命題：高一備課組 審稿：賀麗珍
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知（為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.
【詳解】，而為實數(shù)，故，
故選：B.
2. 已知向量、滿足，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因為，，，則，
解得.
故選：C.
3. 已知向量.若與共線，則（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量坐標運算得，利用向量共線得到方程，解出即可.
【詳解】，由與共線得
故選：A.
4. 已知α為第二象限角，，則cs2α=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】 ，故選A.
5. 對于不重合的兩個平面與，給定下列條件：
①存在平面，使得，都垂直于；
②存在平面，使得，都平行于；
③存在直線，直線，使得；
④存在異面直線，，使得，，，．
其中，可以判定與平行的條件有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】直線與平面位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系，對選項進行逐一判斷，確定正確選項即可．
【詳解】解：①若存在平面，使得，都垂直于，則與平行或相交，故①錯誤．
②若存在平面，使得，都平行于，因為與是不重合的兩個平面，所以與平行，故②正確．
③若存在直線，直線，使得，則與平行或相交，故③錯誤；
④若存在異面直線，，使得，，，，則可以判定與平行．
可在面內(nèi)作，，因為，是異面直線，則與必相交．
又，，
，，
，即④正確．
故選：B．
6. 若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小正值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用輔助角公式化簡，然后利用三角函數(shù)的圖像平移得到新的解析式，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)即可求得的最小正值.
【詳解】，
將函數(shù)的圖象向右平移個單位得，
由該函數(shù)為偶函數(shù)可知: ，
即，
當時， ，
所以的最小正值是為.
故選：
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的輔助角公式，三角函數(shù)的圖象平移，三角函數(shù)奇偶性，是中檔題.
7. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解：若，則，
∴，由正弦定理得，
所以，因為，所以，所以，∴，反之也成立，
故“”是“”的充要條件；
故選：C
8. 鈍角三角形的面積是，，則=（ ）
A. B. C. 7D. 7或1
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)面積公式求角，再結(jié)合余弦定理求.
【詳解】，
所以，或，
當時，,
即，此時，滿足題意，
當，，滿足題意，
所以或.
故選：D
9. 已知直四棱柱的棱長均為4，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找出平面截球面的截面圓的圓心是的中點，再找到截面圓的半徑和交線，從而得解.
【詳解】連接，如圖，

因為直四棱柱的棱長均為4，，
所以是正三角形，則，
取的中點，連接，則，，
易知平面，又平面，所以，
又平面，所以平面，
故平面截球面的截面圓的圓心是點，
取和的中點，連接，
則，，
故在球面上，又，，即，
所以為直角三角形，，
球面與側(cè)面的交線是側(cè)面上以為圓心，為半徑的圓弧，
則.
故選：B.
10. 設(shè)函數(shù)的定義域為D，若存在常數(shù)a滿足，且對任意的，總存在，使得，稱函數(shù)為函數(shù).給出以下四個結(jié)論：
①函數(shù)是函數(shù)；
②函數(shù)是函數(shù)；
③若函數(shù)是函數(shù)，則；
④若函數(shù)是函數(shù)，則.
其中正確結(jié)論序號是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題中所給定義，結(jié)合條件，逐一檢驗各個選項，分析整理，即可得答案.
【詳解】對于①，定義域為R，當時，有，對任意，，
令，則，函數(shù)是函數(shù)，①正確；
對于②，定義域為R，當時，有，當時，，
顯然不存在，使得，此時，②錯誤；
對于③，若t=4，的定義域為，，，
因為，則，當時，，
為增函數(shù)，則，顯然，
因此，，即，③錯誤；
對于④，當時，，則，
因為函數(shù)是P()函數(shù)，則對任意，總存在使，
又，取，則，當時，有，解得，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，令，
此時，則有，即對，總存在使得，
當時，同理對，總存在使得，
所以，④正確，
所以正確結(jié)論的序號是①④.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是掌握P(a)函數(shù)的定義，并根據(jù)選項所給條件，結(jié)合各個函數(shù)的性質(zhì)，進行分析和判斷作答.
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是_______.
【答案】1
【解析】
【分析】由可得，則，根據(jù)可得的最小值.
【詳解】設(shè)，，
，，則，
，
當時，.
故答案為：1.
12. 若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為____________．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：因為，圓錐的側(cè)面積為，底面積為，
所以，
解得，，所以，該圓錐的體積為．
考點：圓錐的幾何特征
點評：簡單題，圓錐之中，要弄清r,h,l之間的關(guān)系，熟練掌握面積、體積計算公式．
13. 若cs＝，cs(＋β)＝－，∈，＋β∈，則β＝________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)角的湊配可得，再根據(jù)已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)進行代入即可得解.
【詳解】，
又，∈，得；
，＋β∈，得，
則，
由∈，＋β∈得，
所以．
故答案為：
14. 已知平面向量，，滿足：，，，則，之間的夾角為_______，的取值范圍是_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：直接利用向量夾角公式即可；空2：利用坐標法，不妨令，設(shè)，得到，求出的范圍，再利用即可.
【詳解】因為 ，所以，
因為，所以，
不妨令，設(shè)，
所以由 , 可得，
所以，所以，解得，
所以，
故答案為：；.
15. 在正方體中，棱長為2，已知點P，Q分別是線段，上的動點（不含端點）.給出下列四個結(jié)論：
（1）直線與直線垂直；
（2）直線與直線不可能平行；
（3）二面角的平面角的正弦值為；
（4）的最小值是.
其中所有正確結(jié)論的序號是_______.

【答案】（1）（3）（4）
【解析】
【分析】證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷（1）；取、分別為、的中點，利用中位線的性質(zhì)以及平行線的傳遞性可判斷（2）；利用二面角的定義可判斷（3）；將和延展至同一平面，分析可知當時，取最小值，根據(jù)三角形邊與角的關(guān)系可求得的最小值，可判斷（4）.
【詳解】對于（1），因為，則、、、四點共面，
因為四邊形為正方形，則，
因為平面，平面，則，
因，、平面，所以，平面，
因平面，所以，，（1）對；
對于（2），當、分別為、的中點時，，
又因為，此時，（2）錯；
對于（3），因為、，平面即為平面，平面即為平面，
所以，二面角即為二面角，

取上下底面中心點分別為，分別連接，
平面即為平面，由題知底面，
因為平面，所以，易知，
又因為為中點，則，因為平面平面，平面，面，
則二面角即為，因為平面，平面，
所以，而，，所以，則（3）正確；
對于（4），因為平面，平面，則，同理可得，
因為，同理可得，，
將和延展至同一平面，如下圖所示：

在中，，，
因為，，，所以，，
所以，，故，
所以，，
當時，取最小值，且最小值為，（4）對.
故答案為：（1）（3）（4）.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第（3）小問的關(guān)鍵時利用二面角的定義在圖中找到所對應(yīng)的角，再利用勾股定理求出相關(guān)線段長，則得到其正弦值，第（4）問的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi)，再利用二倍角等知識點得到最值.
三、解答題共5小題，共55分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
16. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，當時，求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，再由的取值范圍求出的范圍，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【小問1詳解】
因為
，
即，所以函數(shù)的最小正周期.
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到，
又，所以，所以，
則，即在上的值域為.
17. 如圖，中，，四邊形是正方形，平面平面，若G，F(xiàn)分別是，的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）取的中點，連接，，則由三角形中位線定理得，，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可得，則平面，由理平面，從而可證得平面平面，進而可證得結(jié)論；
（2）由已知面面垂直可得平面，則，再由結(jié)合勾股定理逆定理可得，再由面線垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論.
【小問1詳解】
證明：如圖，取的中點，連接，．
，分別是和的中點，，．
又四邊形為正方形，
，從而．
平面，平面，
平面，
同理平面，又，平面，
平面平面，
平面，則平面.
【小問2詳解】
為正方形，．
又平面平面，且平面平面，面，
平面，
∵平面，∴，
設(shè)，，
，
∴，∴．
又，，平面，
平面，而平面，
∴平面平面．
18. 在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，
（1）求的大小；
（2）再從下列三個條件中，選擇兩個作為已知，使得存在且唯一，求的面積.
條件①：；條件②：；條件③：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再利用余弦定理即可得解；
（2）選①②，利用余弦定理求出邊，即可得解.
選①③，先利用正弦定理求出邊，從而可得角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和得正弦公式求出，再根據(jù)三角形得面積公式即可得解.
選②③，先根據(jù)，求出角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和得正弦公式求出，利用正弦定理求出邊，再根據(jù)三角形得面積公式即可得解.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理得，
則，
又，所以；
【小問2詳解】
選①②，則，
由，
得，解得或，
經(jīng)檢驗，符合題意，
所以有兩解，與題意矛盾.
選①③，則，
因為，所以，故，
所以，
則，
所以.
選②③，則，
因為，所以，
所以，
因為，所以，
所以.
19. 如圖，正四棱錐，，，P為側(cè)棱上的點，且，

（1）求正四棱錐的表面積；
（2）求點到平面的距離；
（3）側(cè)棱上是否存在一點E，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，且
【解析】
【分析】（1）取的中點，連接，計算出的長，再結(jié)合三角形和正方形的面積公式可求得正四棱錐的表面積；
（2）連接交于點，連接、，證明出平面，計算出的長，即為所求；
（3）取的中點為，過作的平行線交于，連接、，由線面平行的判定可得平面，根據(jù)等比例性質(zhì)有，再根據(jù)線面平行的判定得平面，最后由面面平行的判定及性質(zhì)即可確定存在性.
【小問1詳解】
解：取的中點，連接，

因為，，則，
且，
所以，正四棱錐的表面積為
.
【小問2詳解】
解：連接交于點，連接、，如下圖所示：

因為四邊形是邊長為的正方形，則，
故是邊長為的等邊三角形，
因為，則為、的中點，所以，，
且，，
因為，則，
由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因為四邊形為正方形，則，
因為，為的中點，則，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，
因為，、平面，所以，平面，
因此，點到平面的距離為.
【小問3詳解】
解：在側(cè)棱上存在一點，使平面，滿足，理由如下：
取的中點為，因為，則，
過作的平行線交于，連接、.

在中，因為、分別為、的中點，則，
因為平面，平面，所以平面，
由，則，
因為平面，平面，所以平面，
而，、平面，故面面，
又面，則平面，此時.
20. 已知有窮數(shù)列滿足.給定正整數(shù)m，若存在正整數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列A是m-連續(xù)等項數(shù)列.
（1）判斷數(shù)列是否是3-連續(xù)等項數(shù)列，并說明理由；
（2）若項數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項數(shù)列，求N的最小值；
（3）若數(shù)列不是4-連續(xù)等項數(shù)列，而數(shù)列，數(shù)列與數(shù)列都是4-連續(xù)等項數(shù)列，且，求的值.
【答案】（1）是，理由見解析；
（2）11； （3）0.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義直接驗證數(shù)列作答.
（2）先根據(jù)新定義證明時，數(shù)列一定是連續(xù)等項數(shù)列，再驗證時，不是連續(xù)等項數(shù)列即可.
（3）由都是連續(xù)等項數(shù)列可得，
，再由反證法證得，即可得出的值.
【小問1詳解】
數(shù)列是連續(xù)等項數(shù)列，理由如下:
數(shù)列中，，
即有，所以數(shù)列是連續(xù)等項數(shù)列.
【小問2詳解】
設(shè)集合，則中的元素個數(shù)為，
因為在數(shù)列中，所以，
若，則，所以在這個有序數(shù)對中，
至少有兩個有序數(shù)對相同，即存在正整數(shù)，使得，
所以當項數(shù)時，數(shù)列一定是連續(xù)等項數(shù)列，
若，數(shù)列不是連續(xù)等項數(shù)列；
若，數(shù)列不是連續(xù)等項數(shù)列；
若，數(shù)列不是連續(xù)等項數(shù)列；
若，數(shù)列不是連續(xù)等項數(shù)列；
若，數(shù)列不是連續(xù)等項數(shù)列；
若，數(shù)列不是連續(xù)等項數(shù)列；
若，數(shù)列不連續(xù)等項數(shù)列；
若,數(shù)列不是連續(xù)等項數(shù)列，
所以的最小值為11.
【小問3詳解】
因為與都是連續(xù)等項數(shù)列，
所以存在兩兩不等的正整數(shù),使得，
，
下面用反證法證明，
假設(shè)，因為，
所以中至少有兩個數(shù)相等，
不妨設(shè)，則
所以是連續(xù)等項數(shù)列，與題設(shè)矛盾，所以，
所以.
【點睛】方法點睛：對于新定義問題，一般先要讀懂定義內(nèi)容，第一問一般是給具體的函數(shù)或數(shù)列驗證是否滿足所給定義，只需要結(jié)合新定義，驗證即可，在驗證過程中進一步加強對新定義的理解，第二步一般在第一步強化理解的基礎(chǔ)上，所給函數(shù)或數(shù)列更加一般或復(fù)雜，進一步利用新定義處理，本題第三問根據(jù)與都是連續(xù)等項數(shù)列得出，，利用反證法求是關(guān)鍵點.

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