1. 下列各數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了有理數(shù)和無理數(shù)的判斷，根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的分類，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)和無理數(shù)的分類，有理數(shù)包括整數(shù)，分?jǐn)?shù)（有限小數(shù)）和無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)有開方開不盡的數(shù)，和無限不循環(huán)小數(shù)．
【詳解】、是無理數(shù)，不符合題意；
、是無理數(shù)，不符合題意；
、是無理數(shù)，符合題意；
、是有理數(shù)，符合題意；
故選：．
2. “五一”假期，人們旅游熱情高漲．5月5日從長沙市文旅廣電局獲悉，根據(jù)大數(shù)據(jù)建模分析顯示：年“五一”假期，長沙市共計(jì)接待游客人次，則用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
詳解】解：，
故選：．
3. 下列4個(gè)圖片是長沙市生態(tài)環(huán)境局網(wǎng)站上的4個(gè)信息查詢指引標(biāo)識(shí)，在這些圖標(biāo)中，文字上方的圖案既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. 試卷源自 每日更新，更低價(jià)下載，歡迎訪問。C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸）對(duì)稱，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．
【詳解】．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
．是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
4. 下列冪的運(yùn)算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則逐一計(jì)算判斷即可
【詳解】∵，
∴A項(xiàng)計(jì)算正確；
∴B項(xiàng)計(jì)算正確；
∵，
∴C項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
∵，
∴D項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．熟練掌握鄰補(bǔ)角，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，由，可得，然后判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，，
∵，
∴，
故選：C．
6. 某校書法興趣小組20名學(xué)生日練字頁數(shù)如下表所示：
這些學(xué)生日練字頁數(shù)的中位數(shù)、平均數(shù)分別是( )
A. 3頁，4頁B. 3頁，5頁C. 4頁，4頁D. 4頁，5頁
【答案】C
【解析】
【分析】按順序第10，11人的頁數(shù)4，4的平均值為中位數(shù)；總頁數(shù)與總?cè)藬?shù)之比為平均數(shù).
【詳解】因?yàn)橛?0個(gè)數(shù)據(jù)，
所以，按順序第10，11人頁數(shù)4，4的平均值為中位數(shù)；即：4（頁）.
平均數(shù)：（2×2+3×6+4×5+5×4+6×3）÷20=4（頁）.
故選C
【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：中位數(shù)，平均數(shù). 解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記中位數(shù)和平均數(shù)的概念及求法.
7. 如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件圓心角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角相等，結(jié)合量角器求出圓心角的度數(shù)即可．
【詳解】解：由圖和對(duì)頂角相等，可得：這個(gè)扇形零件圓心角的度數(shù)為；
故選A．
8. 如圖，已知函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于x，y的方程組的解是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系，方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．將代入，可求得a的值，再根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系即可解答．
【詳解】解：把點(diǎn)代入得：，
所以關(guān)于x，y的方程組的解是．
故選A．
9. 在課堂上，侯老師發(fā)給每人一張印有（如圖）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個(gè)，使得，小趙和小劉同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．對(duì)這兩種畫法的描述中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 小趙同學(xué)作圖判定的依據(jù)是
B. 小趙同學(xué)第二步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長度是線段的長
C. 小劉同學(xué)作圖判定的依據(jù)是
D. 小劉同學(xué)第一步作圖時(shí)，用圓規(guī)截取的長度是線段的長
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查尺規(guī)作圖，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)演示確定作圖的具體步驟，結(jié)合全等的判定方法判斷．
【詳解】由圖示知，小趙第一步為截取線段，第二步為作線段，判定方法為；
小劉第一步為截取線段，第二步為作線段，判定方法為．
故選：D．
10. 下表是周五下午班四節(jié)待排的選修課課程表，其中排課需滿足以下兩點(diǎn)要求：①每班不能3節(jié)連續(xù)安排選修課；②同一節(jié)課最多安排3個(gè)班級(jí)上選修課．根據(jù)以上要求，該課程表最多可排的選修課節(jié)數(shù)為（ ）
A. 12B. 11C. 10D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了規(guī)律探索的知識(shí)，正確理解題意是解題關(guān)鍵．根據(jù)題目中排課需滿足的要求完成選修課程安排即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，該課程表可能為：
所以，課程表最多可排的選修課11節(jié)數(shù)．
故選：B．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11. 如果代數(shù)式有意義，那么實(shí)數(shù)的取值范圍_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意知，
解得．
故答案為：．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用提公因式法即可求解．
【詳解】解：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查利用提公因式法分解因式．掌握相關(guān)方法即可．
13. 如圖，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，弦米，半徑米．則____________米．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，根據(jù)點(diǎn)C是的中點(diǎn)，得到，，結(jié)合，求解即可得到答案；
【詳解】解：∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案為：．
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，則_____ （填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而減小，
又∵點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，且，
∴，
故答案為：．
15. 若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是4，側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是180°，則該圓錐的母線長為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了圓錐計(jì)算；設(shè)該圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長即可求解．
【詳解】解：設(shè)該圓錐的母線長為，根據(jù)題意得：
，
解得：，
即該圓錐的母線長為．
故答案為：．
16. 如圖，等邊的邊長是，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，的長為_____．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，過點(diǎn)作交于，連接，過點(diǎn)作于，先證為等邊三角形得，再證和全等得，，由此得點(diǎn)，，在同一條直線上，則，然后由勾股定理求出，進(jìn)而得，則，由此可得的長，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】過點(diǎn)作交于，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
如下圖所示：
∵為等邊三角形，且邊長為，
∴，，
∵，，
∴，， ，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴點(diǎn)，，在同一條直線上，
∴，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得:，
∴，
∴，
故答案為：．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計(jì)算：
【答案】．
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪及化簡絕對(duì)值的運(yùn)算法則計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可，熟知特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪及化簡絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
．
18. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，2029
【解析】
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)乘法公式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)化簡，再求出，最后利用整體代入法求解即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
19. 學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠(yuǎn)端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）
（1）求燈桿AB的高度；
（2）求CD的長度．
【答案】（1）12m；（2）25.6m
【解析】
【分析】（1）延長BA交CG于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)正切的定義求出CE，再根據(jù)正切的定義求出BE，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)正切的定義求出DE，進(jìn)而求出CD．
【詳解】解：（1）延長BA交CG于點(diǎn)E，
則BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，
∴AE=AC=×12=6（m），CE=AC?csα=12×=（m），
在Rt△BCE中，∠BCE=60°，
∴BE=CE?tan∠BCE==18（m），
∴AB=BE-AE=18-6=12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE=27°，
∴DE=≈36（m），
∴CD=DE-CE=≈25.6（m）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．
20. 我市某學(xué)校落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，構(gòu)建“五育并舉”教育體系，開設(shè)了“廚藝、園藝、電工、木工、編織”五大類勞動(dòng)課程．為了解七年級(jí)學(xué)生對(duì)每類課程的選擇情況，隨機(jī)抽取了七年級(jí)若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每人只選一類最喜歡的課程），將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 人；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校七年級(jí)共有800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生選擇“廚藝”勞動(dòng)課程的人數(shù)；
（4）七（1）班計(jì)劃在“園藝、電工、木工、編織”四大類勞動(dòng)課程中任選兩類參加學(xué)校期末展示活動(dòng)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中“園藝、編織”這兩類勞動(dòng)課程的概率．
【答案】（1）60；（2）見詳解；（3）200人；（4）．
【解析】
【分析】（1）利用園藝的人數(shù)除以百分比，即可得到答案；
（2）先求出編織的人數(shù)，再補(bǔ)全條形圖即可；
（3）利用總?cè)藬?shù)乘以廚藝所占的百分比，即可得到答案；
（4）列表或樹狀圖將所有等可能的結(jié)果列舉出來后利用概率公式求解即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：
（人）；
故答案為：60；
（2）選擇編織的人數(shù)為：（人），
補(bǔ)全條形圖如下：
（3）該校七年級(jí)學(xué)生選擇“廚藝”勞動(dòng)課程的人數(shù)為：
（人）；
（4）根據(jù)題意，“園藝、電工、木工、編織”可分別用字母A，B，C，D表示，則
列表如下：
∵共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到“園藝、編織”類的有2種結(jié)果，
∴恰好抽到“園藝、編織”類的概率為：；
【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率的知識(shí)．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21. 如圖，A、D、B、E四點(diǎn)在同一條直線上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求證：AC＝DF；
（2）若CD為∠ACB的平分線，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度數(shù)．
【答案】（1）詳見解析；（2）42°.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠DEF，再結(jié)合題意根據(jù)SAS判斷△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.
【詳解】證明：（1）∵AD＝BE
∴AB＝DE
∵BC∥EF
∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84°
∵CD為∠ACB的平分線
∴∠ACD＝42°＝∠BCD
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF
∴∠CDF＝42°
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定（SAS）和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（SAS）和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.
22. 某體育用品專賣店新進(jìn)一批籃球和足球，已知每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)比每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)多30元，用6000元購進(jìn)籃球的數(shù)量與用4800元購進(jìn)足球的數(shù)量相同．
（1）求籃球、足球每個(gè)進(jìn)價(jià)分別為多少元？
（2）專賣店準(zhǔn)備在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上，籃球加價(jià)60%作為售價(jià)，足球加價(jià)50%作為售價(jià)．該專賣店平均每天賣出籃球120個(gè)，足球100個(gè)．為回饋顧客，減少庫存，專賣店準(zhǔn)備搞活動(dòng)促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，籃球、足球的銷售單價(jià)每降低10元，這兩種商品每天都可多銷售20個(gè)，為了使每天獲取更大的利潤，該專賣店決定把籃球、足球的銷售單價(jià)都下降a元．請(qǐng)通過計(jì)算說明，如何定價(jià)，專賣店才能獲取最大利潤．
【答案】（1）籃球的進(jìn)價(jià)為150元/個(gè)，足球的進(jìn)價(jià)為120元/個(gè)
（2）每個(gè)籃球售價(jià)230元，每個(gè)足球的售價(jià)170元時(shí)，才能使專賣店獲取最大利潤
【解析】
【分析】(1)設(shè)足球的價(jià)格為x元，則每個(gè)籃球的價(jià)格為(x+30)元，列分式方程求解即可．
(2)設(shè)獲得總利潤為w元，則w=(150×60%-a)(120+)+(120×50%-a)(100+)，整理構(gòu)造出關(guān)于a的二次函數(shù)，借助配方法求函數(shù)的最值即可．
【小問1詳解】
設(shè)足球的價(jià)格為x元，則每個(gè)籃球的價(jià)格為(x+30)元，列分式方程，
解得x=120，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是原方程的根，
故x+30=150，
所以籃球的進(jìn)價(jià)為150元/個(gè)，足球的進(jìn)價(jià)為120元/個(gè)．
【小問2詳解】
設(shè)獲得總利潤為w元，根據(jù)題意，得，
w=(150×60%-a)(120+)+(120×50%-a)(100+)
= -4，
當(dāng)a=10時(shí)，W有最大值，
此時(shí)籃球的價(jià)格為150+150×60%-a=230元，足球的價(jià)格為120+120×50%-a=170元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，利潤問題，二次函數(shù)的最值，熟練掌握分式方程的列法，配方法求二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．
23. 已知：為的直徑，弦交于點(diǎn)，點(diǎn)為弧上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．
（1）如圖，求證：；
（2）如圖，在（）的條件下，連接BD，當(dāng)，，時(shí)，求的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)得到，則 ，利用垂徑定理的推論解答即可得出結(jié)論；
（）利用圓周角定理與已知條件得到，利用圓周角定理和三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理得到，利用圓周角定理和勾股定理得到，利用三角形的面積公式求得，利用垂徑定理得到，再利用角平分線的性質(zhì)得到比例式，將數(shù)值代入運(yùn)算即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為直徑，
∴；
【小問2詳解】
∵為的直徑，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24. （1）如圖1，在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，連接，若，過C作交于點(diǎn)F，求證：．
（2）如圖2，在菱形中，，過C作交的延長線于點(diǎn)E，過E作交于點(diǎn)F，若時(shí)，求的值．
（3）如圖3，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)E在上，且，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，過E作交平行四邊形的邊于點(diǎn)G，若時(shí)，求的長．
【答案】（1）見解析（2）（3）的長為或或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明結(jié)合已知條件，即可證明；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，解，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，建立方程解方程即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，連接，延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，四邊形是平行四邊形，同理證明，根據(jù)得出，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求得，而，得出矛盾，則此情況不存在．
【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，則，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵在菱形中，，
∴，，
則，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平行四邊形中，，，
∴，,
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
則，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
設(shè)，則，，，
∴
解得：或，
即或，
②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，

連接，延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，四邊形是平行四邊形，
設(shè)，則，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，
∴，，
∴，則，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴點(diǎn)不可能在邊上，
綜上所述，的長為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．
25. 定義：把拋物線上任意點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)乘以k后變?yōu)辄c(diǎn)，若點(diǎn)都在拋物線上，則稱拋物線為拋物線的“k倍拋物線”．例如：拋物線的任意一點(diǎn)，乘以后變?yōu)?，點(diǎn)都在拋物線上，所以拋物線是拋物線的“倍拋物線”．已知拋物線，根據(jù)所給條件完成下列問題：
（1）當(dāng)，時(shí)，求的“2倍拋物線”的解析式；
（2）如圖1，當(dāng)，且時(shí)，與x軸交于點(diǎn)A、B，的“倍拋物線”與x軸交于點(diǎn)C、D，與交于點(diǎn)E、F，是否存在合適的m值，使得四邊形是矩形，如果存在求出m的值；如果不存在請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，當(dāng)，時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)記為M，與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，拋物線的“k倍拋物線”頂點(diǎn)為N，點(diǎn)P在拋物線上，滿足，且．當(dāng)時(shí)，求k的值．
【答案】（1）；
（2）存在，m的值；
（3）
【解析】
【分析】（1）找出三個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的倍點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)的解析式為：，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）同（1）法求出的解析式，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理進(jìn)行求解即可；
（3）如圖1中，當(dāng)時(shí)，與（1）同理可得拋物線的解析式為及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)知，繼而可得是邊長為2的正三角形，四邊形是矩形，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入到拋物線解析式可求得k的值；如圖2中，當(dāng)時(shí)，作關(guān)于y軸對(duì)稱的，，同理可得四邊形是矩形，先求出拋物線解析式，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入到拋物線解析式可求得k的值，即可．
【小問1詳解】
解：當(dāng)，時(shí)，拋物線，
令，則，
令，則，
令，則，
則，
∴的“2倍拋物線”的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為：，
設(shè)的解析式為：，
把代入得：
，
解得：，
∴的解析式為：
【小問2詳解】
解：存在，理由如下：
∵，
∵，
令，得，
解得：，
令，解得：，
∴，
∴中，，與的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：，，
設(shè)的解析式為：，
將，，代入得：
，
解得：，
∴的解析式為：，
聯(lián)立得：
，
∴，
解得：，
在中，
令，解得，
∴，
令，解得，
∴，
令，則，
解得：，
∴，
∵四邊形是矩形時(shí)，
∴，
∵，
∴，
解得：（負(fù)值舍去）
∴的值為．
【小問3詳解】
當(dāng)，時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴過點(diǎn)，，，
∴拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，，三點(diǎn)，
∵，
∴或
如圖1中，當(dāng)時(shí)，
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，，三點(diǎn)，
∴拋物線的解析式為，
∴，
∴O、、都在直線上，
如圖，過點(diǎn)P作軸于D，過點(diǎn)A作于E．
∵，
∴．
∵，，，
∴是邊長為2的正三角形，四邊形是矩形，
∴．，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴
∴P，
∴，
解得：；經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；
如圖2中，當(dāng)時(shí)，
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，，三點(diǎn)，
∴拋物線的解析式為，
∴
∴O、M、都在直線上，
作關(guān)于y軸對(duì)稱的，，
同法可得：點(diǎn)P坐標(biāo)，
∴，
解得．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；
綜上：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾個(gè)的綜合應(yīng)用．涉及二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)的距離公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度大，屬于中考?jí)狠S題，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．日練字頁數(shù)
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