九年級(jí)數(shù)學(xué)
（本試卷共三大題25小題，共6頁(yè)，滿分120分．考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號(hào)的對(duì)應(yīng)數(shù)字涂黑．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，涉及作圖的題目，用于2B鉛筆畫圖；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案，改動(dòng)后的答案也不能超出指定的區(qū)域；不準(zhǔn)使用鉛筆（作圖除外）、涂改液和修改帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效．
4．考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
5．考試時(shí)不可使用計(jì)算器．
第一部分 選擇題（共30分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. 在實(shí)數(shù)，，，中，無(wú)理數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 3.14
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的特征，即可解答．
【詳解】解：在實(shí)數(shù)，，，中，無(wú)理數(shù)是，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的特征，即為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，熟知該概念是解題的關(guān)鍵．
2. 下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【詳解】解： A，B，C選項(xiàng)中的圖形都能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．
D選項(xiàng)中的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
故選：D．
3. 已知水星的半徑約為24400000米，用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】解：將數(shù)24400000米用科學(xué)記數(shù)法表示是米．
故選：C．
4. 某校即將舉行田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，小明從“跳高”“跳遠(yuǎn)”“100米”“400米”四個(gè)項(xiàng)目中，隨機(jī)選擇一項(xiàng)參賽，則他選擇“100米”項(xiàng)目的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，根據(jù)題意直接根據(jù)概率公式，即可求解．
【詳解】解：四個(gè)項(xiàng)目中，隨機(jī)選擇一項(xiàng)參賽，則他選擇“100米”項(xiàng)目的概率是,
故選：B．
5. 下列運(yùn)算正確的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪乘法法則，積的乘方法則，二次根式的加減運(yùn)算，根據(jù)以上運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可求解．
【詳解】解：A. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：A．
6. 如圖，在中，為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則等于（ ）
A. 1︰3B. 2︰3C. 2︰5D. 1︰2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，證出△AEF∽△CBF，然后利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案．
【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=AD=BC，
∴AF：CF=1：2；
故選D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7. 已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)題意可得，解不等式，即可求解．
【詳解】解：依題意得，
即
解得
故選：B．
8. 如圖，在中，．在同一平面內(nèi)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，則等于（ ）
A. 30B. 35°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，B與，C與分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角，，再利用平行線的性質(zhì)得，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到等腰中，根據(jù)內(nèi)角和定理求．
【詳解】解：∵，，
∴，
又∵C、為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，
∴，即為等腰三角形，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角為旋轉(zhuǎn)角．同時(shí)考查了等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)．
9. 如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為，連接并延長(zhǎng)，與過(guò)點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，連接．若的半徑為5，，則的長(zhǎng)是（ ）．
A. B. 13C. D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，正切的定義，直徑所對(duì)的圓周角是直角；連接，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，進(jìn)而得出，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的直徑，
∴
∵的半徑為5，，則
∴
∴
∵是過(guò)點(diǎn)的切線，則
∵
∴
∴
∴，即
∴
故選：C．
10. 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為（ ）．
A. 或4B. 或C. 或4D. 或4
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，分兩種情況討論，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：直線，
（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
，
；
（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
，
．
故選：D．
第二部分 非選擇題（共90分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，直接提公因式即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
12. 已知點(diǎn)，在直線上，且，則_______·（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴y隨x的增大而減小，
∵，
∴．
故答案為：．
13. 某公司在2024年1月份的營(yíng)業(yè)額為25萬(wàn)，3月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)，設(shè)該公司營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)該公司營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)該公司營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得，，
故答案為：．
14. 拋物線的部分圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用拋物線的對(duì)稱性求解即可得到答案．
【詳解】解：拋物線其與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱．
15. 如圖，數(shù)軸上點(diǎn)、表示的數(shù)分別為、，化簡(jiǎn)：_______．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值；根據(jù)數(shù)軸可得，進(jìn)而根據(jù)絕對(duì)值的意義，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得，
∴，
故答案為：．
16. 如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊以的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊以的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)．點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，證明得出，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，此時(shí)與重合，則與點(diǎn)重合，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)
∵在平行四邊形中，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴是等邊三角形，
∵動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊以的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊以的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，過(guò)點(diǎn)O，
∴點(diǎn)是的外心，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，此時(shí)與重合，則與點(diǎn)重合，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為
∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為
故答案為：．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
17. 解方程組： ．
【答案】．
【解析】
【分析】利用加減消元將方程組化簡(jiǎn)成一元一次方程，即可得解其一，再將其代入任意一個(gè)方程即可得解．
【詳解】解：
上下兩方程相加，得，解得．
把代入中，得．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組；關(guān)鍵在于能利用加減消元或者代入消元的方法將其轉(zhuǎn)化成一元一次方程的形式．
18. 如圖，已知，平分，
求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查對(duì)全等三角形的判定，三角形的角平分線定義；根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)即可證出答案．
【詳解】證明：平分，
，
在和中
，
．
19. 春節(jié)放假期間，興趣小組到某景點(diǎn)隨機(jī)調(diào)查了10位游客一天使用共享電動(dòng)車的次數(shù)，統(tǒng)計(jì)得到該10位游客一天使用共享電動(dòng)車的次數(shù)如下：
（1）在這次調(diào)查中，該10位游客一天使用共享電動(dòng)車次數(shù)的中位數(shù)為 ，眾數(shù)為 ，平均數(shù)為 ．
（2）若春節(jié)放假期間，每天約有1200位游客到此景點(diǎn)，試估計(jì)這些游客在春節(jié)放假期間每天使用共享電動(dòng)車的總次數(shù)．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的概念以及利用樣本平均數(shù)估計(jì)總體．
（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解即可；
（2）用總?cè)藬?shù)乘以游客1天內(nèi)使用共享電動(dòng)車的次數(shù)的平均數(shù)，即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：這10位游客1天內(nèi)使用共享電動(dòng)車的次數(shù)的中位數(shù)是，眾數(shù)是2，平均數(shù)是
故答案為：，，．
【小問(wèn)2詳解】
估計(jì)這些游客在春節(jié)期間每天使用共享電動(dòng)車的總次數(shù)為（次）
20 已知．
（1）化簡(jiǎn)；
（2）若，是方程的兩個(gè)根，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；
（1）原式根據(jù)完全平方公式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)，即可得到結(jié)果；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，代入計(jì)算即可求出值．
【小問(wèn)1詳解】
解：
；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，是方程的兩個(gè)根，
∴
∴
21. 在學(xué)校開(kāi)展的“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”主題活動(dòng)中，八（1）班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù)，同學(xué)們計(jì)劃購(gòu)買綠蘿和吊蘭兩種綠植，已知吊蘭的單價(jià)比綠蘿的單價(jià)多5元，且用200元購(gòu)買綠蘿的盆數(shù)與用300元購(gòu)買吊蘭的盆數(shù)相同．
（1）求購(gòu)買綠蘿和吊蘭的單價(jià)各是多少元？
（2）若購(gòu)買綠蘿的數(shù)量是吊蘭數(shù)量的兩倍，且資金不超過(guò)600元，則購(gòu)買吊蘭的數(shù)量最多是多少盆？
【答案】（1）購(gòu)買綠蘿的單價(jià)為10元，購(gòu)買吊蘭的單價(jià)為元
（2）購(gòu)買吊蘭的數(shù)量最多為17盆
【解析】
【分析】（1）設(shè)購(gòu)買綠蘿的單價(jià)為x元，則購(gòu)買吊蘭的單價(jià)為元，然后可得方程為，進(jìn)而求解即可；
（2）設(shè)購(gòu)買吊蘭的數(shù)量為m盆，則購(gòu)買綠蘿的數(shù)量為盆，然后可列不等式進(jìn)行求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)購(gòu)買綠蘿的單價(jià)為x元，則購(gòu)買吊蘭的單價(jià)為元，由題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，則，
∴是原方程的解，
∴，
答：購(gòu)買綠蘿的單價(jià)為10元，購(gòu)買吊蘭的單價(jià)為元；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)購(gòu)買吊蘭的數(shù)量為m盆，則購(gòu)買綠蘿的數(shù)量為盆，由（1）及題意得：
，
解得：，
∵m是整數(shù)，
∴m取最大值為17；
答：購(gòu)買吊蘭的數(shù)量最多為17盆．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握分式方程及一元一次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，反比例函數(shù)，在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式：
（2）若點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），在軸上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）存在，或或
【解析】
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)分別求出、，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同（1）得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的解析式，設(shè)，，又，，根據(jù)分別為對(duì)角線，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，
四邊形為正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，
得，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
同（1）可得，
∴
∴
設(shè)直線的解析式為，則
解得：，
∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在軸
設(shè)，，又，
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：， 則
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：， 則
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：，則
綜上所述：以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，或或．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在中，是鈍角．
（1）尺規(guī)作圖：在上取一點(diǎn)，以為圓心，作出，使其過(guò)、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）所作的圖中，若，，．
①求證：是的切線；
②求弦的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①見(jiàn)解析；②
【解析】
【分析】（1）作出線段的垂直平分線確定圓心，再作出圓即可求解；
（2）①連接，得出，根據(jù)，結(jié)合已知條件得出，即可得證；
②先證明，得到，再利用勾股定理即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：點(diǎn)D如圖所示：
【小問(wèn)2詳解】
①證明：如圖所示，連接，
∵是直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又是半徑，
∴是的切線；
②如圖，

∵，，
∴，
∴，
∵直徑，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了作線段的垂直平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確作圖并得出相似．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 （是常數(shù)），頂點(diǎn)為．
（1）用含的式子表示拋物線的對(duì)稱軸；
（2）已知點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為、，連接，得到矩形．
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到邊所在直線的距離等于點(diǎn)到軸的距離，求的值；
②當(dāng)時(shí)，拋物線的一部分經(jīng)過(guò)矩形的內(nèi)部，這部分拋物線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨著的增大而減小，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）①或；；②或
【解析】
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用；
（1）化為頂點(diǎn)式，求解即可；
（2）①分兩種情況，頂點(diǎn)在上方或下方時(shí)，根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，求解即可；
②分為兩種情況，當(dāng)點(diǎn)分別在對(duì)稱軸的左右兩側(cè)時(shí)，根據(jù)題意，列出不等式，求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
【小問(wèn)2詳解】
解：①
∴
到軸的距離為
點(diǎn)到邊所在直線的距離
∵
∴，即
當(dāng)時(shí)，
解得或（舍去）
當(dāng)時(shí)，
解得或（舍去）
則或；；
②由題意可得：
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)分別在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，如下圖：
此時(shí)需要滿足的條件為：，解得
當(dāng)點(diǎn)分別在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，如下圖：
此時(shí)需要滿足的條件為：，解得
綜上：或
25. 如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，為的中點(diǎn)．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）連接，請(qǐng)猜想與的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，，求的最小值．
【答案】（1）
（2），，證明見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理，即可求解；
（2）連接，，先證明三點(diǎn)共線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進(jìn)而證明四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理，即可得出；
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡，得出，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，此時(shí)取的最小值，進(jìn)而勾股定理，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵在等腰直角三角形中，，
∴，
【小問(wèn)2詳解】
結(jié)論：，
證明：如圖所示，連接，，
∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴三點(diǎn)共線，
∵為的中點(diǎn)．
∴，
∴
∵
∴四點(diǎn)共圓，
∵，
∴，
【小問(wèn)3詳解】
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)
∴
∴四點(diǎn)共圓，
∴
∴，
∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，
∵
∴
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，此時(shí)取的最小值，
∵是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，
∴，，
∴
在中，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，直角所對(duì)的弦是直徑，軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最值問(wèn)題，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
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