1.已知集合A={x|x2?19≤0}，B={x|1 x≥1}，則A∩B( )
A. [0,13]B. (0,13]C. (0,1]D. [0,1]
2.已知復(fù)數(shù)z=2+i，則i2025z?=( )
A. 15?2i5B. ?15?2i5C. 15+2i5D. ?15+2i5
3.下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是( )
A. y=tanxB. y=|tanx|C. y=sin|x|D. y=cs(x2+π6)
4.設(shè)雙曲線x2a2?y29=1(a>0)的漸近線方程為x±2y=0，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A. 4B. 3C. 2D. 6
5.某公司研發(fā)新產(chǎn)品投入x(單位：百萬)與該產(chǎn)品的收益y(單位：百萬)的5組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：由表中數(shù)據(jù)求得投入金額x與收益y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程y =b x+2.6，則下列結(jié)論不正確的是( )
A. x與y有正相關(guān)關(guān)系B. 回歸直線經(jīng)過點(diǎn)(8,25)
C. b =2.4D. x=9時(shí)，殘差為0.2
6.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是( )
A. 若m⊥α，m//n，n⊥β，則α⊥β
B. 若α//β，m?α，m//n，則n//β
C. 若m，n是兩條不同的異面直線，m//α，n//β，m?α，n?β，則α//β
D. 若m⊥n，α//β，則m與α所成的角和n與β所成的角互余
7.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(2?x)=f(x).當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=1?lg2x.則f(19)的值為( )
A. 0B. 1C. 1?lg221D. ?1
8.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+π3)，把f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則( )
A. g(x)是偶函數(shù)
B. g(x)的圖象關(guān)于直線x=?π4對(duì)稱
C. g(x)在[0,π2]上單調(diào)遞增
D. 不等式g(x)≤0的解集為[kπ+π2,kπ+π],k∈Z
9.若f(x)=?13x3+12x2+2x+1是區(qū)間(m?1,m+5)上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. m≤?6或m≥3B. m≥3
C. m≤?6D. ?6≤m≤3
10.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a2+b2=2026c2，則2tanAtanBtanC(tanA+tanB)的值為( )
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
11.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP?CD=0，且PB?PC=0，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為( )
A. π2B. πC. 2πD. 2 3π
12.過拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l，與C1交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方)，與y軸正半軸交于點(diǎn)D，A為DF中點(diǎn)，且|BD|=6，又點(diǎn)C(1,0)，曲線C2上任意一點(diǎn)P滿足|PC|=1，過定點(diǎn)C的直線m與拋物線C1和曲線C2的四個(gè)交點(diǎn)從上到下依次為G，M，N，H，則|GN|+4|HM|的最小值為( )
A. 8B. 12C. 13D. 14
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知平面向量a=(2,x?1),b=(3,2?x)，若向量a與b共線，則x=______.
14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x?y≤1x≥2yx+y≤1，則z=3x+2y的最大值為______.
15.已知圓x2+y2=4上一點(diǎn)A(65,85)，現(xiàn)將點(diǎn)A繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π6到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為______.
16.已知函數(shù)f(x)=a2x?a(x2+1),x≤aexa?x,x>a，若f(x)的最大值為?34，則實(shí)數(shù)a的取值構(gòu)成的集合為______.
三、解答題：本題共7小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題12分)
某工廠為了檢查一條流水線產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)值K，隨機(jī)抽取流水線上的20件產(chǎn)品作為樣本測(cè)出該項(xiàng)指標(biāo)值K，指標(biāo)值K的分組區(qū)間為(45,55],(55,65],…(85,95].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如圖).
(1)估計(jì)該產(chǎn)品指標(biāo)值K的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(2)在上述抽取的20件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為指標(biāo)值超過65的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
18.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB//CD，AB⊥BC，AB=PA=2，BC=CD=1，AD= 2,PB=2 2，M為PC的中點(diǎn).
(1)求證：BD⊥PD；
(2)求二面角M?AD?B的余弦值.
19.(本小題12分)
已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=m?n}，其中m=(2x?1,1),n=(1,2)，點(diǎn)Pn(an,bn)∈L，P1為L(zhǎng)與y軸的公共點(diǎn)，等差數(shù)列{an}的公差為1.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)令數(shù)列dn=bn2an+1，記數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為Cn，是否存在整數(shù)k，使Cn12.
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處的切線方程；
(2)若方程f(x)=g(x)在x∈[12,+∞)上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
21.(本小題12分)
已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向橢圓上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).若從橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點(diǎn)F1，光線經(jīng)過的路程為8，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是2+ 3.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線m交橢圓C于G，H兩點(diǎn)，若GH中點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,12)，求直線m的方程；
(3)設(shè)直線l不過坐標(biāo)原點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(x0,y0)(x0,y0≠0)為弦AB的中點(diǎn).過點(diǎn)M作直線l的垂線交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，N為弦DE的中點(diǎn).直線l與直線ON交于T，若ON=λNT(λ>0)，求λ的最大值.
22.(本小題5分)
在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為x=1+3csαy=3sinα(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 2ρcs(θ?π4)=2.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程以及直線l的直角坐標(biāo)方程；
(2)直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且A(2,0)，求1|AM|+1|AN|的值.
23.(本小題5分)
已知關(guān)于x的不等式|x+2|?|2x?2|≥m有解.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若a、b、c均為正數(shù)，n為m的最大值，且a+3b+4c=n.求證：a2+2ab+5b2+c2≥12.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x2?19≤0}={x|?13≤x≤13}，
B={x|1 x≥1}={x|00)的漸近線方程為x±2y=0，
則a=6.
故選：D.
根據(jù)已知條件，結(jié)合漸近線方程的公式，即可求解．
本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】C
【解析】解：對(duì)于A，由表格可知，x越大，y越大，所以x與y有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；
對(duì)于B，x?=5+6+8+9+125=8，y?=16+20+25+28+365=25，
則樣本點(diǎn)中心為(8,25)，所以經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)(8,25)，故B正確；
對(duì)于C，將樣本點(diǎn)中心代入直線方程，得25=8b +2.6，所以b =2.8，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，y =2.8x+2.6，當(dāng)x=9時(shí)，y =2.8×9+2.6=27.8，
則殘差為y?y =28?27.8=0.2，故D正確．
故選：C.
根據(jù)x和y的變化規(guī)律，即可判斷A；計(jì)算(x?,y?)，即可判斷B；將樣本點(diǎn)中心代入回歸直線方程，即可求b ，即可判斷C；根據(jù)回歸直線方程計(jì)算x=9時(shí)的y ，計(jì)算y?y ，即可判斷D.
本題主要考查線性回歸，屬于中檔題．
6.【答案】C
【解析】解：對(duì)于A，m//n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，則α//β，所以α⊥β不正確，故A不正確；
對(duì)于B，α//β，m?α，m//n，則n//β或n?β，故B不正確；
對(duì)于C，若m，n是兩條不同的異面直線，m//α，n//β，m?β，n?α，則α//β，故C正確；
對(duì)于D，由m⊥n時(shí)，m，n與α所成的角沒有關(guān)系，
α//β時(shí)，由面面平行的性質(zhì)知n與α，β所成的角相等，m與α，β所成的角相等，
因此m與α所成的角和n與β所成的角不一定互余，故D不正確．
故選：C.
利用空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，點(diǎn)線面垂直平行的性質(zhì)依次判斷即可．
本題考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，點(diǎn)線面垂直平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能力，是中檔題．
7.【答案】D
【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)=?f(?x)，
又由對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(2?x)=f(x)，則有f(?x+2)=?f(x)，變形可得f(x+2)=?f(x)，
故f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，f(x)是周期為4的周期函數(shù)，
f(19)=f(3+16)=f(3)=?f(1)，
當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=1?lg2x，則f(1)=1?lg21=1，
故f(19)=?f(1)=?1.
故選：D.
根據(jù)題意，分析函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案．
本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】B
【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，g(x)=2sin(2x+2π3+π3)=2sin(2x+π)=?2sin2x，
由于g(x)的定義域?yàn)镽，且g(?x)=?2sin(?2x)=sin2x=?g(x)，
故g(x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知g(x)=?2sin2x，故g(x)的圖象的對(duì)稱軸為2x=π2+kπ,(k∈Z)，即x=π4+kπ2,(k∈Z)，
令k=?1可得x=?π4，即g(x)的圖象關(guān)于直線x=?π4對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，x∈[0,π2]時(shí)，2x∈[0,π]，其中y=?sinz在z∈[0,π]上不單調(diào)，
故g(x)=?2sin2x在x∈[0,π2]上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，g(x)≤0，則sin2x≥0，則2x∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，
故x∈[kπ,kπ+π2],k∈Z，D錯(cuò)誤．
故選：B.
對(duì)于A選項(xiàng)，由函數(shù)的平移變換得到的解析式，可判斷出奇偶性；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)求出的解析式求解對(duì)稱軸可判斷；C選項(xiàng)，整體代入法判斷函數(shù)的單調(diào)性；D選項(xiàng)，由g(x)≤0得到sin2x≥0，即可求出不等式的解集．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
9.【答案】A
【解析】解：由題意，f′(x)=?x2+x+2=?(x?2)(x+1)，
故f(x)在(?∞,?1)和(2,+∞)上單調(diào)遞減，在(?1.2)上單調(diào)遞增，
若函數(shù)f(x)=?13x3+12x2+2x+1在區(qū)間(m?1,m+5)上單調(diào)，則m+5≤?1或m?1≥2或m?1≥?1m+5≤2，
解得m≤?6或m≥3.
故選：A.
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
10.【答案】C
【解析】解：因?yàn)閍2+b2=2026c2，由余弦定理可得：a2+b2=c2+2abcsC，
可得2025c2=2abcsC，
由正弦定理可得2025sin2C=2sinAsinCcsC，
所以2tanAtanBtanC(tanA+tanB)=2sinAsinBcsAcsBsinCcsC?(sinAcsA+sinBcsB)=2sinAsinBcsCsinCsin(A+B)=2sinAsinBcsCsin2C=2025sin2Csin2C=2025.
故選：C.
由題意及余弦定理，正弦定理可得2025sin2C=2sinAsinCcsC，由正切的化簡(jiǎn)可得答案．
本題考查正弦定理，余弦定理及正切化為正余弦的應(yīng)用，屬于中檔題．
11.【答案】D
【解析】解：如圖，分別取BC，CD的中點(diǎn)O，E，連接AE，BE，
由AP?CD=0，可知AP⊥CD，
又在正四面體ABCD中，易知CD⊥平面ABE，
∴點(diǎn)P在平面ABE內(nèi)①，
又PB?PC=0，∴PB⊥PC，
∴點(diǎn)P在以BC為直徑的球O的球面上②，
綜合①②可得點(diǎn)P在球O被平面ABE所截的截面小圓上，
又CE⊥平面ABE，過O作OF//BE，且OF∩BE=F，
∴OF⊥平面ABE，且|OF|=12|CE|=1，又球O半徑R=2，
設(shè)截面小圓的半徑為r，
則r= R2?|OF|2= 4?1= 3，
∴截面小圓的周長(zhǎng)為2πr=2 3π，
即點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為2 3π.
故選：D.
作出圖形，分別取BC，CD的中點(diǎn)O，E，根據(jù)題意可得P在球O被平面ABE所截的截面小圓上，再根據(jù)球的幾何性質(zhì)，即可求解．
本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，球的幾何性質(zhì)，屬中檔題．
12.【答案】D
【解析】解：拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F為(p2,0)，準(zhǔn)線方程為x=?p2，
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l的方程為y=k(x?p2)，k0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(a+1,+∞)時(shí)，f′(x)12，所以h(12)=(14?a)ln12?18+a=(a?14)ln2?18+a>0，
h′(x)=2(x?a)?lnx，
則令h′(x)=2(x?a)?lnx=0，得x1=1，x2=a，
①當(dāng)a>1時(shí)，x∈(12,1),h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；x∈(1,a)，h′(x)0，h(x)單調(diào)遞增，
所以y=h(x)在x=1處取到極大值h(1)=?12+2a>0，在x=a處取到極小值h(a)=a2(32?lna)，
要使y=h(x)有2個(gè)零點(diǎn)，須h(a)=a2(32?lna)e32，
②當(dāng)a=1時(shí)，x∈[12,+∞),h′(x)≥0,h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
③當(dāng)12h(12)，
要使y=h(x)有2個(gè)零點(diǎn)，須h(1)=?12+2a

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