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絕密★啟用前
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)全國Ⅰ卷）
數(shù) 學(xué)

試卷類型：A
本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗(yàn)證，即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)?，而?br /> 所以．
故選：C．
方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以?br /> 故選：C．
2. 已知，則（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．
【詳解】因?yàn)?，所以，即?br /> 故選：A．
3. 已知向量，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．
【詳解】因?yàn)?，所以，?br /> 由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
4. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
5. 設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
6. 過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，
因?yàn)椋瑒t，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，
可得，則，
因?yàn)?br /> 且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

7. 記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件
B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
8. 已知，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)?，而，因此?br /> 則，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．
（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A. 的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B. 的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C. 的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差
D. 的極差不大于的極差
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，
則，
因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，
可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值?br /> 則的波動性不大于的波動性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，
例如：，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
顯然，即；故C錯誤；
對于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；
故選：BD
10. 噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源
與聲源的距離
聲壓級
燃油汽車
10

混合動力汽車
10

電動汽車
10
40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項(xiàng)A：可得，
因?yàn)?，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項(xiàng)B：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋矗?br /> 可得，即，故C正確；
對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.

11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）．
A. B.
C. 是偶函數(shù) D. 為的極小值點(diǎn)
【答案】ABC
【解析】
【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.
方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】方法一：
因?yàn)椋?br /> 對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因?yàn)椋?br /> 對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設(shè)，則，
當(dāng)肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
12. 下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（ ）
A. 直徑為的球體
B. 所有棱長均為的四面體
C. 底面直徑為，高為的圓柱體
D. 底面直徑為，高為的圓柱體
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w面對角線長為，且，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對角線長為，且，
所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋芍酌嬲叫尾荒馨瑘A柱的底面圓，
如圖，過的中點(diǎn)作，設(shè)，
可知，則，
即，解得，
且，即，
故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，
若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，
可知：，則，
即，解得，
根據(jù)對稱性可知圓柱高為，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；
故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于C、D：以正方體的體對角線為圓柱的軸，結(jié)合正方體以及圓柱的性質(zhì)分析判斷.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．
【答案】64
【解析】
【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當(dāng)從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
14. 在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．
【答案】##
【解析】
【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，

因?yàn)椋?br /> 則，
故，則，
所以所求體積為.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，

故答案為：.
16. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為________．
【答案】##
【解析】
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.

方法二:
依題意，得，令，
因?yàn)椋?，則，
又，所以，則，
又點(diǎn)在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知在中，．
（1）求；
（2）設(shè)，求邊上的高．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.
【小問1詳解】
，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
【小問2詳解】
由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
18. 如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

（1）證明：；
（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．
【答案】（1）證明見解析；
（2）1
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；
（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【小問1詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
【小問2詳解】
設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
，
化簡可得，，
解得或，
或，
.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，．
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.
【小問1詳解】
因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕?br /> 當(dāng)時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因?yàn)椋?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
20. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）若，求的通項(xiàng)公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；
（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.
【小問1詳解】
，，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
【小問2詳解】
為等差數(shù)列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，
，即，解得或（舍去）
當(dāng)時，，解得，與矛盾，無解；
當(dāng)時，，解得.
綜上，.
21. 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；
（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．
【小問1詳解】
記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
【小問2詳解】
設(shè)，依題可知，，則
，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即．
【小問3詳解】
因?yàn)?，?br /> 所以當(dāng)時，，
故．
【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．
22. 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動點(diǎn)的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三個頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長大于．
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；
（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.
法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長最值，再排除邊界值即可.
法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.
【小問1詳解】
設(shè),則，兩邊同平方化簡得，
故.
小問2詳解】
法一：設(shè)矩形的三個頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，
同理令，且，則，
設(shè)矩形周長為,由對稱性不妨設(shè)，，
則.，易知
則令,
令，解得，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時單調(diào)遞增，
則，
故,即.
當(dāng)時,,且，即時等號成立，矛盾，故,
得證.
法二：不妨設(shè)在上，且，

依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，
則設(shè),的斜率分別為和，由對稱性，不妨設(shè)，
直線的方程為，
則聯(lián)立得，
，則
則，
同理，


令，則，設(shè)，
則，令，解得，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時單調(diào)遞增，
則，
，
但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.
法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動個單位得拋物線,
矩形變換為矩形,則問題等價于矩形的周長大于.
設(shè) , 根據(jù)對稱性不妨設(shè) .
則 , 由于 , 則 .
由于 , 且 介于 之間,
則 . 令 ,
,則,從而

故
①當(dāng)時,

②當(dāng) 時,由于,從而,
從而又,
故,由此


，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故矩形周長大于.
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第二個的關(guān)鍵是通過放縮得，同時為了簡便運(yùn)算，對右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)，最后再排除邊界值即可.


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