1．（3分）﹣2024的相反數(shù)是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）中國人民銀行數(shù)據(jù)顯示，至2024年3月末，廣義貨幣（M2）余額281.46萬億元．281.46萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2.8146×1011B．2.8146×1012
C．2.8146×1013D．2.8146×1014
4．（3分）下列計算，正確的是（ ）
A．（a3）2＝a6B．a(chǎn)2﹣a＝aC．a(chǎn)2?a3＝a6D．a(chǎn)9÷a3＝a3
5．（3分）2023年2月，某區(qū)一周空氣質(zhì)量報告中某項污染指數(shù)的數(shù)據(jù)是：31，35，34，30，31，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（ ）
A．32，31B．31，32C．31，34D．31，31
6．（3分）《九章算術(shù)》中有一道題的條件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依據(jù)該條件，若設(shè)1個大桶可以盛米x斛，1個小桶可以盛米y斛，則可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組用測角儀和皮尺測量一座信號塔CD的高度，信號塔CD對面有一座高15米的瞭望塔AB，從瞭望塔頂部A測得信號塔頂C的仰角為53°，測得瞭望塔底B與信號塔底D之間的距離為25米，設(shè)信號塔CD的高度為x米，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A．sin53°＝B．cs53°＝
C．tan53°＝D．tan53°＝
8．（3分）下列命題不正確的是（ ）
A．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
B．負數(shù)的立方根是負數(shù)
C．對角線互相垂直的四邊形是菱形
D．五邊形的外角和是360°
9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法中（ ）
A．對稱軸是直線x＝B．當(dāng)﹣1＜x＜2時，y＜0
C．a(chǎn)+c＝bD．a(chǎn)+b＞﹣c
10．（3分）如圖，把邊長為3的正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE與BC交于點P，ED的延長線交AB于點Q，交OA的延長線于點M．若BQ：AQ=3：1，則AM=（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
12．（3分）關(guān)于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根為x＝1，則另一根為 ．
13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧交AD于點E，再分別以點C，E為圓心、大于CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線BF交CD于點G，則CG的長為 ．
14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB斜邊上的高為1，∠AOB=30°，將Rt△OAB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△OCD，點A的對應(yīng)點C恰好在函數(shù)y＝（k≠0），若在y＝的圖象上另有一點M使得∠MOC=30°，則點M的坐標為 ．
15．（3分）如圖，四邊形ABCD中∠BCD=90°，AD=，連接AC，BD，AB⊥BD且DB平分∠ADC，BD=2．則AC的長為 ．
三、解答題：（本題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）
16．（6分）計算：．
17．（6分）先化簡：，再從﹣2，0，1，2中選取一個合適的x的值代入求值．
18．（8分）某校為了解九年級學(xué)生體質(zhì)健康情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行體能測試，并根據(jù)測試結(jié)果繪制了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請回答下列問題．
（1）在這次調(diào)查中，“優(yōu)秀”所在扇形的圓心角的度數(shù)是 ；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）若該校九年級共有學(xué)生1200人，則估計該?！傲己谩钡娜藬?shù)是 ；
（4）已知“不及格”的3名學(xué)生中有2名男生、1名女生，如果從中隨機抽取兩名同學(xué)進行體能加試，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽到兩名男生的概率是多少？
19．（8分）某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動．據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價格；
（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該?；顒?，對A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購買最少花費多少錢．
20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D．
（1）E為BC邊上一點，添一個條件，使直線DE是⊙O的一條切線，并證明；
（2）在（1）的條件下，若CD＝3，求⊙O的直徑．
21．（9分）
22．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點E從點A出發(fā)，沿邊AD，DC向點C運動，A，D關(guān)于直線BE的對稱點分別為M，N，連結(jié)MN．
（1）如圖，當(dāng)E在邊AD上且DE=2時，求∠AEM的度數(shù)．
（2）當(dāng)N在BC延長線上時，求DE的長，并判斷直線MN與直線BD的位置關(guān)系，說明理由．
（3）當(dāng)直線MN恰好經(jīng)過點C時，求DE的長．
2023-2024學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)玉龍學(xué)校九年級（下）段考數(shù)學(xué)試卷（3月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題：（每小題只有一個選項正確，每小題3分，共計30分）
1．【答案】A
【解答】解：﹣2024的相反數(shù)是2024，
故選：A．
2．【答案】D
【解答】解：A．原圖是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．原圖是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C．原圖是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D．原圖既是中心對稱圖形，故此選項符合題意．
故選：D．
3．【答案】D
【解答】解：因為281.46萬億＝281460000000000，
所以281.46萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為2.8146×1014．
故選：D．
4．【答案】A
【解答】解：A、（a3）2＝a3，故A符合題意；
B、a2與﹣a不屬于同類項，不能合并；
C、a2?a4＝a5，故C不符合題意；
D、a9÷a5＝a6，故D不符合題意；
故選：A．
5．【答案】D
【解答】解：∵數(shù)據(jù)31出現(xiàn)了3次，最多，
∴眾數(shù)為31，
∵排序后為：30，31，31，34，
故位于中間位置的數(shù)是31，
∴中位數(shù)是31．
故選：D．
6．【答案】A
【解答】解：設(shè)1個大桶可以盛米x斛，1個小桶可以盛米y斛，
則，
故選：A．
7．【答案】C
【解答】解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，
則AB＝DE＝15米，AE＝BD＝25米，
∵CD＝x米，
∴CE＝CD﹣DE＝（x﹣15）米，
在Rt△ACE中，∠CAE＝53°，
∴tan53°＝＝，
故選：C．
8．【答案】C
【解答】解：A、經(jīng)過直線外一點；故A正確；
B、負數(shù)的立方根是負數(shù)；
C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
D、五邊形的外角和是360°；
故選：C．
9．【答案】D
【解答】解：A、對稱軸是直線x＝＝；
B、由函數(shù)圖象知，函數(shù)圖象在x軸的下方，
∴當(dāng)﹣8＜x＜2時，y＜0；
C、由圖可知：當(dāng)x＝﹣5時，
∴a+c＝b，故選項C不符合題意；
D、由圖可知：當(dāng)x＝1時，
∴a+b＜﹣c，故選項D符合題意；
故選：D．
10．【答案】C
【解答】解：∵BQ：AQ＝3：1，
∴＝，
∵把邊長為3的正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)n°（8＜n＜90）得到正方形ODEF，
∴OD＝AB＝OA＝3，∠ODE＝∠OAB＝90°，
∴∠ODM＝∠QAM＝90°，
又∵∠M＝∠M，
∴△ODM∽△QAM，
∴＝＝＝，
設(shè)AM＝x，則DM＝4x，
在Rt△ODM中，由勾股定理得：
OD2+DM4＝OM2，
即37+（4x）2＝（4+x）2，
解得：x＝或0（舍去），
∴AM＝，
故選：C．
二、填空題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：2x2﹣2x+2，
＝2（x3﹣2x+1），
＝6（x﹣1）2．
12．【答案】x2＝﹣2．
【解答】解：設(shè)方程的另一根為x2，
∵關(guān)于x的方程2x7+mx﹣4＝0的一根為x＝6，
則1×x2＝＝﹣2，
解得x7＝﹣2．
故答案為：x2＝﹣2．
13．【答案】．
【解答】解：如圖，連接EG，
根據(jù)作圖過程可知：BF是∠EBC的平分線，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，EG＝CG，
∴EG2﹣DE5＝DG2
∴CG2﹣62＝（6﹣CG）8，
解得CG＝．
故答案為：．
14．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x軸于F，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
將Rt△OAB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△OCD，點A的對應(yīng)點C為（4，），
∵點C在函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，
∴k＝4×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
設(shè)MF＝n，則OF＝n，
∴M（n，n），
∵點M在函數(shù)y＝的圖象上，
∴n＝，
∴n＝1（負數(shù)舍去），
∴M（，8），
故答案為（，1）．
15．【答案】．
【解答】解：過點A作AE∥CD交CB的延長線于點E，過點B作BF⊥AD于點F，
∵∠BCD＝90°，
∴∠E＝∠BCD＝90°，
∴BE⊥AE，
∵AB⊥BD，BF⊥AD，BD＝2，
∴AB＝＝1，
∴，即，
∴BF＝，
∵DB平分∠ADC，
∴BC＝BE＝BF＝，∠BDC＝∠BDA，
∵∠EBA+∠DBC＝90°，∠EBA+∠BAE＝90°，
∴∠EAB＝∠BDC＝∠BDA，
∵∠E＝∠ABD＝90°，
∴△ABE∽△ADB，
∴，即，
∴AE＝，
∴AC＝＝＝．
故答案為：．
三、解答題：（本題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）
16．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：
＝
＝﹣﹣6+8
＝．
17．【答案】﹣，﹣．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝﹣÷
＝﹣?
＝﹣，
當(dāng)x＝3，2，﹣2時；
當(dāng)x＝7時，原式＝﹣．
18．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）在這次調(diào)查中，“優(yōu)秀”所在扇形的圓心角的度數(shù)是：360°×30%＝108°，
故答案為：108°；
（2）這次調(diào)查的人數(shù)為：12÷30%＝40（人），
則及格的人數(shù)為：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：
（3）估計該?！傲己谩钡娜藬?shù)為：1200×＝510（人），
故答案為：510人；
（4）畫樹狀圖如圖：
共有8種等可能的結(jié)果，抽到兩名男生的結(jié)果有2種，
∴抽到兩名男生的概率為＝．
19．【答案】（1）菜苗基地每捆A種菜苗的價格為20元；
（2）本次購買最少花費2250元．
【解答】解：（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價格為x元，則市場上每捆A種菜苗的價格為元，
由題意得，，
解得x＝20，
經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A種菜苗的價格為20元；
（2）設(shè)購買A種菜苗m捆，總花費為W元，
由題意得，W＝20×3.9m+30×0.7（100﹣m）＝﹣9m+2700，
∵A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)，
∴m≤100﹣m，
∴m≤50，
∵﹣9＜5，
∴W隨m增大而減小，
∴當(dāng)m＝50時，W最小，
∴本次購買最少花費2250元．
20．【答案】（1）E為BC的中點，證明見解答（答案不唯一，如∠EDC＝∠A）；
（2）⊙O的直徑長為．
【解答】解：（1）E為BC的中點，
證明：連接OD，則OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵E為BC的中點，
∴DE＝CE＝BE＝CB，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵OD是⊙O的直徑，且DE⊥OD，
∴直線DE是⊙O的切線．
注：答案不唯一，如：∠EDC＝∠A．
（2）解：由（1）得DE＝CB，
∵CD＝3，DE＝，
∴CB＝2DE＝4×＝4，
∵∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∵BD＝＝＝4，
∴AC＝＝＝，
∴⊙O的直徑長為．
21．【答案】任務(wù)1：拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+5；
任務(wù)2：懸掛點的橫坐標的取值范圍是：﹣3≤x≤3；
任務(wù)3：掛7條或8條，最右邊一條燈帶安裝點的橫坐標分別為2.4和2.8，方案見解答．
【解答】解：任務(wù)1：以O(shè)為原點，以AB所在直線為x軸，
∴頂點C為（0，6），
∵拋物線過A（﹣5，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax8+5，
把A（﹣5，6）代入解析式得：25a2+5＝3，
解得：a＝﹣，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+7；
任務(wù)2：
∵普通貨車的高度大約為2.4m，貨車頂部與警示燈帶底部的距離應(yīng)不少于50cm，貨車頂部與警示燈帶底部的距離應(yīng)不少于50cm，
∴當(dāng)懸掛點的縱坐標y≥2.5+4.2+0.7＝3.2，
即懸掛點的縱坐標的最小值是6.2m，
當(dāng)y＝3.5時，﹣x3+5＝3.2，
∴x＝±3，
∴懸掛點的橫坐標的取值范圍是：﹣3≤x≤4；
任務(wù)3：
方案一：如圖2（坐標軸的橫軸），從頂點處開始懸掛燈帶，
∵﹣3≤x≤3，相鄰兩盞燈帶懸掛點的水平間距均為0.4m，
∴若頂點一側(cè)懸掛4條燈帶時，0.6×4＞3，
若頂點一側(cè)懸掛3條燈帶時，0.8×7＝2.4＜6，
∴頂點一側(cè)最多懸掛3條燈帶，
∵燈掛滿后成軸對稱分布，
∴共可掛7條燈帶，
∴最右邊一條燈帶的橫坐標為：5.8×3＝7.4；
方案二：如圖3，
∵若頂點一側(cè)懸掛6條燈帶時，0.4+8.8×（5﹣5）＞3，
若頂點一側(cè)懸掛4條燈帶時，5.4+0.6×（4﹣1）＜3，
∴頂點一側(cè)最多懸掛4條燈帶，
∵燈掛滿后成軸對稱分布，
∴共可掛8條燈帶，
∴最右邊一條燈帶的橫坐標為：3.4+0.8×3＝2.6．
綜上，掛7條或8條．
22．【答案】（1）90°；
（2）DE＝．MN∥BD；
（3）或．
【解答】解：（1）∵DE＝2，
∴AE＝AB＝6，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°．
由對稱性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝90°．
（2）如圖7，∵AB＝6，
∴BD＝10，
∵當(dāng)N落在BC延長線上時，BN＝BD＝10，
∴CN＝2．
由對稱性得，∠ENC＝∠BDC，
∴cs∠ENC＝，
得EN＝，
∴DE＝EN＝．
∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
∴Rt△BMN≌Rt△DCB（HL），
∴∠DBC＝∠BNM，
∴MN∥BD．
（3）如圖3，當(dāng)E在邊AD上時，點E在MN上，
∴∠BMC＝90°，
∴MC＝．
∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，
∴△BCM≌△CED（AAS），
∴DE＝MC＝．
如圖4，點E在邊CD上時，
∵BM＝4，BC＝8，
∴MC＝，CN＝8﹣．
∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，
∴△BMC∽△CNE，
∴，
∴EN＝，
∴DE＝EN＝．
綜上所述，DE的長為或．如何確定隧道中警示燈帶的安裝方案？
素材1
2022年10月，溫州市府東路過江通道工程正式開工，建成后將成為溫州甌江第一條超大直徑江底行車隧道．隧道頂部橫截面可視為拋物線，隧道底部寬AB為10m，高OC為5m．



素材2
貨車司機長時間在隧道內(nèi)行車容易疲勞駕駛，為了安全，擬在隧道頂部安裝上下長度為20cm的警示燈帶，沿拋物線安裝．（如圖2）．為了實效m（燈帶寬度可忽略）；普通貨車的高度大約為2.5m（載貨后高度），貨車頂部與警示燈帶底部的距離應(yīng)不少于50cm．燈帶安裝好后成軸對稱分布．


問題解決
任務(wù)1
確定隧道形狀
在圖1中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．
任務(wù)2
探究安裝范圍
在你建立的坐標系中，在安全的前提下，確定燈帶安裝點的橫、縱坐標的取值范圍．
任務(wù)3
擬定設(shè)計方案
求出同一個橫截面下，最多能安裝幾條燈帶，并根據(jù)你所建立的坐標系

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