2024年廣東省廣州市中考三模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．
如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．
3．回答填空題時(shí)，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應(yīng)橫線上．寫在本試卷上無效．
4．回答解答題時(shí)，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），
請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．寫在本試卷上無效．
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第一部分選擇題（共30分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 的相反數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：的相反數(shù)是，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一個數(shù)的相反數(shù)，熟知只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0是解題的關(guān)鍵．
2. 是第五代移動通信技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達(dá)到每秒以上．用科學(xué)記數(shù)法表示1300000是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
詳解】解：，
故選：C．
3. 中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的概念，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；
C、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，故是中心對稱圖形，故符合題意；
故選：D．
4. 下列運(yùn)算，與計(jì)算結(jié)果相同的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查同底數(shù)冪相乘除、冪的乘方等冪的有關(guān)運(yùn)算及合并同類項(xiàng)．根據(jù)同底數(shù)冪相乘除、冪的乘方等冪的有關(guān)運(yùn)算及合并同類項(xiàng)分別計(jì)算各式子，即可解答．
【詳解】解：，
A選項(xiàng)：與不是同類項(xiàng)，無法合并，故計(jì)算結(jié)果與不相同；
B選項(xiàng)：，故計(jì)算結(jié)果與不相同；
C選項(xiàng)：，故計(jì)算結(jié)果與不相同；
D選項(xiàng)：故計(jì)算結(jié)果與相同．
故選：D
5. 方程的解是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】兩邊都乘以，化整式方程求解，然后檢驗(yàn)即可．
【詳解】，
兩邊都乘以，得
，
整理，得
，
∴．
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴原方程的解為．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程求解，求出未知數(shù)的值后不要忘記檢驗(yàn)．
6. 關(guān)于一次函數(shù)，下列說法不正確的是（）
A. 圖象不經(jīng)過第三象限B. y隨著x的增大而減小
C. 圖象與x軸交于D. 圖象與y軸交于
【答案】C
【解析】
【分析】由，，可得圖象經(jīng)過一、二、四象限，隨的增大而減小，再分別求解一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得答案．
【詳解】解：∵，，，
∴圖象經(jīng)過一、二、四象限，隨的增大而減小，
故A，B不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴圖象與x軸交于，故C符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
∴圖象與y軸交于，故D不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與增減性，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟記一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
7. 如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，，與地面平行，，則（）

A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行得到，再利用外角的性質(zhì)和對頂角相等，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對頂角．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
8. 港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強(qiáng)國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”．某校九年學(xué)生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為，然后向后走160米（米），到達(dá)C處，此時(shí)看塔頂A，仰角為，則該主塔的高度是（）

A. 80米B. 米C. 160米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

根據(jù)題意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即該主塔的高度是米．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)不與點(diǎn)重合）點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，若線段的最大值為2.5，則的長為（）
A. 5B. C. 2.5D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可得EF＝ DN，DN=2EF=5，利用勾股定理求出AD的長，即得結(jié)論．
【詳解】解：∵點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，
∴EF＝ DN，
∵EF最大值為2.5，
∴當(dāng)DN最大，即當(dāng)N與B重合時(shí)，有DN=2EF=5，
∴，
∴解得AD=3，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是中位線定理的靈活應(yīng)用，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想．
10. 已知：中，是中線，點(diǎn)在上，且．則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系等知識點(diǎn)，先利用等腰三角形的性質(zhì)及外角與內(nèi)角的關(guān)系說明，再判斷，利用相似三角形的性質(zhì)用表示出，最后代入比例可得結(jié)論．
【詳解】解：是的中線，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故選B．
第二部分非選擇題（共90分）
二、填空題（本題有6個小題，每小題3分，共18分）
11. 因式分解：_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【詳解】解：
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，掌握因式分解方法是關(guān)鍵．
12. 一個袋子中裝有4個黑球和個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個，摸到白球的概率為，則白球的個數(shù)為_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查利用概率求個數(shù)，根據(jù)白球概率求出黑球概率，黑球共有4個，就可以求出球的總數(shù)，再減去黑球個數(shù)即可解答，熟練掌握簡單概率公式是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵搖勻后隨機(jī)摸出一個，摸到白球的概率為，
∴摸到黑球的概率為，
∵袋子中有4個黑球和個白球，
∴由簡單概率公式可得，解得，
∴白球有6個，
故答案為：6．
13. 若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，則__________（選填：﹥，﹤，=）
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和開口方向，判斷所給點(diǎn)到對稱軸的距離大小即可求解．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，且圖象開口向上，
又，，，
∴
故答案為：
14. 如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】##
【解析】
【分析】延長FA交⊙A于G，如圖所示：根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六邊形內(nèi)角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，利用扇形面積公式代入數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】解：延長FA交⊙A于G，如圖所示：
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積計(jì)算及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握扇形面積計(jì)算及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15. 某市為提倡居民節(jié)約用水，自今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格．圖中、分別表示去年、今年水費(fèi)（元）與用水量（）之間的關(guān)系．小雨家去年用水量為150，若今年用水量與去年相同，水費(fèi)將比去年多_____元．
【答案】210．
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)解析式，從而可以求得時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值，由的的圖象可以求得時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值，從而可以計(jì)算出題目中所求問題的答案，本題得以解決．
【詳解】設(shè)當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
，得，
即當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
由圖象可知，去年的水價(jià)是（元/），故小雨家去年用水量為150，需要繳費(fèi)：（元），
（元），
即小雨家去年用水量為150，若今年用水量與去年相同，水費(fèi)將比去年多210元，
故答案為210．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
16. 數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．如圖，小明把矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，其中，且，則矩形的面積為______．
【答案】80
【解析】
【分析】首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，然后根據(jù)同角的余角相等得到，進(jìn)而得到，設(shè)，，則，，根據(jù)定理求出，，最后利用矩形面積公式求解即可．
【詳解】解：∵矩形沿折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)F處，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴設(shè)，，則，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，負(fù)值舍去，
∴，，
∴矩形面積．
故答案為：80
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17. 解不等式組，并寫出滿足條件的正整數(shù)解．
【答案】不等式組的解集為＜，正整數(shù)解為1，2
【解析】
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【詳解】解：
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為＜，
則不等式組的正整數(shù)解為1，2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線上，，求證：．

【答案】見解析
【解析】
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，,再證明，即可利用證明，即可證明．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，,
∴
∵，
∴,
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形對邊相等且平行是解題的關(guān)鍵
19. 近幾年中學(xué)生近視的現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，為響應(yīng)國家的號召，某公司推出了如圖1所示的護(hù)眼燈，其側(cè)面示意圖（臺燈底座高度忽略不計(jì)）如圖2所示，其中燈柱BC＝18cm，燈臂CD＝33cm，燈罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD，DE分別可以繞點(diǎn)C，D上下調(diào)節(jié)一定的角度．經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠DCB＝140°，且ED∥AB時(shí)，臺燈光線最佳．求此時(shí)點(diǎn)D到桌面AB的距離．（精確到0.1cm，參考數(shù)值：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】點(diǎn)D到桌面AB的距離約為43.4cm
【解析】
【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可得到DF的長，再根據(jù)FG＝CB，即可求得DG的長，從而可以解答本題．
【詳解】解：過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G，過點(diǎn)C作CF⊥DG，垂足為F，如圖所示，
∵CB⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，CF⊥FG，
∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，
∴四邊形BCFG為矩形，
∴∠BCF＝90°，F(xiàn)G＝BC＝18cm，
又∵∠DCB＝140°，
∴∠DCF＝50°，
∵CD＝33cm，∠DFC＝90°，
∴DF＝CD?sin50°≈33×0.77＝25.41（cm），
∴DG≈25.41+18≈43.4（cm），
答：點(diǎn)D到桌面AB的距離約為43.4cm．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
20. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，然后再將代入計(jì)算即可解答．
【詳解】解：
．
當(dāng)時(shí)，
原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)及其運(yùn)算、分母有理化，正確的化簡分式是解答本題的關(guān)鍵．
21. 中華文化源遠(yuǎn)流長，文學(xué)方面，《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”．某中學(xué)為了了解學(xué)生對四大古典名著的閱讀情況，就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________部，中位數(shù)是________部；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“部”所在扇形的圓心角為________度；
（3）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（4）沒有讀過四大古典名著的兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各自隨機(jī)選擇一部來閱讀，請用列表或畫樹狀圖的方法求他們恰好選中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）見解析；（4）見解析，
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)調(diào)查的總?cè)藬?shù)，求得2部對應(yīng)的人數(shù)，進(jìn)而得到本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)以及中位數(shù)；
（2）根據(jù)扇形圓心角的度數(shù)=部分占總體的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圓心角；
（3）根據(jù)2部對應(yīng)的人數(shù)，即可將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（4）根據(jù)列表所得的結(jié)果，可判斷他們選中同一名著的概率．
【詳解】解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：10÷25%=40，
∴2部對應(yīng)的人數(shù)為40-2-14-10-8=6，
∴本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位數(shù)為2部．
故答案為：1，2
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“4部”所在扇形的圓心角為：
故答案為：72°.
（3）2部對應(yīng)的人數(shù)為：40-2-14-10-8=6人
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．
（4）將《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》分別記作A，B，C，D，
畫樹狀圖可得：
由圖可知，共有16種等可能結(jié)果，其中選中同一名著的有4種，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率，以及條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識．解題時(shí)注意：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）= ．
22. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）兩點(diǎn)是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=圖象的兩個交點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）觀察圖象，直接寫出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=﹣，一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【解析】
【分析】（1）先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得到m=﹣8，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出n=2，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）先求出直線y=﹣x﹣2與x軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC進(jìn)行計(jì)算；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜﹣4或0＜x＜2時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，據(jù)此可得不等式的解集．
【詳解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函數(shù)解析式為，
把B（n，﹣4）代入，
得﹣4n=﹣8
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得：，解得：，
所以一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，則x=﹣2，
即直線y=﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由圖可得，不等式kx＋b?＞0的解集為：x＜?4或0＜x＜2．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．解決問題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．
23. 如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：
①過點(diǎn)A作切線，且（點(diǎn)C在A的上方）；
②連接，交于點(diǎn)D；
③連接，與交于點(diǎn)E．
（1）求證：為的切線；
（2）求的長度．
【答案】（1）畫圖見解析，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，即可證明出為的切線；
（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
如圖所示，
∵是的切線，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)D在上，
∴為的切線；
【小問2詳解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
【點(diǎn)睛】此題考查了格點(diǎn)作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．
24. 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點(diǎn)．
（1）求b的值．
（2）當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是________．
（3）設(shè)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）1；（3）或．
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)代入求解即可得；
（2）先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；
（3）分和兩種情況，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得．
【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入得：，
兩式相減得：，
解得；
（2）由題意得：，
由（1）得：，
則此函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則，
下面證明對于任意的兩個正數(shù)，都有，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），
當(dāng)時(shí)，，
則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立），
即，
故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是1；
（3）由得：，
則二次函數(shù)的解析式為，
由題意，分以下兩種情況：
①如圖，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即，
解得；
②如圖，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
綜上，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（3），熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．
25. 如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形ABCD對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，GF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．
（1）證明與推斷：
①求證：四邊形CEGF是正方形；
②推斷：的值為：
（2）探究與證明：
將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：
（3）拓展與運(yùn)用：
正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長CG交AD于點(diǎn)H．若AG=6，GH=2，則BC= ．
【答案】（1）①四邊形CEGF是正方形；②；（2）線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE；（3）3
【解析】
【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；
②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；
（2）連接CG，只需證∽即可得；
（3）證∽得，設(shè)，知，由得、、，由可得a的值．
【詳解】（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四邊形CEGF是正方形；
②由①知四邊形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案為；
（2）連接CG，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=、=，
∴=，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
設(shè)BC=CD=AD=a，則AC=a，
則由得，
∴AH=a，
則DH=AD﹣AH=a，CH==a，
∴由得，
解得：a=3，即BC=3，
故答案為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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