例1
（1） 若,,，則實數(shù)1．
解：若，則.
當 時，集合為，符合題意；
當 時，無意義，舍去.所以.
若，則，此時 無意義，舍去.
若，則，此時集合為，不滿足互異性，舍去.
綜上，.故填1.
（2） 已知集合,,，則中元素的個數(shù)為（ B ）
A. 4B. 5C. 8D. 9
解：因為，，所以 取，0，1.
當 時，原不等式為.又，所以.
當 時，原不等式為.又，所以 或0或1.
當 時，原不等式為.又，所以.
所以,,,,，共有5個元素.故選．
【點撥】 用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點集還是其他類型的集合,要知道,,三者是不同的.弄清代表元素的含義后，再依據元素特征構造關系式解決問題.
變式1
（1） [2023年上海卷]已知，，，，若，，則（ A ）
A. B. C. D. ，2，
解：.故選.
（2） 已知集合,，,，若中有三個元素，則實數(shù)的取值集合為（ C ）
A. B. ,0,C. ,,D. ,
解：因為 中有三個元素，且，，所以 或.①當 時，解得 或，均符合題意；②當 時，解得，符合題意.故選.
考點二 集合間的基本關系
例2
（1） [2023年四省聯(lián)考]設集合,3,，，,．若，，則（ B ）
A. B. C. 1D. 3
解：因為，所以.解得 或.
若，則，,，此時，滿足題意.
若，則，，此時，不滿足題意.故.故選.
（2） 已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ D ）
A. B. C. D.
解：當 時，有，則.
當 時，若，如圖所示.
則 解得.
綜上所述，
故選.
【點撥】 ①判斷集合關系主要有兩種方法：一是化簡集合，二是列舉或數(shù)形結合.②已知兩個集合之間的關系求參數(shù)時,要根據集合間的關系來確定元素之間的關系,需關注子集是否為空集.一般地,當集合為有限集時,往往通過列方程或方程組來處理,此時需注意集合中元素的互異性,當集合為連續(xù)型無限集時,往往借助數(shù)軸列不等式或不等式組來求解,要注意運用分類與整合、數(shù)形結合等思想方法，尤其需注意端點值能否取到.
變式2
（1） [2023年新課標Ⅱ卷]設集合，，，，，若，則（ B ）
A. 2B. 1C. D.
解：因為，所以 .若，解得.此時,，，不符合題意.
若，解得.此時,，,,，符合題意.綜上，.故選.
（2） 設，，若，則實數(shù)的可能取值的個數(shù)為（ C ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：因為，且，所以.
當 時，則，此時 成立.
當 時，則，此時，則有 或，解得 或.
所以實數(shù) 的取值是0或 或.
故實數(shù) 的值的個數(shù)為3.故選.
考點三 集合的基本運算
命題角度1 集合的運算
例3
（1） 已知集合，，則（ D ）
A. B. C. D.
解：因為，，
所以，.
故選.
（2） [2023年全國甲卷]設集合，，，，為整數(shù)集，則（ A ）
A. ，}B. ，}
C. ，}D.
解：因為整數(shù)集,,,，，所以,}．故選．
【點撥】 集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結合，即借助數(shù)軸、坐標系、韋恩圖等進行運算，還要注意延伸知識的考查.
變式3
（1） 記全集，集合，集合，則（ D ）
A. B. C. D.
解：由，得 或，則.由，得，解得 或.則，所以.故選.
（2） [2023年全國乙卷]設集合，集合，，則（ A ）
A. B. C. D.
解：由題意，可得，則，正確.
，則，錯誤.
，則 或，錯誤.
或，則 或，錯誤.故選.
命題角度2 由集合運算求參數(shù)
例4 [2020年全國Ⅰ卷]設集合，，且，則（ B ）
A. B. C. 2D. 4
解：由,可得.由，可得.因為，所以，解得
故選.
【點撥】集合運算中的求參數(shù)問題，首先要會化簡集合，因為在高考中此類問題常與不等式等知識綜合考查，以體現(xiàn)綜合性，其次注意數(shù)形結合［包括用數(shù)軸、韋恩圖等］及端點值的取舍.
變式4 已知，集合，， ，則實數(shù)（ D ）
A. 或1B. 或0C. 1或0D. 或1或0
解：由題意，可知,，則 且.
，
當 時， ，則 ，符合題意.
當 時，.
由 ，知 或，解得 或.
綜上，實數(shù) 的值為0或1或.故選．
考點四 韋恩圖及其應用
例5
（1） 如圖，為全集，，，是的三個子集，則陰影部分所表示的集合是（ C ）
A. B.
C. D.
解：題圖中的陰影部分是 的子集，不屬于集合，故屬于集合 的補集，即是 的子集，則陰影部分所表示的集合是.故選.
（2） 某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有的學生喜歡籃球或羽毛球，的學生喜歡籃球，的學生喜歡羽毛球，則該中學既喜歡籃球又喜歡羽毛球的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是（ B ）
A. B. C. D.
解：如圖，設只喜歡籃球的百分比為，只喜歡羽毛球的百分比為，兩個項目都喜歡的百分比為.
由題意，得，，，解得．
所以所求比例是．故選．
【點撥】韋恩圖能更直觀地表示集合之間的關系，先分析集合關系，化簡集合，再由韋恩圖所呈現(xiàn)的集合關系進行運算.較復雜集合關系的分析，常借助韋恩圖完成，既是直觀想象素養(yǎng)的體現(xiàn)，又蘊含了數(shù)學建模思維.
變式5
（1） 設全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合是（ C ）
A. B. ,C. ,D. ,
解：，.
由題圖，可知陰影部分所表示的集合為,.故選.
（2） 已知,均為的子集，且，則（ B ）
A. B. C. D.
解：如圖所示，設矩形 表示全集
，矩形區(qū)域 表示集合，則矩形區(qū)域 表示集合，矩形區(qū)域 表示集合，滿足.結合圖形,可得.故選.

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