一、選擇題（本大題共15小題，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題2分，共30分）
1. “春風(fēng)得意火車疾，一日嘗到東盟果．”現(xiàn)如今，這句話已成為中老鐵路高效快捷的真實(shí)寫(xiě)照．2024年第一季度，昆明海關(guān)累計(jì)監(jiān)管中老鐵路進(jìn)出口貨物約1380000噸，同比增長(zhǎng)，創(chuàng)季度新高．?dāng)?shù)據(jù)1380000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法：為整數(shù)，進(jìn)行表示即可．
【詳解】解：1380000；
故選：D．
2. 魏晉時(shí)期的中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽最早提出了正負(fù)數(shù)的概念，也使中國(guó)成為最早使用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量的國(guó)家．若元表示收入5元，則支出7元可記作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反意義的量，規(guī)定收入為正，則支出為負(fù)，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：若元表示收入5元，則支出7元可記作元；
故選A．
3. 如圖，直線，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查平行線性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故選：B．
4. 如圖，是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是( )
A. 三棱錐B. 三棱柱C. 圓柱D. 圓錐
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三視圖的定義即可得．
【詳解】俯視圖由一個(gè)圓和圓心組成，觀察四個(gè)選項(xiàng)的幾何體，只有選項(xiàng)D圓錐的俯視圖符合
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖的形狀是解題關(guān)鍵．
5. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法，合并同類項(xiàng)，完全平方公式，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
B、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
C、，原選項(xiàng)計(jì)算正確；
D、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
故選C．
6. 如圖，點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B分別作軸于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)C．若四邊形的面積為2，則k的值是（ ）

A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查值的幾何意義，根據(jù)題意，得到四邊形的面積為，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∵雙曲線過(guò)第二象限，
∴，
∴；
故選B．
7. 2024年5月12日是母親節(jié)，辰辰同學(xué)要給媽媽制作一個(gè)愛(ài)心圖案賀卡，以下幾個(gè)圖案中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．
【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：A．
8. 2024年，中國(guó)成功地發(fā)射了火星探測(cè)器，開(kāi)始了對(duì)火星的探測(cè)任務(wù)．這是中國(guó)在航天領(lǐng)域取得的重要突破，標(biāo)志著中國(guó)太空探索事業(yè)邁出了重要一步，某校對(duì)高一年級(jí)1500名學(xué)生進(jìn)行了“航空航天知識(shí)”了解情況的調(diào)查，抽取了部分高一學(xué)生參加“航空航天知識(shí)”測(cè)試，并把測(cè)試成績(jī)作為樣本分析，繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，則該校高一年級(jí)學(xué)生“航空航天知識(shí)”測(cè)試成績(jī)達(dá)到“優(yōu)”的大約有（ ）
A. 150人B. 300人C. 400人D. 450人
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應(yīng)用，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息，利用樣本估計(jì)總體的思想進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：樣本容量為：，
∴校高一年級(jí)學(xué)生“航空航天知識(shí)”測(cè)試成績(jī)達(dá)到“優(yōu)”的大約有人；
故選B．
9. 按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式：，，，，，…，第n個(gè)多項(xiàng)式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了尋找多項(xiàng)式的規(guī)律的知識(shí)，關(guān)鍵是通過(guò)歸納總結(jié)從特殊到一般找到規(guī)律．
從兩個(gè)方面（系數(shù)、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，即可求解．
【詳解】通過(guò)觀察即可發(fā)現(xiàn)：
a的指數(shù)的規(guī)律為：；b的指數(shù)的規(guī)律為：，
綜合后，第n個(gè)多項(xiàng)式為：，
故選D．
10. 如圖，四邊形內(nèi)接于，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，以及同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，
∴，
∴；
故選C．
11. 如圖，在中，D，E分別為，上的點(diǎn)．若，，的面積為2，則的面積為（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明，利用面積比等于相似比的平方進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面積為2，
∴的面積為32，
故選：C．
12. 若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查分式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為0時(shí)，分式有意義，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，
∴；
故選B．
13. 目前，我國(guó)電動(dòng)自行車保有量逾3億輛，公安交警部門提醒市民，騎行電動(dòng)自行車必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的法規(guī)，佩戴安全頭盔可以有效降低頭部損傷和致死風(fēng)險(xiǎn)．某安全頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔1月份到3月份的銷量，該品牌頭盔1月份銷售600個(gè)，3月份銷售864個(gè)，且從1月份到3月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)平均增長(zhǎng)率的等量關(guān)系：，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，由題意，得：；
故選A．
14. 估算式子的值最接近的整數(shù)是（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，以及二次根式的混合運(yùn)算．
根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則化簡(jiǎn)后，估算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：
∵，，
∴，即，
故最接近的整數(shù)是5．
故選C．
15. 在一個(gè)正六邊形中，若其相對(duì)兩邊的距離為，則該正六邊形的邊長(zhǎng)為（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形，勾股定理，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．正六邊形中，每個(gè)內(nèi)角為，即，，于是，可得，熟練運(yùn)用正多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
正六邊形中，每個(gè)內(nèi)角為，
，，
，
設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，
，
即，
解得（負(fù)值舍去），
，
即邊長(zhǎng)為2．
故選：B．
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題2分，共8分）
16. 因式分解：x2﹣49=________．
【答案】（x﹣7）（x+7）
【解析】
【分析】因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式積的形式．根據(jù)因式分解的一般步驟：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三檢查（徹底分解）
【詳解】解：可以直接用平方差分解：﹣49=（x﹣7）（x+7）．
故答案為：（x﹣7）（x+7）
17. 如圖，在四邊形中，平分，且，．當(dāng)________時(shí)，．
【答案】9
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵平分，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
即：，
∵，，
∴，
∴；
故答案為：9．
18. 九年級(jí)某小組4名同學(xué)在多次英語(yǔ)聽(tīng)力、口語(yǔ)模擬練習(xí)中，四人的平均成績(jī)都為28分（滿分為30分），方差分別為，，，，則四人中成績(jī)較為穩(wěn)定的是_______．
【答案】乙
【解析】
【分析】本題主要考查了方差的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義．方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量，方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．據(jù)此即可得到答案．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∴四人中成績(jī)較為穩(wěn)定的是乙．
故答案為：乙．
19. 圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為_(kāi)_______．（計(jì)算結(jié)果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本題考查求圓錐的側(cè)面積，先求出圓錐的母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，直接計(jì)算即可．
【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為，高為，
∴圓錐的母線長(zhǎng)為，
∴該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為；
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共62分）
20 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先進(jìn)行開(kāi)方，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和去絕對(duì)值運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：原式
．
21. 如圖，，，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
由條件可得，得，然后即可證明．
【詳解】證明：在和中，
，
，
，
，
．
22. 云南多地中小學(xué)開(kāi)展清明祭英烈活動(dòng)，悼念革命先烈，傳承紅色基因，他們通過(guò)獻(xiàn)花、默哀等方式，表達(dá)對(duì)革命先烈的崇高敬意和無(wú)限哀思．某中學(xué)準(zhǔn)備一次性購(gòu)買若干束A款鮮花和B款鮮花，其中用1200元購(gòu)買A款鮮花的數(shù)量比用1600元購(gòu)買B款鮮花的數(shù)量少20束，且A款鮮花的單價(jià)是B款鮮花單價(jià)的1.5倍．求一束A款鮮花和一束B(niǎo)款鮮花的售價(jià)分別是多少元？
【答案】一束A款鮮花的售價(jià)為60元，一束B(niǎo)款鮮花的售價(jià)為40元
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，利用“用1200元購(gòu)買A款鮮花的數(shù)量比用1600元購(gòu)買B款鮮花的數(shù)量少20束”，列方程，即可解答，正確列出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)一束B(niǎo)款鮮花的售價(jià)x元，則一束A款鮮花的售價(jià)為元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，
（元）．
答：一束A款鮮花的售價(jià)為60元，一束B(niǎo)款鮮花的售價(jià)為40元．
23. 鮮花餅是一款經(jīng)典特色小吃，以云南特有的食用玫瑰花人料的酥餅，以“花味、云南味”為特色．在云南某地區(qū)的旅游景區(qū)內(nèi)有：嘉華，：潘祥記，：花滿樓，：吉慶祥四種鮮花餅品牌店各一家．某旅游團(tuán)從中依次選擇兩家鮮花餅店為旅客購(gòu)置伴手禮，假設(shè)每一家被選到的可能性相等．
（1）請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法中的一種方法，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；
（2）求該旅游團(tuán)同時(shí)選到和兩家鮮花餅店的概率．
【答案】（1）共有12種等可能結(jié)果，分別為、、、、、、、、、、、
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了列舉法求概率，正確作出列表是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意作出列表，即可獲得答案；
（2）結(jié)合列表求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：列表分析如下，
共有12種等可能結(jié)果，分別為、、、、、、、、、、、；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中選中和兩家品牌店的情況有2種，分別是、，
∴該旅游團(tuán)選和兩家品牌店的概率．
24. 如圖，在中，是的平分線，交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的與邊相切，與邊相交于點(diǎn)D，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若時(shí)，的半徑為3，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）．
【解析】
【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
（1）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，由切線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)切線的判定定理即可證明結(jié)論成立；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)角平分線的定義求得，在中，利用正切函數(shù)的定義求得的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E．
與相切于點(diǎn)B，
，
，
平分，，
，
是的半徑，
是的半徑，
，
是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：，，
，
平分，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
根據(jù)勾股定理可得：．
25. 今年的瀾滄江一湄公河合作大理馬拉松（簡(jiǎn)稱“2024瀾湄大理馬拉松”），將于5月19日在美麗的云南大理開(kāi)跑，這是一場(chǎng)結(jié)合了自然風(fēng)光、歷史文化和民族風(fēng)情的國(guó)際性馬拉松賽事，旨在促進(jìn)瀾湄流域國(guó)家的合作與交流．以下是本次馬拉松賽事的一些信息：
（1）據(jù)了解，某中學(xué)有若干名同學(xué)報(bào)名參加了本次活動(dòng)歡樂(lè)跑和親子跑中的一個(gè)項(xiàng)目，他們共花費(fèi)了報(bào)名費(fèi)640元，完成挑戰(zhàn)后他們跑過(guò)的距離總和為34千米．請(qǐng)求出該中學(xué)報(bào)了歡樂(lè)跑和親子跑的同學(xué)各有幾人？
（2）已知在跑馬拉松過(guò)程中，人體內(nèi)消耗的水分y（單位：）與運(yùn)動(dòng)距離x（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中．
①請(qǐng)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②為了避免身體出現(xiàn)脫水現(xiàn)象，一般情況下體內(nèi)消耗水分達(dá)時(shí)就要適當(dāng)補(bǔ)水分，求起跑后距離起點(diǎn)多少千米時(shí)需要第一次補(bǔ)水？
【答案】（1）該中學(xué)有5名同學(xué)報(bào)了歡樂(lè)跑，有4名同學(xué)報(bào)了親子跑
（2）①；②起跑后距離起點(diǎn)9.5千米時(shí)需要第一次補(bǔ)水
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：
（1）設(shè)該中學(xué)有x名同學(xué)報(bào)了歡樂(lè)跑，有y名同學(xué)報(bào)了親子跑，根據(jù)他們共花費(fèi)了報(bào)名費(fèi)640元，完成挑戰(zhàn)后他們跑過(guò)的距離總和為34千米，列出方程組進(jìn)行求解即可；
（2）①分和兩段，分別求出函數(shù)解析式即可；②求出時(shí)的的值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)該中學(xué)有x名同學(xué)報(bào)了歡樂(lè)跑，有y名同學(xué)報(bào)了親子跑，由題意可列方程組為
，
解得．
答：該中學(xué)有5名同學(xué)報(bào)了歡樂(lè)跑，有4名同學(xué)報(bào)了親子跑．
【小問(wèn)2詳解】
①由題圖知，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，
則，，即；
當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，
由得，
即．
與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．
②令，則，解得．
答：起跑后距離起點(diǎn)9.5千米時(shí)需要第一次補(bǔ)水．
26. 已知關(guān)于x的拋物線解析式為．
（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（2）在（1）的條件下，直線（其中）與該拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度的最小值．
【答案】（1）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線
（2）線段長(zhǎng)度的最小值為
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）將代入，即可解答；
（2）表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解： ，
，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．
【小問(wèn)2詳解】
解：聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，
整理得，所以或，
解得，或，
所以方程組的解是，或，
直線與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
拋物線在這條直線上所截線段的長(zhǎng)度為
，
，，
當(dāng)，．
線段長(zhǎng)度的最小值為．
27. 如圖，點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心，，，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)（），連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E．四邊形與關(guān)于所在直線成軸對(duì)稱，線段交邊于點(diǎn)G．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)D重合時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）在（1）條件下，求證：四邊形是菱形；
（3）如圖2，令，．求證：．
【答案】（1）
（2）見(jiàn)解析 （3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）證明．設(shè)，則．可得，再利用勾股定理求解即可；
（2）證明．可得．再結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)可得答案；
（3）過(guò)O作于Q，連接，，，如圖：證明．證明．可得．再證明，可得，可得，再進(jìn)一步可得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得：，，
是線段的垂直平分線．
．
設(shè)，則．
，
，
四邊形是矩形，
．
在中，，，
由勾股定理得：，即，
解得．
．
【小問(wèn)2詳解】
解：由折疊得：，，
四邊形是矩形，
∴，
．
．
．
，．
．
四邊形是菱形．
【小問(wèn)3詳解】
證明：過(guò)O作于Q，連接，，，如圖：
，．
，
．
，
，
．
∴．
∴，
．
，
．
為中點(diǎn)，，，
∵，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì) 菱形的判定，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵． 第一家
第二家
項(xiàng)目
距離
報(bào)名費(fèi)
馬拉松
42.159千米
200元/人
半程馬拉松
21.0975千米
150元/人
歡樂(lè)跑
5.2千米
80元/人
親子跑
2千米
60元/人

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