知識梳理
1．橢圓的定義
如果F1，F(xiàn)2是平面內的兩個 ，a是一個常數(shù)，且2a |F1F2|，則平面內滿足 的動點P的軌跡稱為橢圓，其中，兩個定點F1，F(xiàn)2稱為橢圓的 ，兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的 ．
注意：(1)當動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝常數(shù)>|F1F2|時，動點P的軌跡為橢圓；
(2)當動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝常數(shù)＝|F1F2|時，動點P的軌跡為以F1，F(xiàn)2為兩端點的線段；
(3)當動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝常數(shù)b>0)的左焦點F(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，點C，F(xiàn)是線段AB的三等分點，則該橢圓的標準方程是( )
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
思維升華 根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．
(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設為eq \f(x2,a2＋m)＋eq \f(y2,b2＋m)＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝λ(a>b>0，λ>0)．
跟蹤訓練2 (1)(2024·南京模擬)已知橢圓的兩個焦點分別為F1(0,2)，F(xiàn)2(0，－2)，P為橢圓上任意一點，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項，則此橢圓的標準方程為( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,60)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,60)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
(2)已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，且PF2⊥F2Q，且＝4，|PF2|＋|F2Q|＝6，則橢圓E的標準方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
題型三 橢圓的幾何性質
命題點1 離心率
例3 (1)(2023·太原模擬)設F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1且斜率為eq \f(\r(3),3)的直線交橢圓于點P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為( )
A．2－eq \r(3) B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
(2)(2022·全國甲卷)橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為eq \f(1,4)，則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
命題點2 與橢圓有關的范圍(最值)問題
例4 (多選)已知橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，B為上頂點，P為橢圓上任一點，則( )
A．的最大值為4eq \r(3)
B．|PF1|的取值范圍是[4－2eq \r(3)，4＋2eq \r(3)]
C．不存在點P使PF1⊥PF2
D．|PB|的最大值為2eq \r(5)
跟蹤訓練3 (1)已知M，N是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上關于原點O對稱的兩點，P是橢圓C上異于M，N的點，且eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值是eq \f(1,4)a2，則橢圓C的離心率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
(2)已知橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左頂點為A，右焦點為F，M是橢圓上任意一點，則eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MF,\s\up6(→))的取值范圍為( )
A．[－16,0] B．[－8,0]
C．[0,8] D．[0,16]焦點
的位置
焦點在x軸上
焦點在y軸上
圖形
標準方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
范圍
頂點
軸長
短軸長為________，長軸長為________
焦點
焦距
|F1F2|＝________
對稱性
對稱軸：____________，對稱中心：________
離心率
a，b，c
的關系

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