正確；
對于B，若，則，
故，則，故B選項錯誤；
對于C，若為等差數(shù)列，則當(dāng)時，是與無關(guān)的常數(shù)，
故只能有，即；
同時也是與無關(guān)的常數(shù)，且根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，這兩個常數(shù)是同一個數(shù)，
故，
所以，C選項正確；
對于D，若為等比數(shù)列，則當(dāng)時，，這是一個與無關(guān)的常數(shù)；
同時也是與無關(guān)的常數(shù)，且根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，這兩個常數(shù)是同一個數(shù)，
故，得，故D選項正確，
故選：ACD．
11. 已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A. 若曲線的圖象關(guān)于軸對稱，則
B. 若的圖象關(guān)于點中心對稱，則
C. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
D. 若區(qū)間內(nèi)有且僅有三個零點，則
【答案】ABD
【解析】由題意可得的最小正周期為，又，則，
所以，
對于A項，因為為偶函數(shù)，所以，
得，
因為，所以，故A正確；
對于B項，因為的圖象關(guān)于點中心對稱，
所以，得，
因為，所以，故B正確；
對于C項，由可得，
因，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得，故C錯誤；
對于D項，由可得，
因為，結(jié)合正弦函數(shù)圖象得，解得，故D項正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若為奇函數(shù)，則__________.
【答案】2024
【解析】由題意得函數(shù)的定義域為R,
，
，
由函數(shù)為奇函數(shù)，有，即，
解得.
故答案為：2024.
13. 陶瓷藝術(shù)源遠(yuǎn)流長，人們的日常生活中隨處可見，尤其房屋裝飾中瓷磚拼接的藝術(shù)頗具美感.當(dāng)一些縱向長度為1，橫向長度為2的矩形瓷磚在垂直或水平方向上沒有間隙即恰好拼成矩形時，其鋪設(shè)方法被稱為瓷磚的“布置”.設(shè)縱向長度為3，橫向長度為的長方形為.使用片磚的的“布置”方法總數(shù)為，則__________.
【答案】11
【解析】因為n=2,所以需要用6塊瓷磚鋪成縱向長度為3，橫向長度為4的矩形，
如圖所示：我們按水平瓷磚數(shù)量逐漸遞減的方式枚舉全部布置方法（6水平水平水平）.
故.
故答案為：11.
14. 若存在兩個不相等的正整數(shù)，使得對任意的都成立，則常數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為__________.
【答案】
【解析】由存在兩個不相等的正整數(shù)，使得，
可得，又，則，
因為題給不等式對任意滿足條件的自然數(shù)都成立，
則是的最大值，
根據(jù)組合數(shù)最大值的性質(zhì)，且，
可知為奇數(shù)，且，所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 在銳角中，角所對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，求的周長.
解：（1）因為
由正弦定理得，
因為為三角形一內(nèi)角，則，所以，
因為為銳角三角形，故；
（2）由余弦定理得，則，
即，即，因為，則，
所以的周長為.
16. 將4個形狀?大小?顏色均相同的排球隨機(jī)放入4個編號為的排球筐內(nèi)，每個排球筐最多可容納5個排球，記編號為2的排球筐內(nèi)最終的排球個數(shù)為.
（1）求編號為2的排球筐內(nèi)有球的概率；
（2）求的分布列.
解：（1）設(shè)事件“編號為的排球筐內(nèi)有球”為事件，
則；
（2）由題意，的可能取值為，，，，，
所以，，
，，.
所以的分布列為：
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線交橢圓于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為.
（1）用含的式子表示的中點坐標(biāo)；
（2）證明：直線過定點.
解：（1）由題意可得，設(shè)，則，
聯(lián)立，得，
則，
，
故中點坐標(biāo)為.
（2）直線，
當(dāng)時，，
所以直線過定點.
18. 如圖，直四棱柱的底面是菱形，，且直線與平面所成角為．
（1）求直四棱柱的高；
（2）在棱上是否能找到一點，使得平面與平面的夾角為？若能，求出的值；若不能，說明理由．
解：（1）設(shè)，
因為棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故兩兩垂直，
如圖，以分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
因為菱形中，，
所以，設(shè)，
則，，
所以
設(shè)平面的一個法向量為，則由,得，
令得，，
所以，
因為直線與平面所成角為，
所以，即，
解得．
（2）假設(shè)能找到這樣點，
設(shè)，且，
則，
設(shè)平面的一個法向量為，則由,
得，
令得，，
則，
由平面與平面的夾角為，
可得，
即，
解得，
所以能找到這樣的點，
此時，，
故．
19. 如圖為英國生物學(xué)家高爾頓設(shè)計的“高爾頓板”示意圖，每一個黑點代表釘在板上的一顆釘子，下方有從左至右依次編號為的格子（此時釘子層數(shù)為）.當(dāng)小球從板口下落時，它將碰到釘子并有的概率向左或向右滾下，繼續(xù)碰至下一層釣子，依次類推落入底部格子.記小球落入格子的編號為.定義.
（1）直接寫出時的分布列；
（2）證明：；
（3）改變格子個數(shù)（釘子層數(shù)相應(yīng)改變），進(jìn)行次實驗，第且次實驗中向格子最大編號為的高爾頓板中投入個小球，記所有實驗中所有小球落入的格子編號之和為.已知無交集的獨立事件的期望具有累加性，設(shè)每次實驗?每次投球相互獨立，求關(guān)于的表達(dá)式.
解：（1）時的分布列為：
（2）由題得
倒序有，
兩式相加有
由于，依次類推，上式可化簡為，
由組合數(shù)性質(zhì)，有，故有，
化簡得，得證.
（3）設(shè)向格子最大編號為的高爾頓板中投入的一個球落入格子的編號為，
由于無交集的獨立事件的期望具有累加性，則有，
其中，由（2）有.
即，
則，
兩式相減得，
化簡得.
0
1
2
3
4
1
2
3

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