福建省寧德市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試卷(含答案)

這是一份福建省寧德市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試卷(含答案)，共21頁。試卷主要包含了選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．已知隨機變量X服從二項分布，則( )
A.B.C.D.
2．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則( )
3．棱長為3的正方體中，點到平面距離為( )
A.B.1C.2D.
4．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為( )
A.B.C.D.
5．已知隨機變量X滿足，，2，3，其中a為常數(shù)，則( )
A.B.C.D.
6．已知，，，則a，b，c的大小關系是( )
A.B.C.D.
7．拋擲甲、乙兩顆質地均勻的骰子，記事件A：“甲骰子的點數(shù)大于4”，事件B：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于8”，則的值等于( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，若，則的最大值為( )
A.B.C.D.-1
二、多項選擇題
9．以下運算正確的是( )
A.B.C.D.
10．關于空間向量，以下說法正確的是( )
A.已知，，則在上的投影向量為
B.已知兩個向量，，且，則
C.設是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底
D.若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面
11．已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為且滿足，則下列判斷正確的是( )
A.函數(shù)是奇函數(shù)
B.函數(shù)在區(qū)間上單調遞減
C.在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在x軸的下方
D.不等式的解集為
12．如圖，在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則下列說法正確的是( )
A.當且時，有
B.當時，三棱錐的體積為定值
C.當時，直線和AP所成的角的取值為
D.當時，直線BP與平面所成角的正弦值范圍是
三、填空題
13．已知空間直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，則BC邊上中線的長度為___________．
14．有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，而第1，2，3臺車床的次品率分別為，，．現(xiàn)從加工出來的零件中隨機抽出一個零件，則取到的零件是次品的概率為____________．
15．如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，射線AC、BD分別在兩個半平面內，且都垂直于棱AB．若，，．則CD的長度為___________．
16．設函數(shù)，若，恒成立，則a的取值范圍是___________．
四、解答題
17．已知函數(shù)在處有極值．
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值．
18．已知一個盒子中有除顏色外其余完全相同的5個球，其中2個紅球，3個白球現(xiàn)從盒子中不放回地隨機摸取3次，每次摸取1個球．
（1）求第二次摸出的球是紅球的概率；
（2）求取得紅球數(shù)X的分布列和期望．
19．銀耳作為我國傳統(tǒng)的食用菌，有“菌中之冠”的美稱，歷來深受廣大人民所喜愛漢代《神農本草經》記載：銀耳有“清肺熱、濟腎燥、強心神、益氣血”之功效．寧德市山川秀美，氣候宜人，非常適合銀耳的種植栽培，其銀耳產量占全球產量的90%以上．
（1）經查資料，得到近4年寧德市銀耳產量（單位：萬噸）如下表：
請利用所給數(shù)據(jù)求銀耳產量y與年度代碼x之間的回歸直線方程，并估計2023年銀耳產量．
（2）寧德市某銀耳開發(fā)研究公司積極響應國家倡導的科技創(chuàng)新，研發(fā)了一款提高銀產量的輔料——“多保靈”．該公司科研小組為了研究這款產品是否有利于提高銀耳產量，從同一其他條件下種植的2000筒銀耳中隨機抽取了100袋，對是否使用“多保靈”和銀耳每筒的產量進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：
①完善填寫上面的列聯(lián)表．
②問：是否有99%的把握認為銀耳每筒產量與是否有按規(guī)定比例量使用“多保靈”有關？
參考公式：（?。áⅲ?，
（ⅲ），
參考數(shù)據(jù)：，，
20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，平面ABCD，．
（1）證明：平面平面PAB；
（2）已知，在線段PB上是否存在一點Q，使得二面角的平面角為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
21．在一個系統(tǒng)中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出現(xiàn)故障時才啟動的設備）．已知某計算機網絡服務器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．
（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求r的最小值；
（2）當時，求能使系統(tǒng)正常工作的設備數(shù)X的分布列；
（3）已知某高科技產業(yè)園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經驗可知，計算機網絡斷掉可給該產業(yè)園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業(yè)園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：
方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；
方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．
請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．
22．已知函數(shù)，．
（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；
（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．
參考答案
1．答案：D
解析：由隨機變量X服從二項分布，可得.
故選：D.
2．答案：B
解析：因為隨機變量X服從正態(tài)分布，且，
所以.
故選：B
3．答案：A
解析：因為正方體的棱長為3，
所以，是正三角形，
設點到平面距離為d，
因為，即，
所以，解得，
即點到平面距離為.
故選：A
4．答案：B
解析：由函數(shù)，可得，
令，即，解得，
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.
故選：B.
5．答案：A
解析：由隨機變量X滿足，，2，3，
可得，解得，所以隨機變量X滿足，
所以.
故選：A.
6．答案：D
解析：設，則，當時，，
所以函數(shù)在上單調遞減，所以，
故當時，，即，
所以當時，，故，
設，則，當時，，
所以函數(shù)在上單調遞增，
所以，
即，，
綜上可得，，
故選：D.
7．答案：C
解析：由題意知事件AB為甲骰子的點數(shù)大于4，且甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于8，
則事件AB包含的基本事件為，，
而拋擲甲、乙兩顆質地均勻的骰子共有36種情況，
所以，
因為甲骰子的點數(shù)大于4的有5，6兩種情況，所以，
所以，
故選：C
8．答案：A
解析：由函數(shù)，設，其中，
可得，，則，
設，可得，
令，解得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以當時，，
即的最大值為.故選：A.
9．答案：AC
解析：對于A：，故A正確；
對于B：，故B錯誤；
對于C：，故C正確；
對于D：，故D錯誤；
故選：AC
10．答案：BC
解析：對于A，因為，，所以，，
所以在上的投影向量為，故A錯誤；
對于B，因為，所以
因為，，所以，
解得，所以，故B正確；
對于C，設是空間中的一組基底，則，，不共面，
假設，，共面，則，顯然無解，所以，，不共面，
則也是空間的一組基底，故C正確；
對于D，，但，則P，A，B，C四點不共面，故D錯誤.
故選：BC
11．答案：BCD
解析：將函數(shù)兩邊求導，得：，
令
故，，
由此可以判斷函數(shù)是偶函數(shù)，選項A錯誤；
函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，選項B正確；
函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以函數(shù)的圖象恒在x軸的下方，選項C正確；
，且函數(shù)是偶函數(shù)，由余弦函數(shù)圖像性質可知，
在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，則有，解得：，
選項D正確；
故選：BCD.
12．答案：ABD
解析：選項A，當且時，P為的中點，取BC中點O，中點，
連AO，，因為三棱柱為正三棱柱，所以，
建立如圖1所示的空間直角坐標系，則，，，，
所以，，又，所以，
所以，所以選項A正確．
選項B，當時，P為的上的動點，因為，
又易知，到平面的距離為，
所以，所以選項B正確．
選項C，當時，P為線段的上的動點，設，
又，，，，所以，
又，由，又因為，
當時，
當時，
所以，所以直線與AP所成角的范圍為，所以選項C不正確．
選項D，當時，則P為的上的動點，如圖2，取AC中點M點，，
又三棱柱為正三棱柱，所以平面，
則為BP與平面所成的角，
在中，為定值，又，
所以BP與平面所成的最大角為，此時，
最小角為，此時．所以選項D正確．
故選：ABD.
13．答案：
解析：設BC的中點為D，因為，，
所以，則，
；
故答案為：.
14．答案：0.0175
解析：設“任取一個零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，
則，，，兩兩互斥．
根據(jù)題意得：，，，
，，，
由全概率公式，得
．
故答案為：0.0175.
15．答案：2
解析：，，
，．
，
，
故答案為：2
16．答案：
解析：當時，若，則，恒成立，符合題意；
當，，所以，
構造函數(shù)，，時，，
所以在上單調遞增，
因為，所以，則時，，
所以，
，令，
所以在上遞增，上遞減，
所以，
所以，又，所以，
綜上可得，
故答案為：.
17．答案：（1）；
（2）最大值為19，最小值為1
解析：（1），
，即，解得，
當，，
當或，，單調遞增，當，，單調遞減，
所以，取極大值，符合題意，
所以，.
（2）由，得，
令，則，，
由于和都在區(qū)間內，所以可列表如下：
所以在上的最大值為19，最小值為1.
18．答案：（1）；
（2）分布列見解析；期望為
解析：（1）解法一：設表示第1次摸到紅球，設表示第2次摸到紅球，
，
所以第二次摸出的球是紅球的概率是．
解法二：設事件A表示第二次摸出的球是紅球，
，即，
所以第二次摸出的球是紅球的概率是．
（2）從5個球中摸取3個球，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，1，2，
所以，，，
所以X分布列：
所以取得紅球數(shù)X的期望為．
19．答案：（1），39.65萬噸；
（2）①列聯(lián)表見解析；②有的把握認為銀耳產量與是否有按規(guī)定比例使用“多寶靈”有關
解析：（1）由表中的數(shù)據(jù)可知，，
，
，
，
所以，
故，
所以，所求的回歸直線方程為，
令，則，故預測2023年銀耳產量為39.65萬噸．
（2）①列聯(lián)表如下：
②
又因，而且查表可得，
由于，所以有的把握認為銀耳產量與是否有按規(guī)定比例使用“多寶靈”有關．
20．答案：（1）證明見解析；
（2）存在；
解析：（1）底面ABCD是平行四邊形，則，
，，
平面ABCD，平面ABCD，，
又，平面PAC，
平面PAB，平面平面PAB
（2）以A為坐標原點，以、、的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，設，
則，，，，
則平面ABC的一個法向量為，
所以，，
設平面ACQ的一個法向量為，
則，取，則，
，
，，所以
解法二：
連接AQ，由（1）知，，，平面，平面PAB，
所以平面PAB，
由平面PAB，所以，
所以為二面角的平面角，
所以，
在中，因為，所以，
所以為等邊三角形，
所以Q為PB中點，所以
21．答案：（1）0.8；（2）答案見解析；
（3）決策部門應選擇方案2，理由見解析
解析：（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，設能正常工作的設備數(shù)為X，
則，
解得，故r的最小值為0.8．
（2）設X為正常工作的設備數(shù)，由題意可知，，
，
，
，
，
從而X的分布列為：
（3）設方案1?方案2的總損失分別為，，
采用方案1，更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，
可知計算機網絡斷掉的概率為：，
故萬元．
采用方案2，花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”，
計算機網絡斷掉的概率為：，
故萬元．
因此，從經濟損失期望最小的角度，決策部門應選擇方案2．
22．答案：（1）；
（2）答案見解析
解析：（1），，．
，切點坐標為，
函數(shù)在點處的切線方程為，即，
切線與坐標軸交點坐標分別為，，
所求三角形面積為．
（2）解法一：
設函數(shù)，
當時，，在上單調遞增，
而，，
所以存在唯一，使得；即只有一個零點．
當時，令，解得，（舍），
當時，，函數(shù)上單調遞減，
當時，，函數(shù)在上單調遞增，
，設，在單調遞減，且，
當，解得，所以沒有零點，即沒有零點；
當，解得，所以只有一個零點，即只有一個零點；
當，解得，，
所以在只有一個零點，
因為，，
當時，，在單調遞增，所以，
所以，所以在只有一個零點，
所以有兩個零點．
綜上：當或時，只有一個零點；當，有兩個零點；當，沒有零點．
解法二：
由，得，
設，，
設，在單調遞減，，
當，解得；當，解得，
在單調遞增，在單調遞減，所以，
又因為當x趨向于時，趨向于，x趨向于，趨向于，
根據(jù)圖象知：
當或時，只有一個零點；當，沒有零點；當，有兩個零點．
解法三：
令，，則．
設函數(shù)與相切于點，
則解得，．
由，可解得，所以在上單調遞增，
由可解得，所以在上單調遞減．
如圖所示，
當或時，與只有一個交點，所以有一個零點；
當時，與只有兩個交點，所以有兩個零點；
當時，與沒有交點，所以無零點．
年度
2019
2020
2021
2022
年度代碼x
1
2
3
4
銀耳產量y
34.90
36.20
37.20
38.5
是否使用“多保靈”
每筒產量克
每筒產量克
總計
未使用
25
45
有按規(guī)定比例量使用
10
總計
70
30
100
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
-3
-2
0
3
+
-
0
+
1
遞增
遞減
1
遞增
19
X
0
1
2
P
是否使用“多寶靈”
每筒產量克
每筒產量克
總計
未使用
25
20
45
有按規(guī)定比例使用
45
10
55
總計
70
30
100
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343