1．（3分）溫度由﹣4℃上升7℃是（ ）
A．3℃B．﹣3℃C．11℃D．﹣11℃
2．（3分）據(jù)統(tǒng)計，2022年考研報名人數(shù)約有457萬，創(chuàng)下歷史新高，把457萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．4.57×106B．45.7×106C．4.57×107D．0.457×107
3．（3分）下列運算正確的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x2+x3＝x5
C．x3?x4＝x7D．2x3﹣x3＝1
4．（3分）如圖，直線l1∥l2，被直線l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，則∠2等于（ ）
A．56°B．34°C．44°D．46°
5．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)b的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
6．（3分）分式的值為零，則x的值為（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．任意實數(shù)
7．（3分）如圖，將一個Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點P處沿水平方向打入木樁底下，使木樁向上運動，已知楔子斜面的傾斜角為18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭頭所示），則木樁上升了（ ）
A．6tan18°cmB．cmC．6sin18°cmD．6cs18°cm
8．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比為3：1，且△ABC的周長為15，則△DEF的周長為（ ）
A．1B．3C．5D．45
9．（3分）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題：今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉．下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？大意是：3束上等禾的產(chǎn)量再加6斗，相當于10束下等禾的產(chǎn)量；5束下等禾的產(chǎn)量再加1斗，相當于2束上等禾的產(chǎn)量．問上等禾、下等禾每束的產(chǎn)量各為幾斗？
設(shè)上等禾每束產(chǎn)量x斗，下等禾每束產(chǎn)量y斗，根據(jù)題意可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如圖①，動點P從正六邊形的A點出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運動到點C，圖②是點P運動時，△ACP的面積y（cm2）隨著時間x（s）的變化的關(guān)系圖象，則正六邊形的邊長為（ ）
A．B．2cmC．1cmD．3cm
二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）
11．（4分）分解因式：4﹣4m2＝ ．
12．（4分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 ．
13．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，若∠AOC＝140°，則∠D的度數(shù)為 ．
14．（4分）若一次函數(shù)y＝﹣2x+b（b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則b的值可以是 （寫出一個即可）．
15．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2．將∠A向內(nèi)翻折，點A落在BC上，記為A'，折痕為DE．若將∠B沿EA'向內(nèi)翻折，點B恰好落在DE上，記為B'，則∠AED＝ ，AB＝ ．
16．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B′C'，其中點B的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為 ．
三、解答題（一）：（本大題共6小題，共46分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（6分）計算：．
18．（6分）解不等式組．
19．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝1．
20．（8分）“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離．某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題，請你解答．
如圖所示，底座上A，B兩點間的距離為90cm．低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm，高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°．求高、低杠間的水平距離CH的長．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin82.4°≈0.991，cs82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cs80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
21．（10分）春節(jié)來臨之際，佳樂超市開展“翻牌抽獎”活動．如圖是四張除正面圖案不同外，其余都相同的卡片，且正面分別對應(yīng)著“龍，花，竹，鳥”的剪紙照片．卡片背面朝上洗勻，放置在桌面上．
（1）若顧客小辰隨機翻開一張，翻到“A．龍”的概率是 ；
（2）這四張卡片分別對應(yīng)價值為30元，25元，20元，15元的4件獎品，若顧客小欣先隨機翻開一張卡片，然后從剩下的三張中再隨機翻開一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求小欣兩次所獲獎品總值不低于45元的概率．
22．（10分）某校為了解七、八年級學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學(xué)生進行測試，并對成績（百分制）進行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年級成績頻數(shù)分布直方圖：
b．七年級成績在70≤x＜80這一組的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有 人；
（2）表中m的值為 ；
（3）在這次測試中，七年級學(xué)生甲與八年級學(xué)生乙的成績都是78分，請判斷兩位學(xué)生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由；
（4）該校七年級學(xué)生有400人，假設(shè)全部參加此次測試，請估計七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)．
四、解答題（二）：（本大題共5小題，共50分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
23．（8分）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過格點（網(wǎng)格線的交點）P．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形（不寫畫法），要求每個矩形均需滿足下列兩個條件：
①四個頂點均在格點上，且其中兩個頂點分別是點O，點P；
②矩形的面積等于k的值．
24．（10分）小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝x+的圖象與性質(zhì)進行了探究．
下面是小明的探究過程，請補充完整：
（1）函數(shù)y＝x+的自變量x的取值范圍是 ．
（2）下表列出了y與x的幾組對應(yīng)值，請寫出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；
（4）結(jié)合函數(shù)的圖象，請完成：
①當y＝﹣時，x＝ ．
②寫出該函數(shù)的一條性質(zhì) ．
③若方程x+＝t有兩個不相等的實數(shù)根，則t的取值范圍是 ．
25．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，BC，延長AB至點D，使得∠DCB＝∠CAB，點E為的中點，連接CE交AB于點F，連接BE．
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若CD＝4，，求CF?CE．
26．（10分）我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補的凸四邊形叫做等補四邊形．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，在BC上任取一點D（B、C除外），連接AD，我們把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則AB與AC重合，點D的對應(yīng)點E．請根據(jù)給出的定義判斷，四邊形ADCE （選擇是或不是）等補四邊形．
（2）如圖2，等補四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四邊形ABCD＝8，求BD的長．
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四邊形ABCD面積的最大值．
27．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線l經(jīng)過A，C兩點，連接BC．
（1）求直線l的解析式；
（2）若直線x＝m（m＜0）與該拋物線在第三象限內(nèi)交于點E，與直線l交于點D，連接OD．當OD⊥AC時，求線段DE的長；
（3）取點G（0，﹣1），連接AG，在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在點P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
2024年甘肅省張掖市甘州區(qū)中考數(shù)學(xué)診斷試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）
1．（3分）溫度由﹣4℃上升7℃是（ ）
A．3℃B．﹣3℃C．11℃D．﹣11℃
【分析】根據(jù)題意列出算式，再利用加法法則計算可得．
【解答】解：溫度由﹣4℃上升7℃是﹣4+7＝3（℃），
故選：A．
【點評】本題主要考查有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法法則．
2．（3分）據(jù)統(tǒng)計，2022年考研報名人數(shù)約有457萬，創(chuàng)下歷史新高，把457萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．4.57×106B．45.7×106C．4.57×107D．0.457×107
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
【解答】解：457萬＝4570000＝4.57×106．
故選：A．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3．（3分）下列運算正確的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x2+x3＝x5
C．x3?x4＝x7D．2x3﹣x3＝1
【分析】分別根據(jù)冪的乘方、同類項概念、同底數(shù)冪相乘及合并同類項法則逐一計算即可判斷．
【解答】解：A、（﹣x2）3＝﹣x6，此選項錯誤；
B、x2、x3不是同類項，不能合并，此選項錯誤；
C、x3?x4＝x7，此選項正確；
D、2x3﹣x3＝x3，此選項錯誤；
故選：C．
【點評】本題主要考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方、同類項概念、同底數(shù)冪相乘及合并同類項法則．
4．（3分）如圖，直線l1∥l2，被直線l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，則∠2等于（ ）
A．56°B．34°C．44°D．46°
【分析】依據(jù)l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根據(jù)l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【解答】解：如圖：
∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故選：C．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同位角相等．
5．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)b的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．據(jù)此得出關(guān)于b的方程，求出b的值即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2．
故選：A．
【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式，關(guān)鍵是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系．
6．（3分）分式的值為零，則x的值為（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．任意實數(shù)
【分析】分式的值為零：分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依題意，得
|x|﹣3＝0且x+3≠0，
解得，x＝3．
故選：A．
【點評】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．
7．（3分）如圖，將一個Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點P處沿水平方向打入木樁底下，使木樁向上運動，已知楔子斜面的傾斜角為18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭頭所示），則木樁上升了（ ）
A．6tan18°cmB．cmC．6sin18°cmD．6cs18°cm
【分析】根據(jù)已知，運用直角三角形和三角函數(shù)得到上升的高度．
【解答】解：由已知圖形可得：tan18°＝，
木樁上升的高度h＝6tan18°cm．
故選：A．
【點評】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是由已知得直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)求解．
8．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比為3：1，且△ABC的周長為15，則△DEF的周長為（ ）
A．1B．3C．5D．45
【分析】因為△ABC∽△DEF，相似比為3：1，根據(jù)相似三角形周長比等于相似比，即可求出周長．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為3：1，
∴△ABC的周長：△DEF的周長＝3：1，
∵△ABC的周長為15，
∴△DEF的周長為5．
故選：C．
【點評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解，正確記憶相似三角形周長的比等于相似比是解題關(guān)鍵．
9．（3分）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題：今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉．下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？大意是：3束上等禾的產(chǎn)量再加6斗，相當于10束下等禾的產(chǎn)量；5束下等禾的產(chǎn)量再加1斗，相當于2束上等禾的產(chǎn)量．問上等禾、下等禾每束的產(chǎn)量各為幾斗？
設(shè)上等禾每束產(chǎn)量x斗，下等禾每束產(chǎn)量y斗，根據(jù)題意可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】設(shè)上等禾每束產(chǎn)量x斗，下等禾每束產(chǎn)量y斗，等量關(guān)系：3束上等禾的產(chǎn)量+6斗＝10束下等禾的產(chǎn)量；5束下等禾的產(chǎn)量+1斗＝2束上等禾的產(chǎn)量．
【解答】解：根據(jù)題意知：．
故選：A．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
10．（3分）如圖①，動點P從正六邊形的A點出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運動到點C，圖②是點P運動時，△ACP的面積y（cm2）隨著時間x（s）的變化的關(guān)系圖象，則正六邊形的邊長為（ ）
A．B．2cmC．1cmD．3cm
【分析】由圖②得，點P運動過程中，△ACP的面積的最大值為3cm2，此時點P在點E上，由題得△ACE為等邊三角形，根據(jù)面積公式求出AC，進而求出邊長．
【解答】解：由圖②得，點P運動過程中，△ACP的面積的最大值為3cm2，
此時點P在點E上，由題得△ACE為等邊三角形，
即，
∴AC＝2cm，
∵∠B＝120°，BA＝BC，
∴AB：AC＝1：，
∴AB＝2cm．
故答案為：B．
【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象的分析，等邊三角形面積公式是解題關(guān)鍵．
二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）
11．（4分）分解因式：4﹣4m2＝ 4（1+m）（1﹣m） ．
【分析】先提取公因式4，再用平方差公式因式分解．
【解答】解：原式＝4（1﹣m2）
＝4（1+m）（1﹣m）．
故答案為：4（1+m）（1﹣m）．
【點評】本題考查了提公因式法和公式法的綜合運用，考核學(xué)生的計算能力，解題的關(guān)鍵是把1看作12．
12．（4分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 x≥3且x≠4 ．
【分析】根據(jù)二次根式的意義可知：x﹣3≥0，根據(jù)分式的意義可知：x﹣4≠0，就可以求出x的范圍．
【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣3≥0且x﹣4≠0，
解得：x≥3且x≠4．
【點評】主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定和分式的意義．函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：
（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)．
13．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，若∠AOC＝140°，則∠D的度數(shù)為 20° ．
【分析】先利用平角定義求出∠BOC的度數(shù)，然后再利用圓周角定理進行計算，即可解答．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝40°，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故答案為：20°．
【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）若一次函數(shù)y＝﹣2x+b（b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則b的值可以是 ﹣1 （寫出一個即可）．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，可以得出k＜0，b＜0，隨便寫出一個小于0的b值即可．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝﹣2x+b（b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象所過的象限找出它的系數(shù)的正負．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，能夠熟練的運用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵．
15．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2．將∠A向內(nèi)翻折，點A落在BC上，記為A'，折痕為DE．若將∠B沿EA'向內(nèi)翻折，點B恰好落在DE上，記為B'，則∠AED＝ 60° ，AB＝ ．
【分析】根據(jù)將∠A向內(nèi)翻折，點A落在BC上，記為A'，將∠B沿EA'向內(nèi)翻折，點B恰好落在DE上，記為B'，可得∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，即知∠AED＝60°，在Rt△ADE中，tan60°＝，可得AE＝＝A'E，在Rt△A'BE中，BE＝A'E＝，故AB＝AE+BE＝．
【解答】解：如圖：
∵將∠A向內(nèi)翻折，點A落在BC上，記為A'，將∠B沿EA'向內(nèi)翻折，點B恰好落在DE上，記為B'，
∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，
∵∠AED+∠A'ED+∠A'EB＝180°，
∴∠AED＝60°，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝，
∴tan60°＝，
∴AE＝，
∴A'E＝，
在Rt△A'BE中，∠A'EB＝∠AED＝60°，
∴∠EA'B＝30°，
∴BE＝A'E＝，
∴AB＝AE+BE＝+＝，
故答案為：60°，．
【點評】本題考查矩形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練應(yīng)用含30°角的直角三角形三邊關(guān)系．
16．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B′C'，其中點B的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為 π﹣ ．
【分析】先利用勾股定理求出DB′＝＝，再根據(jù)S陰＝S扇形BDB′﹣S△DBC﹣S△DB′C，計算即可．
【解答】解：連接DB′，BD．
∵△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B′C'，此時點A′在斜邊AB上，CA′⊥AB，
DB′＝＝＝，
∴S陰＝﹣×1×1﹣×1×2＝π﹣．
故答案為π﹣．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（一）：（本大題共6小題，共46分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（6分）計算：．
【分析】首先計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、開平方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝3+1﹣2+2+3
＝7．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
18．（6分）解不等式組．
【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分就是不等式組的解集．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
則不等式組的解集是：﹣1＜x≤2．
【點評】本題主要考查了一元一次不等式解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解，求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．
19．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝1．
【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝÷
＝÷
＝?
＝，
當x＝1時，原式＝＝．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．
20．（8分）“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離．某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題，請你解答．
如圖所示，底座上A，B兩點間的距離為90cm．低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm，高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°．求高、低杠間的水平距離CH的長．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin82.4°≈0.991，cs82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cs80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
【分析】利用銳角三角函數(shù)，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分別求出AE、BF的長．計算出EF．通過矩形CEFH得到CH的長．
【解答】解：在Rt△ACE中，
∵tan∠CAE＝，
∴AE＝＝≈≈21（cm）
在Rt△DBF中，
∵tan∠DBF＝，
∴BF＝＝≈＝40（cm）
∵EF＝EA+AB+BF≈21+90+40＝151（cm）
∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF
∴四邊形CEFH是矩形，
∴CH＝EF＝151cm
答：高、低杠間的水平距離CH的長為151cm．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)解直角三角形．題目難度不大，注意精確度．
21．（10分）春節(jié)來臨之際，佳樂超市開展“翻牌抽獎”活動．如圖是四張除正面圖案不同外，其余都相同的卡片，且正面分別對應(yīng)著“龍，花，竹，鳥”的剪紙照片．卡片背面朝上洗勻，放置在桌面上．
（1）若顧客小辰隨機翻開一張，翻到“A．龍”的概率是 ；
（2）這四張卡片分別對應(yīng)價值為30元，25元，20元，15元的4件獎品，若顧客小欣先隨機翻開一張卡片，然后從剩下的三張中再隨機翻開一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求小欣兩次所獲獎品總值不低于45元的概率．
【分析】（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；
（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩次所獲獎品總值不低于45元的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．
【解答】（1）解：∵一共有四張卡片，每張卡片被翻開的概率相同，
∴顧客小辰隨機翻開一張，翻到“A．龍”的概率是，
故填：；
（2）解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中小欣兩次所獲獎品總值不低于45元的結(jié)果數(shù)有8種，
∴小欣兩次所獲獎品總值不低于45元的概率為．
【點評】本題主要考查了列樹狀圖法或列表法求解概率，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22．（10分）某校為了解七、八年級學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學(xué)生進行測試，并對成績（百分制）進行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年級成績頻數(shù)分布直方圖：
b．七年級成績在70≤x＜80這一組的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有 23 人；
（2）表中m的值為 77.5 ；
（3）在這次測試中，七年級學(xué)生甲與八年級學(xué)生乙的成績都是78分，請判斷兩位學(xué)生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由；
（4）該校七年級學(xué)生有400人，假設(shè)全部參加此次測試，請估計七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)條形圖及成績在70≤x＜80這一組的數(shù)據(jù)可得；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；
（3）將各自成績與該年級的中位數(shù)比較可得答案；
（4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)所占比例可得．
【解答】解：（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，
故答案為：23；
（2）七年級50人成績的中位數(shù)是第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第25、26個數(shù)據(jù)分別為77、78，
∴m＝＝77.5，
故答案為：77.5；
（3）甲學(xué)生在該年級的排名更靠前，
∵七年級學(xué)生甲的成績大于中位數(shù)77.5分，其名次在該年級抽查的學(xué)生數(shù)的25名之前，
八年級學(xué)生乙的成績小于中位數(shù)79.5分，其名次在該年級抽查的學(xué)生數(shù)的25名之后，
∴甲學(xué)生在該年級的排名更靠前．
（4）估計七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)為400×＝224（人）．
【點評】本題主要考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)及樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直方圖得出解題所需數(shù)據(jù)及中位數(shù)的定義和意義、樣本估計總體思想的運用．
四、解答題（二）：（本大題共5小題，共50分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
23．（8分）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過格點（網(wǎng)格線的交點）P．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形（不寫畫法），要求每個矩形均需滿足下列兩個條件：
①四個頂點均在格點上，且其中兩個頂點分別是點O，點P；
②矩形的面積等于k的值．
【分析】（1）將P點坐標代入y＝，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)矩形滿足的兩個條件畫出符合要求的兩個矩形即可．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過格點P（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；
（2）如圖所示：
矩形OAPB、矩形OCDP即為所求作的圖形．
【點評】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，矩形的判定與性質(zhì)，正確求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝x+的圖象與性質(zhì)進行了探究．
下面是小明的探究過程，請補充完整：
（1）函數(shù)y＝x+的自變量x的取值范圍是 x≠0 ．
（2）下表列出了y與x的幾組對應(yīng)值，請寫出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；
（4）結(jié)合函數(shù)的圖象，請完成：
①當y＝﹣時，x＝ ﹣4或﹣ ．
②寫出該函數(shù)的一條性質(zhì) 函數(shù)圖象在第一、三象限且關(guān)于原點對稱 ．
③若方程x+＝t有兩個不相等的實數(shù)根，則t的取值范圍是 t＜﹣2或t＞2 ．
【分析】（1）由x在分母上，可得出x≠0；
（2）代入x＝、3求出m、n的值；
（3）連點成線，畫出函數(shù)圖象；
（4）①代入y＝﹣，求出x值；
②觀察函數(shù)圖象，寫出一條函數(shù)性質(zhì)；
③觀察函數(shù)圖象，找出當x+＝t有兩個不相等的實數(shù)根時t的取值范圍（亦可用根的判別式去求解）．
【解答】解：（1）∵x在分母上，
∴x≠0．
故答案為：x≠0．
（2）當x＝時，y＝x+＝；
當x＝3時，y＝x+＝．
故答案為：；．
（3）連點成線，畫出函數(shù)圖象．
（4）①當y＝﹣時，有x+＝﹣，
解得：x1＝﹣4，x2＝﹣．
故答案為：﹣4或﹣．
②觀察函數(shù)圖象，可知：函數(shù)圖象在第一、三象限且關(guān)于原點對稱．
故答案為：函數(shù)圖象在第一、三象限且關(guān)于原點對稱．
③∵x+＝t有兩個不相等的實數(shù)根，
∴t＜﹣2或t＞2．
故答案為：t＜﹣2或t＞2．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象、正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是：（1）由x在分母上找出x≠0；（2）代入x＝、3求出m、n的值；（3）連點成線，畫出函數(shù)圖象；（4）①將﹣化成﹣4﹣；②觀察函數(shù)圖象找出函數(shù)性質(zhì)；③觀察函數(shù)圖象找出t的取值范圍．
25．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，BC，延長AB至點D，使得∠DCB＝∠CAB，點E為的中點，連接CE交AB于點F，連接BE．
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若CD＝4，，求CF?CE．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，同角的余角相等得出∠DCB+∠OCB＝90°，再根據(jù)切線的判定方法進行判斷即可；
（2）利用直角三角形半徑關(guān)系可求出AC，BC，再根據(jù)圓周角定理以及相似三角形的性質(zhì)得出CE?CF＝AC?CB，代入計算即可．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC為半徑，
∴DC為⊙O的切線；
（2）解：∵∠DAC＝∠DCB，∠D＝∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝＝tan∠A＝tan∠CEB＝，
∵CD＝4，
∴BD＝CD＝2，AD＝2CD＝8，
∴AB＝AD﹣BD＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2BC，
∵AC2+CB2＝AB2，
即 （2CB）2+CB2＝62，
∴BC＝，AC＝，
∵點E為 的中點，
∴∠ACF＝∠ECB，
又∵∠CAF＝∠CEB，
∴△ACF∽△ECB，
∴，
∴CE?CF＝AC?CB
＝
＝．
【點評】本題考查切線的判定，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定方法，相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．
26．（10分）我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補的凸四邊形叫做等補四邊形．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，在BC上任取一點D（B、C除外），連接AD，我們把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則AB與AC重合，點D的對應(yīng)點E．請根據(jù)給出的定義判斷，四邊形ADCE 是 （選擇是或不是）等補四邊形．
（2）如圖2，等補四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四邊形ABCD＝8，求BD的長．
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四邊形ABCD面積的最大值．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，再證明四邊形有一對角互補，根據(jù)等補四邊形的定義可得結(jié)論；
（2）如圖2，將△BAD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得△BCG，先證明D、C、G三點共線，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：S四邊形ABCD＝S△BDG＝8，根據(jù)三角形的面積公式可得BD的長；
（3）如圖3，作輔助線：將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)∠ABC的大小，得△BAE，先證明A、D、E三點共線，則S四邊形ABCD＝S△BDE，當BD⊥BE時，△BDE的面積最大，從而得結(jié)論．
【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴四邊形ADCE是等補四邊形．
故答案為：是；
（2）如圖2，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴將△BAD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得△BCG，
∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCG＝180°，
∴D、C、G三點共線，
∵S四邊形ABCD＝8，
∴S△BDG＝8，
∴BD2＝8，
∴BD＝4（負值舍去）；
（3）∵AB＝BC，
∴將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)∠ABC的大小，得△BAE，如圖3，
∴BD＝BE＝5，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD，
∵∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝180°，
∴A、D、E三點共線，
∴S四邊形ABCD＝S△BDE，
當BD⊥BE時，△BDE的面積最大，為S△BDE＝＝．
則四邊形ABCD面積的最大值為．
【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了利用旋轉(zhuǎn)作全等三角形，三角形和四邊形的面積，等補四邊形的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
27．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線l經(jīng)過A，C兩點，連接BC．
（1）求直線l的解析式；
（2）若直線x＝m（m＜0）與該拋物線在第三象限內(nèi)交于點E，與直線l交于點D，連接OD．當OD⊥AC時，求線段DE的長；
（3）取點G（0，﹣1），連接AG，在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在點P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以求得點A和點C的坐標，從而可以求得直線l的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意作出合適的輔助線，利用三角形相似和勾股定理可以解答本題；
（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得∠OAC＝∠OCB，然后根據(jù)題目中的條件和圖形，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理即可解答本題．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+x﹣2，
∴當y＝0時，得x1＝1，x2＝﹣4，當x＝0時，y＝﹣2，
∵拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，
∴點A的坐標為（﹣4，0），點B（1，0），點C（0，﹣2），
∵直線l經(jīng)過A，C兩點，設(shè)直線l的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
，得，
即直線l的函數(shù)解析式為y＝；
（2）直線ED與x軸交于點F，如圖1所示，
由（1）可得，
AO＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC＝2，
∴OD＝，
∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD＝∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴，
即，得AD＝，
∵EF⊥x軸，∠AOC＝90°，
∴EF∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴，
解得，AF＝，DF＝，
∴OF＝4﹣＝，
∴m＝﹣，
當m＝﹣時，y＝×（）2+×（﹣）﹣2＝﹣，
∴EF＝，
∴DE＝EF﹣FD＝；
（3）存在點P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，
理由：作GM⊥AC于點M，作PN⊥x軸于點N，如圖2所示，
∵點A（﹣4，0），點B（1，0），點C（0，﹣2），
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，
∴tan∠OAC＝，tan∠OCB＝，AC＝2，
∴∠OAC＝∠OCB，
∵∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，∠GAM＝∠OAC﹣∠BAG，
∴∠BAP＝∠GAM，
∵點G（0，﹣1），AC＝2，OA＝4，
∴OG＝1，GC＝1，
∴AG＝，，即，
解得，GM＝，
∴AM＝＝＝，
∴tan∠GAM＝＝，
∴tan∠PAN＝，
設(shè)點P的坐標為（n，n2+n﹣2），
∴AN＝4+n，PN＝n2+n﹣2，
∴，
解得，n1＝，n2＝﹣4（舍去），
當n＝時，n2+n﹣2＝，
∴點P的坐標為（，），
即存在點P（，），使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG．
【點評】本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，利用三角形相似、銳角三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
七
76.9
m
八
79.2
79.5
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
4
…
y
…
﹣
﹣
﹣2
﹣
﹣
m
2
n
…
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
七
76.9
m
八
79.2
79.5
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
4
…
y
…
﹣
﹣
﹣2
﹣
﹣
m
2
n
…

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