2024.5
注意事項：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。
2.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。
3.本試卷命題范圍：必修第一冊，必修第二冊（6.1~9.3）。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1.已知集合，，下列結(jié)論成立的是（ ）
A.B.C.D.
2.在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.在中，，，則外接圓的半徑為（ ）
A.B.1C.2D.3
4.如圖，已知，則（ ）
A.B.
C.D.
5.如圖為近一年我國商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（ ）
（注：同比，指當前的數(shù)據(jù)與上一年同期進行比對；環(huán)比，指當前數(shù)據(jù)與上個月的數(shù)據(jù)進行比對.）
A.2024年1—2月份，商品零售總額同比增長9.2%
B.2023年3—12月份，餐飲收入總額同比都降低
C.2023年6—10月份，商品零售總額同比都增加
D.2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速為
6.已知非零平面向量，滿足，則的最小值是（ ）
A.4B.3C.2D.1
7.在正三棱柱中，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A.B.C.D.
8.已知函數(shù)，則使得不等式成立的實數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.圓柱的側(cè)面積為
B.圓錐的側(cè)面積為
C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等
D.圓柱、圓錐、球的體積之比為
10.摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，設(shè)置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)分鐘，當時，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠處.以下關(guān)于摩天輪的說法中，正確的為（ ）
A.摩天輪離地面最近的距離為8米
B.若旋轉(zhuǎn)分鐘后，游客距離地面的高度為米，則
C.若在，時刻，游客距離地面的高度相等，則的最小值為30
D.存在，使得游客在該時刻距離地面的高度均為90米
11.計算機顯示的數(shù)字圖像是由一個個小像素點組合而成的.處理圖像時，常會通過批量調(diào)整各像素點的亮度，間接調(diào)整圖像的對比度、飽和度等物理量，讓圖像更加美觀.特別地，當圖像像素點規(guī)模為1行列時，設(shè)第列像素點的亮度為，則該圖像對比度計算公式為.已知某像素點規(guī)模為1行列的圖像第列像素點的亮度，現(xiàn)對該圖像進行調(diào)整，有2種調(diào)整方案：①；②，則（ ）
A.使用方案①調(diào)整，當時，
B.使用方案②調(diào)整，當時，
C.使用方案①調(diào)整，當時，
D.使用方案②調(diào)整，當，時，
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩三種產(chǎn)品.某日三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且醫(yī)用防護口罩和醫(yī)用外科口罩共生產(chǎn)了45000個，則醫(yī)用普通口罩生產(chǎn)的個數(shù)為______.
13.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是______.
14.某園區(qū)有一塊三角形空地（如圖），其中，，，現(xiàn)計劃在該空地上劃分三個區(qū)域種?不同的花卉，若要求，則的最小值為______m.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15.（13分）
已知函數(shù)（且）為奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，求函數(shù)的解析式.
16.（15分）
已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間和最值；
（2）若函數(shù)在有且僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
17.（15分）
已知長方體中，棱，，過點作的垂線交于，交于.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正切值.
18.（17分）
在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知.
（1）求角；
（2）若，為的中點，求線段長度的取值范圍.
19.（17分）
隨機抽取100名學生，測得他們的身高（單位：），按照區(qū)間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求頻率分布直方圖中的值及身高在170cm及以上的學生人數(shù).
（2）估計該校100名學生身高的75%分位數(shù).
（3）若一個總體劃分為兩層，通過按樣本量比例分配分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明：
①；
②.
2023-2024學年度湘楚名校高一下學期5月聯(lián)考?數(shù)學
參考答案、提示及評分細則
1.B 集合，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.
2.D ，其共軛復數(shù)為，對應的點的坐標為，位于第四象限.
3.C 設(shè)為外接圓的半徑，則由正弦定理，得，解得.所以外接圓的半徑為2.
4.A ，.
5.C 對于A，2024年1-2月份，商品零售總額同比增長，故A錯誤；對于B，2023年8月份，餐飲收入總額同比增加，故B錯誤；對于C，2023年6-10月份，商品零售總額同比都增加，故C正確；對于D，2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速并未告知，故D錯誤.
6.A 依題意，，，當時，上述最后等式不成立，從而有，，當且僅當時取“”，又，當且僅當與同方向時取“”，則有，解得，當且僅當時取“”，所以的最小值是4.
7.B 如圖，延長至，使得，連接，，，因為為的中點，為的中點，所以，.，因為，所以，，所以四邊形是平行四邊形，，則為異面直線與所成的角或其補角.設(shè)，取的中點，連接，，則，，，，，，由余弦定理得，由余弦定理得.所以直線與所成角的余弦值為.
8.D 函數(shù)，令，因為，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，且在上遞減，在上遞增，所以的圖象關(guān)于對稱，且在上遞減，在上遞增，若使得不等式成立，則，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.
9.CD 對選項A，圓柱的側(cè)面積為，故A錯誤；對選項B，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積為，故B錯誤；對選項C，球的表面積為，故C正確.對選項D，圓柱的體積，圓錐的體積，球的體積，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為，故D正確.故選CD.
10.ABC 對于A，最高點離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，所以摩天輪離地面最近的距離為（米），選項A正確；對于B，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系，設(shè)分鐘時，游客位于點，以為終邊的角為，分鐘時，旋轉(zhuǎn)角度為，所以周期，角速度為，在轉(zhuǎn)動一周的過程中，高度關(guān)于時間的函數(shù)解析式是：，選項B正確；對于C，在，時刻，游客距離地面的高度相等，即，即，故，，故的最小值是30，選項C正確；對于D，，令，解得，令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，當時，，當時，，故在只有一個解，選項D錯誤.故選ABC.
11.AC 使用方案①調(diào)整：當時且，又，則，A正確；，，當，即且，又，可得，C正確；使用方案②調(diào)整：當時，顯然若時，B錯誤；，而，則，故，又，則，，所以，而，時，則，則，此時，顯然存在，D錯誤.
12.105000 （個）.
13. ，，，在區(qū)間內(nèi)沒有零點，，，，，或.當時，；當時，.的取值范圍為.
14. 如圖，因為，所以在如圖所示的圓上，圓的半徑為，由圓周角的性質(zhì)可得，，，連接，可得，所以當為與圓的交點時，取最小值，即.又，在中，，，，根據(jù)余弦定理可知，所以的最小值為.
15.解：（1）由，得，
方程的兩個根為，2.
又函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，
，.
（2），，解得.
.
16.解：（1）函數(shù)
；
令，整理得：；
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
當，整理得：時，函數(shù)取得最大值為；
當，整理得：時，函數(shù)取得最小值為.
（2）由于，整理得.
所以函數(shù)在上，函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點；故.
故實數(shù)的取值范圍為.
17.（1）證明：如圖，連接交于.
由底面是正方形，得.
又平面，平面，所以，
因為，所以平面，
又平面，則
因為平面，平面，所以.
又，而，所以平面，
所以.
而，所以平面.
（2）解：因為，且，
所以，
所以，所以.
又為的中點，連接，所以，
易知，且，
所以是二面角的一個平面角，
所以，即二面角的正切值為.
18.解：（1）因為，
所以，
則，
即，
所以.
又，則，
所以，即.
由，得，所以，
所以.
（2）因為，所以.
因為為的中點，所以，
則.
因為，所以，
，
則
.
因為，所以，
所以，
則，所以，
所以.
19.（1）解：由頻率分布直方圖可知，
解得，
身高在及以上的學生人數(shù)（人）.
（2）解：的人數(shù)占比為，
的人數(shù)占比為，
所以該校100名學生身高的分位數(shù)落在，
設(shè)該校100名學生身高的分位數(shù)為，
則，解得，
故該校100名學生身高的分位數(shù)為176.25.
（3）由①證明：；
②
又
同理，

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