一、選擇題
1．已知全集,集合或,,則Venn圖中陰影部分表示的集合為( )
A.B.C.D.
2．已知命題,命題,則p是q的( )
A.充分必要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
3．已知函數(shù)在處可導(dǎo),若,則( )
A.1B.-4C.D.-1
4．已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.B.C.D.
5．已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),若存在使得,則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列四個(gè)函數(shù)中,沒(méi)有“巧值點(diǎn)”的是( )
A.B.C.D.
6．唐代大詩(shī)人李白喜好飲酒作詩(shī),民間有“李白斗酒詩(shī)百篇”之說(shuō).《算法統(tǒng)宗》中記載了一個(gè)“李白沽酒”的故事.詩(shī)云：今攜一壺酒,游春郊外走.逢朋加一倍,入店飲半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游時(shí),做出這樣一條約定：遇見(jiàn)朋友,先到酒店里將壺里的酒增加一倍（假定每次加酒不會(huì)溢出）,再喝掉其中的5升酒.那么根據(jù)這個(gè)規(guī)則,若李白酒壺中原來(lái)有酒6升,將李白在第5家店飲酒后所剩酒量是( )
A.37升B.21升C.26升D.32升
7．已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．函數(shù)的所有極值點(diǎn)從小到大排成數(shù)列,設(shè)是的前n項(xiàng)和,則下列結(jié)論正確的是( )
A.數(shù)列為等差數(shù)列B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則B.若,則
C.若,,則D.若,則
10．已知在數(shù)列中,,,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.B.可能是等差數(shù)列
C.D.若,則是遞增數(shù)列
11．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果一定正確
B.用卡方檢驗(yàn)法判斷“是否有把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)”時(shí),其零假設(shè)為：吸煙與患肺癌之間無(wú)關(guān)聯(lián)
C.在線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)的值越大,說(shuō)明回歸方程擬合的效果越好
D.根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定,殘差的均值為0
12．設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線平行于x軸,則( )
A.,
B.函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,其對(duì)稱中心為
C.曲線上任一點(diǎn)的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值2
D.函數(shù)在上的最小值為3
三、填空題
13．已知數(shù)列滿足,且,則__________.
14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.
15．汽車輪胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素,汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù),建立了如下回歸模型,通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析與計(jì)算得到如下結(jié)論：①;②,令,,則回歸方程應(yīng)為_(kāi)________.
16．已知定義在R上的函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,且是奇函數(shù),則下列說(shuō)法中正確的有__________.（填正確選項(xiàng)的序號(hào)）
①;
②;
③;
④.
四、解答題
17．2023年,5月18日至19日,中國(guó)－中亞峰會(huì)在陜西省西安市舉辦.多家外媒積極評(píng)價(jià),認(rèn)為這次峰會(huì)非常重要,中亞國(guó)家正在深化合作,共同致力于實(shí)現(xiàn)各國(guó)人民和平與繁榮.報(bào)道中指出“中國(guó)－中亞峰會(huì)致力于發(fā)展新能源綠色經(jīng)濟(jì),符合中亞國(guó)家共同利益.”新能源汽車、電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè),為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情況,一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),得到表格如下：
（1）求電動(dòng)汽車產(chǎn)值y（億元）關(guān)于（x月份）的線性回歸方程;
（2）該機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類,其中購(gòu)買非電動(dòng)汽車的男性45人,女性35人;購(gòu)買電動(dòng)汽車的男性5人,女性15人.請(qǐng)問(wèn)是否有95％的把握認(rèn)為是否購(gòu)買電動(dòng)汽車與性別有關(guān).（參考公式如下）
①;
②;
③.
18．已知數(shù)列滿足___________,且,.
請(qǐng)從①N,②N兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在題目的橫線上,再解答.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列,求的前n項(xiàng)和.
19．已知函數(shù),其中m為實(shí)數(shù).
（1）若,求不等式的解集;
（2）已知對(duì),都有,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
20．函數(shù)（a,b為實(shí)數(shù),）,已知是函數(shù)的極小值點(diǎn).
（1）求的單調(diào)區(qū)間;
（2）若函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn),求b的取值范圍.
21．已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,其中a為實(shí)數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)a的值;
（2）若數(shù)列的通項(xiàng)滿足,其前n項(xiàng)和為,求.
22．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小值;
（2）設(shè)函數(shù),試討論的單調(diào)性.
參考答案
1．答案：A
解析：集合或,故,
由Venn圖可知影部分表示的集合為.
故選：A.
2．答案：C
解析：由不等式,可得,又由不等式,可得,
因?yàn)榧?所以命題p是命題q的必要不充分條件.
故選：C.
3．答案：C
解析：由已知得,
所以.
故選：C.
4．答案：B
解析：,,
,,
,,
故,
故選：B.
5．答案：D
解析：對(duì)于A：,由解得或,所以存在“巧值點(diǎn)”;
對(duì)于B：,作函數(shù)與的圖象,由圖可知存在“巧值點(diǎn)”;
對(duì)于C：,由得,解得,,所以存在“巧值點(diǎn)”;
對(duì)于D：,因?yàn)?所以無(wú)實(shí)數(shù)解,所以不存在“巧值點(diǎn)”.
故選：D.
6．答案：A
解析：由題意,可將李白在每家店飲酒后所剩酒量構(gòu)造成一個(gè)數(shù)列,
則李白在每家店飲酒后所剩酒量均為在前一家店飲酒后所剩酒量的2倍減去5,
即,
,
,
.
故李白在第5家店飲酒后所剩酒量是37升.
故選：A.
7．答案：B
解析：因?yàn)?則,
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則存在,使得,
即,可得,設(shè),
因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù),則函數(shù)在上為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,故.
故選：B.
8．答案：C
解析：,,
令可得或,,
對(duì)于A,易得函數(shù)的極值點(diǎn)為或,,
當(dāng)時(shí),從小到大為,,,,不是等差數(shù)列,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,,,均為等差數(shù)列,公差均為,首項(xiàng)分別為,,
,,,
,
,故C正確;
對(duì)于D,
,
,故D錯(cuò)誤．
故選：C．
9．答案：AC
解析：對(duì)于A,由,可知,故成立,A正確;
對(duì)于B,若,則,,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,,,則,C正確;
對(duì)于D,若,則,解得,D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．答案：BD
解析：選項(xiàng)A,令時(shí),,即,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,由此可知數(shù)列為首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,故選項(xiàng)B正確;
選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,與已知條件矛盾,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
選項(xiàng)D,由選項(xiàng)B可知,時(shí)數(shù)列是遞增數(shù)列,
當(dāng)且時(shí),,,,,,
將這個(gè)式子疊加得,
即,
則
所以,所以當(dāng)且時(shí),數(shù)列是遞增數(shù)列,
即,則遞增數(shù)列,故選項(xiàng)D正確;
故選：BD.
11．答案：AC
解析：對(duì)于A,獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果不一定正確 ,假如我們有99%的把握認(rèn)為A與B有關(guān),此時(shí)只能說(shuō)明這種判斷的正確性為99%,而無(wú)法確定A與B有關(guān),所以A錯(cuò)誤,
對(duì)于B,用卡方檢驗(yàn)法判斷“是否有把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)”時(shí),其零假設(shè)為：吸煙與患肺癌之間無(wú)關(guān)聯(lián),所以B正確,
對(duì)于C,在線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1,此時(shí)說(shuō)明回歸方程擬合的效果越好,所以C錯(cuò)誤,
對(duì)于D,根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定,殘差的均值為0,所以D正確,
故選：AC.
12．答案：ABC
解析：由函數(shù),可得,
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線平行于軸,
可得,解得,,所以A正確;
又由函數(shù),
因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心為,根據(jù)函數(shù)的圖象變換,
可得函數(shù)的對(duì)稱中心為,所以B正確;
作出函數(shù)的圖象,如圖所示,
設(shè)切點(diǎn),求導(dǎo)得,
則在P點(diǎn)的切線方程為,
令,可得,
聯(lián)立方程組,解得,
所以曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線和所圍成的的面積為：
,所以C正確;
由圖象可得,函數(shù)在上為增函數(shù),其最小值為,所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
13．答案：
解析：由題意,,,,
,,
所以是周期為4的周期數(shù)列,故.
故答案為：.
14．答案：
解析：,其中,
令,則,故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,
故答案為：．
15．答案：.
解析：因?yàn)榛貧w模型為,
因?yàn)?可得,
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),可得,
令,此時(shí),
又因?yàn)?,所以,即,
所以.
故答案為：.
16．答案：①②③
解析：函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,,
是奇函數(shù),,
,①正確;
,
,,
,,,②正確;
,,,,
,,,③正確;
,,,④錯(cuò)誤.
故答案為：①②③.
17．答案：（1）
（2）有95％的把握認(rèn)為是否購(gòu)買電動(dòng)汽車與性別有關(guān).
解析：（1）設(shè)所求回歸直線方程為,
則,,
,
,
,
故所求回歸直線方程為.
（2）根據(jù)題意,得列聯(lián)表如下：
,
故有95％的把握認(rèn)為是否購(gòu)買電動(dòng)汽車與性別有關(guān).
18．答案：（1）N
（2）
解析：（1）【若選①】時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
滿足上式,故N;
【若選②】因?yàn)?所以是等差數(shù)列;
由得,公差;由得：,
所以N;
（2）,
故.
19．答案：（1）或
（2）.
（1）時(shí),,不等式,即,
所以,化簡(jiǎn)為解得：或,
故所求不等式的解集為或;
（2）由題意知不等式在上恒成立,
即在上恒成立,
令,,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
20．答案：（1）增區(qū)間為,,減區(qū)間為;
（2）
解析：（1）由函數(shù),可得,
令,得或,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞增;
故是函數(shù)的極小值點(diǎn),即,解得,
故的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）解法1、由（1）知,函數(shù)的極大值為,極小值為,
又由,,
要使在上有3個(gè)零點(diǎn),則且 ,
解得,故實(shí)數(shù)b的取值范圍為.
解法2、令,可得,
令,可得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
且,,,,
若在上有3個(gè)零點(diǎn),則與在上有三個(gè)交點(diǎn),
所以,即實(shí)數(shù)b的取值范圍為.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題知,即,
整理得,解得 ;
（2）由題知,,且,
則,
又,
故,
即.
22．答案：（1）1
（2）答案見(jiàn)解析
解析：（1）由題知,,令,
因?yàn)?
則,
則在R上單調(diào)遞增,且,
則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在處有最小值為 ;
（2）,
由（1）知：當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,則
①若,
當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增;
②若,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,則在R上單調(diào)遞增;
③若,
當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增;
綜上所述：
當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
月份
6月
7月
8月
9月
10月
月份代碼x
1
2
3
4
5
產(chǎn)值y（億元）
16
20
23
31
40
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性別
購(gòu)買非電動(dòng)汽車
購(gòu)買電動(dòng)汽車
合計(jì)
男性
45
5
50
女性
35
15
50
合計(jì)
80
20
100

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