1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
3．函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．{且}B．{且}
C．D．{且}
4．“大美中國(guó)古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成.如圖，記榴花塔高為，測(cè)量小組選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)和，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在三棱錐中，，分別為AB，AD的中點(diǎn)，過EF的平面截三棱錐得到的截面為EFHG.則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．平面D．平面
6．若是第一象限角，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二．多選題（共4小題，每題5分，共20分。在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。）
9．定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱B．的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．4為的周期D．
10．已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．在銳角中，不等式恒成立
C．若，，且有兩解，則b的取值范圍是
D．若，的平分線交于點(diǎn)D，，則的最小值為9
11．已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
12．定義在R上的函數(shù)（且，），若存在實(shí)數(shù)m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
B．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
C．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
D．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
三．填空題（共4小題，每題5分，共20分。）
13．已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為 ．
14．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且在上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的取值范圍是 .

15．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
16．在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，且△ABD面積是△ADC面積的2倍，AD=2，DC=2，則邊AC=__________．
四．解答題（共6小題，共70分）
（10分）17．已知.
(1)若在（）上單調(diào)，求m的最大值；
(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)k的取值范圍及的值.
（12分）18．如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)求證：平面；
(3)若M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說明理由.
（12分）19．記銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.向量，，且.
(1)求角；
(2)已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，
（i）若點(diǎn)滿足，且，求的值；
（ii）若點(diǎn)為內(nèi)切圓圓心，求的取值范圍.
（12分）20．已知二次函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：①，②，③．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若，，求：
①的最小值；
②討論關(guān)于m的方程的解的個(gè)數(shù)．
（12分）21．如圖，在中，已知，M是的中點(diǎn)，N是上的點(diǎn)，且相交于點(diǎn)P．設(shè).
(1)若，試用向量表示;
(2)若，求實(shí)數(shù)x的值．
（12分）22．某鎮(zhèn)為了拓展旅游業(yè)務(wù)，把一塊形如的空地(如圖所示)改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)，其中.現(xiàn)擬在中間挖一個(gè)人工湖，其中M，N都在邊AB上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場(chǎng).為安全起見，需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).
(1)當(dāng)時(shí)，求防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度.
(2)為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，試問當(dāng)多大時(shí)，的面積最小?最小面積是多少?
數(shù)學(xué)答案
1．C【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以，即，
又，所以.
2．B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，
所以．
3．D【詳解】由題意得，解得且，
即定義域?yàn)?
4．A【詳解】依題意，中，，，即，
解得.
在中，，即.
5．D【詳解】對(duì)于，，分別為，的中點(diǎn)，，EF與平面BCD平行
過的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，
，，故AB正確；
對(duì)于，，平面，平面，平面，故正確；
對(duì)于，的位置不確定，與平面有可能相交，故錯(cuò)誤.
6．C【詳解】因?yàn)樵诘谝幌笙蓿?，?br>所以，，所以是第一?三象限角，
當(dāng)是第一象限角時(shí)，，，，；
當(dāng)是第三象限角時(shí)，，，，；
綜上，一定成立.
7．A【詳解】由題意得，函數(shù)的增區(qū)間為，且，
解得.
由題意可知：.
于是，解得.
又，于是.
8．C【詳解】由題意可知，函數(shù)的圖象如圖所示：
根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；且時(shí)取最大值2，在時(shí)取最小值0，是該圖像的漸近線.
令，則關(guān)于的方程即可寫成，
此時(shí)關(guān)于的方程應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
設(shè)，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然，有以下兩種情況符合題意：
①當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，則；
②當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，則；
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
9．ABC【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
，把換成可得，
兩式相加可得，關(guān)于對(duì)稱，
又關(guān)于軸對(duì)稱，則可得，，
可知4為的周期，所以ABC都正確．
令，，，，
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
10．BCD【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，即?br>所以有
整理可得，所以或，
故為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，若為銳角三角形，所以，所以，
由正弦函數(shù)在單調(diào)遞增，則，故B正確.
選項(xiàng)C，如圖，若有兩解，則，
所以，則b的取值范圍是，故C正確．
選項(xiàng)D，的平分線交于點(diǎn)D，，
由，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，
得，
即，得，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故D正確.
11．BC【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
即，整理可得 ，
再由，且可得，
所以，，故錯(cuò)誤；
又因?yàn)椋?br>所以向量的夾角，
故向量共線且方向相反，
所以，故B正確；
又，
所以，故C正確．
12．BD【詳解】對(duì)于函數(shù)，因，則函數(shù)是奇函數(shù).
不妨設(shè)，則，
對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
因，則在R上也是增函數(shù)，故在R上也是增函數(shù).
由，則，即（*），
①當(dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立；② 當(dāng)時(shí)，由（*）可得，解得，綜上可知，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因，則在R上也是減函數(shù)，故在R上是增函數(shù)，
由A項(xiàng)分析可得，恒成立可得，，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因，則在R上是減函數(shù)，故在R上是減函數(shù)，
由，則，即（*），
①當(dāng)時(shí)，無解；② 當(dāng)時(shí)，由（*）可得，解得或，綜上可知，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因，則在R上也是增函數(shù)，故在R上是減函數(shù)，
由C項(xiàng)分析可得，恒成立可得，，故D項(xiàng)正確.
13．
【詳解】當(dāng)時(shí)，得，
當(dāng)時(shí)，，得，所以，
綜上：的解集為，
故答案為：.
14．
【詳解】由圖知，所以，
因?yàn)?，所以，即?br>由，知，
因?yàn)樵谏锨∮幸粋€(gè)最大值和一個(gè)最小值，
所以，解得．
故答案為：．
15．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>因?yàn)閷?duì)任意的，總存在使得成立，
故的值域是值域的子集，
對(duì)，，
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，
所以解得，又，所以，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

【詳解】如所示，∠DAB=∠CAD,∠ADB+∠CDA=π,即sin∠DAB=sin∠CAD,sin∠ADB=sin∠CDA,由S△ABD=2S△ACD?12AB?AD?sin∠BAD=2×12AC?AD?sin∠CAD?AB=2AC 由正弦定理可得：DBsin∠BAD=ABsin∠ADB,DCsin∠CAD=ACsin∠ADC，兩式作商得：BDDC=ABAC=2?BD=22 設(shè)AC=b，則AB=2b，由余弦定理得：cs∠BAD=22+2b2?2228b=cs∠CAD=22+b2?224b?b=2
17．(1)的最大值為；
(2);
【詳解】（1），
，
，
，
因?yàn)?，所以?br>若在（）上單調(diào)，所以，
解得：，所以的最大值為；
（2）由（1）可知，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，
即與在上有2個(gè)交點(diǎn)，
，，設(shè)，
即與，有2個(gè)交點(diǎn)，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，，，
則，解得：；
并且，與關(guān)于對(duì)稱，即，
所以
.
18．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在，證明見解析
【詳解】（1）在四棱錐中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；
（2）如下圖，取為中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，
所以且，由（1）知，又，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，
而平面，平面，則平面.

（3）取中點(diǎn)N，連接，，
因?yàn)镋，N分別為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>線段存在點(diǎn)N，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又M是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，
所以平面，所以線段存在點(diǎn)N，使得平面.
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
由正弦定理可得，
由余弦定理有，
因?yàn)?，所?
（2）
（i）因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，即為三角形的外心，
由正弦定理可得，
；
（ii）因?yàn)辄c(diǎn)為內(nèi)切圓圓心，
所以分別為的平分線，
所以，
因?yàn)槭卿J角三角形，則,所以，
所以設(shè)，,
則，
所以，即，
，
，
在中，由正弦定理有，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以的取值范圍為.
20．(1)
(2)①；②答案見解析
【詳解】（1）（1）由得，對(duì)稱軸為，
設(shè)，
∴，得，
∴．
（2）（2）①，，對(duì)稱軸，
ⅰ當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，
，
ⅱ即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴，
ⅲ當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，
，
綜上：
②畫出函數(shù)的圖象圖下圖所示：

利用圖象的翻轉(zhuǎn)變換得到函數(shù)的圖象如圖所示：

方程的根的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象可知：
當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)解；當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解.
21．(1)，
(2)
【詳解】（1），
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，
即，
由共線得：，解得：，
所以，
所以.
（2），
因?yàn)?，由于共線，故，
所以，
解．
22．(1)
(2)時(shí)，的面積最小，且最小值為
【詳解】（1）在中，，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，則，所以，
又，所以，即為正三角形，則的周長(zhǎng)為9，
即防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度為.
（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，
所以，在中，由正弦定理得，
所以，
又，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積最小，
且最小值為.

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