遼寧省大連市第八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．選擇題（共10小題）
1. 曲線的單調(diào)增區(qū)間是（）
A. B. C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，可求單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】由，可得，
令，可得，因?yàn)椋?，則有，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：B.
2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的初始值應(yīng)?。? ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學(xué)歸納法的定義逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.
【詳解】顯然當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，A不是；
當(dāng)時(shí)，，B不是；當(dāng)時(shí)，，C不是；
當(dāng)時(shí)，，符合要求，D是．
故選：D
3. 已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則的值為（）
A 1B. 3C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)計(jì)算即可.
【詳解】∵成等比數(shù)列，
∴，則，可得.
故選：A.
4. 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則（）
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】利用正態(tài)分布對(duì)稱性計(jì)算可得.
【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則，
.
故選：B
5. 已知甲同學(xué)從學(xué)校的2個(gè)科技類社團(tuán)，4個(gè)藝術(shù)類社團(tuán)，3個(gè)體育類社團(tuán)中選擇報(bào)名參加，若甲報(bào)名了兩個(gè)社團(tuán)，則在僅有一個(gè)是藝術(shù)類社團(tuán)的條件下，另一個(gè)是體育類社團(tuán)的概率（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)事件為“僅有一個(gè)是藝術(shù)類社團(tuán)”，事件為“另一個(gè)是體育類社團(tuán)的概率”，利用條件概率公式可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)事件為“僅有一個(gè)是藝術(shù)類社團(tuán)”，事件為“另一個(gè)是體育類社團(tuán)的概率”，
則，，
.
故選：A.
6. 某學(xué)校要從名男生和名女生中選出人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可求得的值.
【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，
且，，，
因此，.
故選：B.
7. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則滿足的值為（）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得，分析其符號(hào)即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，則，解得，
可得，
且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知：當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
若，所以.
故選：B.
8. 已知，則的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】觀察的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得的單調(diào)性，從而判斷得，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>觀察的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?，即?br>所以，即，即；
又，所以，即；
綜上，.
故選：B.
二．多選題（共3小題）
9. 丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)凸函數(shù)的定義，求導(dǎo)，即可根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷.
【詳解】對(duì)于A，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)是凸函數(shù)；
對(duì)于B，由，得，則，因?yàn)椋?，所以此函?shù)是凸函數(shù)；
對(duì)于C，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)是凸函數(shù)；
對(duì)于D，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)不是凸函數(shù)，
故選：ABC
10. 已知由樣本數(shù)據(jù)（i=1，2，3，…，10）組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且．剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)后，得到新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)．則下列說法正確的是
A. 相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系
B. 剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大
C. 剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過點(diǎn)
D. 剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變小
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出新樣本中心點(diǎn)，進(jìn)而求出新回歸直線的斜率，再逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】依題意，原樣本中，，
剔除一個(gè)偏離直線較大異常點(diǎn)后，新樣本中，，
因此剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過點(diǎn)，C正確；
由新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，得新的回歸直線斜率為，因此相關(guān)變量x，y具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，A錯(cuò)誤；
又，則剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變大，D錯(cuò)誤；
由剔除的是偏離直線較大的異常點(diǎn)，得剔除該點(diǎn)后，新樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度變強(qiáng)，即樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大，B正確.
故選：BC
11. 已知數(shù)列滿足：，其中，下列說法正確的有（）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列
C. 當(dāng)時(shí)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)可得，即可迭代求解A，根據(jù)，時(shí)，可得為常數(shù)列，即可判斷B；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，證出當(dāng)時(shí)，從而判斷出數(shù)列的單調(diào)性，建立關(guān)于的一元二次不等式，解出首項(xiàng)的取值范圍，判斷出C項(xiàng)的正誤；當(dāng)，時(shí)，根據(jù)遞推關(guān)系證出，從而可得，由此推導(dǎo)出，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式證出，從而判斷出D項(xiàng)的正誤．
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，又，故，
所以，故A項(xiàng)正確．
對(duì)于B，因?yàn)榍遥?br>所以，
當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是常數(shù)列，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C, 由于數(shù)列是遞增數(shù)列, 當(dāng)時(shí)，故，，
故，所以，即，
解得或，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，可知，
，，結(jié)合，
可知是遞增數(shù)列，，則，
即，所以，
即，
所以，當(dāng)時(shí)，，所以，
可得，故D項(xiàng)正確；
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化的常見形式
（1）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．
（3）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．
（4）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．
（5）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．
（6）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．
三．填空題（共3小題）
12. 函數(shù)的極小值點(diǎn)為______．
【答案】2
【解析】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>令，得或，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極小值點(diǎn)為2．
故答案為：2
13. 已知數(shù)列滿足，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得，即可根據(jù)等差數(shù)列求解.
【詳解】由于，
，即，
又，
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；
，
，
故答案為：
14. 某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān)．若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，且滿足，每局之間相互獨(dú)立．記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為______．
【答案】27
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件可得，即可根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解，由二項(xiàng)分布的期望公式即可求解.
【詳解】解：不妨設(shè)每一輪訓(xùn)練通過的概率為p，
則，
此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
易知函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸，
所以，
又每局之間相互獨(dú)立，記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，所以，
所以，解得，
則甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為27輪．
故答案為：27
四．解答題（共5小題）
15. 乒乓球，被稱為中國(guó)的“國(guó)球”．某中學(xué)對(duì)學(xué)生參加乒乓球運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行調(diào)查，將每周參加乒乓球運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)的學(xué)生稱為“乒乓球愛好者”，否則稱為“非乒乓球愛好者”，從調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取100份進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：
（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷我們能否有的把握認(rèn)為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)？
（2）為了解學(xué)生的乒乓球運(yùn)動(dòng)水平，現(xiàn)從抽取的“乒乓球愛好者”學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法抽取3人，與體育老師進(jìn)行乒乓球比賽，其中男乒乓球愛好者獲勝的概率為，女乒乓球愛好者獲勝的概率為，每次比賽結(jié)果相互獨(dú)立，記這3人獲勝的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：．
【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有
（2）分布列見解析；期望為
【解析】
【分析】（1）列出列聯(lián)表，求出并與比較即可；
（2）分別求抽取的3人中男生和女生的人數(shù)，寫出的可能取值，求出概率，求出期望.
【小問1詳解】
依題意可得列聯(lián)表如下：
，
我們有的把握認(rèn)為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)；
【小問2詳解】
由（1）得抽取的3人中人為男生，人為女生，
則的可能取值為、、、，
所以，，
，，
所以的分布列為：
所以．
16. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在使得成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，，
兩式相減得：為非零定值，而，
即是以1為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以；
【小問2詳解】
，
所以，
，
兩式相減：，
由得，，
即存在使成立，
隨著增大，在減小，
當(dāng)時(shí)，，
故求的取值范圍是．
17. 設(shè)函數(shù)
（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍．
【答案】（1），切線方程為；（2）.
【解析】
【詳解】試題解析：本題考查求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，由求導(dǎo)法則可得，由已知得，可得，于是有，，，由點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）由題意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可很快得結(jié)論，由得．
試題解析：（1）對(duì)求導(dǎo)得
因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，即.
當(dāng)時(shí)，,故,從而在點(diǎn)處切線方程為,化簡(jiǎn)得
（2）由（1）得，,
令
由，解得.
當(dāng)時(shí)，,故為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，,故為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，,故為減函數(shù)；
由在上為減函數(shù)，知，解得
故a的取值范圍為.
考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值，切線，單調(diào)性．考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力．
18. 某微信群群主為了了解微信隨機(jī)紅包的金額拆分機(jī)制，統(tǒng)計(jì)了本群最近一周內(nèi)隨機(jī)紅包（假設(shè)每個(gè)紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如下頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)紅包金額的平均值與眾數(shù)；
（2）群主預(yù)告今天晚上7點(diǎn)將有3個(gè)隨機(jī)紅包，每個(gè)紅包的總金額均相等且每個(gè)人都能搶到紅包.小明是該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率.
（3）在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，每個(gè)紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包.第一個(gè)紅包由群主發(fā).根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗(yàn)，群主自己發(fā)紅包時(shí)，搶到“手氣最佳”的概率為；其他成員發(fā)紅包時(shí)，群主搶到“手氣最佳”的概率為.設(shè)前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，第輪由群主發(fā)紅包的概率為.求及的期望.
【答案】（1）平均值9.05，眾數(shù)2.5
（2）；
（3），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的信息和平均值計(jì)算的規(guī)定列式計(jì)算即得，眾數(shù)可根據(jù)定義從圖中直接讀取；
（2）先由圖中信息求得每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率，因3次搶紅包相互獨(dú)立，且每次搶只有搶到10元以上或以下兩種情況，故滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停\(yùn)用其概率公式計(jì)算即得；
（3）由題意分析得到與的遞推式，再根據(jù)其特征構(gòu)造等比數(shù)列，求得的表達(dá)式；再設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，分析知服從兩點(diǎn)分布，由此求得，因前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，則，于是求即是求數(shù)列的前項(xiàng)和，計(jì)算即得.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可得,紅包金額的平均值為:
；
眾數(shù)為最高矩形的中點(diǎn)坐標(biāo)，即為2.5；
【小問2詳解】
由題可知，每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率為，且3次紅包相互獨(dú)立，
由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，至少兩次搶到10元以上金額的概率為；
【小問3詳解】
由題意，，，
由，又，
∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.
∴
設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，
故服從兩點(diǎn)分布：，.，
∴.
由已知，則
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類題目的關(guān)鍵在于弄清隨機(jī)變量的特征、要求，判斷其屬于哪種分布，才能運(yùn)用公式推導(dǎo)計(jì)算；其次，對(duì)于常見的遞推公式，如，要掌握構(gòu)造等比數(shù)列的方法過程，才能運(yùn)用相關(guān)通項(xiàng)公式和求和公式解決問題.
19. 若數(shù)列滿足：存在等差數(shù)列，使得集合元素的個(gè)數(shù)為不大于，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
（1）已知數(shù)列滿足，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列，且數(shù)列有性質(zhì)；
（2）若數(shù)列有性質(zhì)，數(shù)列有性質(zhì)，證明：數(shù)列有性質(zhì)；
（3）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若數(shù)列具有性質(zhì)，是否存在，使得數(shù)列具有性質(zhì)？說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析（3）存在，且，理由見解析
【解析】
【分析】（1）借助題目所給條件可得，結(jié)合等差數(shù)列定義可得數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合新定義找到對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列，使得集合元素的個(gè)數(shù)不大于；
（2）構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)、，結(jié)合所給定義可得集合元素的個(gè)數(shù)不超過個(gè)，即可得證；
（3）借助與的關(guān)系，得到當(dāng)時(shí)，，存在等差數(shù)列，使元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)，即可得證.
【小問1詳解】
由，
故，
即，
又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
則，即，
故存在等差數(shù)列，使，
由，故數(shù)列有性質(zhì)；
【小問2詳解】
設(shè)對(duì)數(shù)列，存在等差數(shù)列，使，
對(duì)數(shù)列，存在等差數(shù)列，使，
則對(duì)數(shù)列，存在等差數(shù)列，
使的值為，
這樣的最多有個(gè)，即數(shù)列有性質(zhì)；
【小問3詳解】
設(shè)對(duì)數(shù)列，存在等差數(shù)列，且其公差為，使得，
當(dāng)時(shí)，有
，
由，
故當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可能有種，
故這樣的最多有個(gè)，
即存等差數(shù)列，使，
的元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)，
故一定存在，使得數(shù)列具有性質(zhì).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一小問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助與的關(guān)系，得到當(dāng)時(shí)，，從而將數(shù)列具有性質(zhì)這個(gè)條件使用上.
乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計(jì)
男
40
56
女
24
總計(jì)
100
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
乒乓球愛好者
非乒乓球愛好者
總計(jì)
男
40
16
56
女
20
24
44
總計(jì)
60
40
100
0
1
2
3

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