（本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).
3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法為（ ）
A.10種 B.12種 C.24種 D.120種
3.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則（ ）
A.2 B.1 C.-2 D.-5
4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，鄀，則（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.6
5.在一次投籃測(cè)試中小明投籃投中的概率是，且每次投籃相互獨(dú)立，則在5次投籃中恰好投中2次的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
7.槳校組織部分班級(jí)參觀博物館，現(xiàn)已安排了5個(gè)班級(jí)參觀，并且已經(jīng)確定了5個(gè)班級(jí)的參觀順序，參觀前臨時(shí)增加了2個(gè)班級(jí)參觀博物館，現(xiàn)將增加的2個(gè)班級(jí)插入5個(gè)班級(jí)之問(wèn)，要求原5個(gè)班級(jí)順序不變，插入的班級(jí)即不排在首位，也不排在末位，則不同的插入方法數(shù)為（ ）
A.12 B.18 C.20 D.60
8.下列說(shuō)法中正確的是（ ）
①設(shè)隨機(jī)變量，則；
②甲?乙?丙?丁四人到4個(gè)景點(diǎn)游玩，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則；
③已知變量，則.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知隨機(jī)變量的分布列如下表：
若，則（ ）
A. B. C. D.
10.下列關(guān)于展開(kāi)式的判斷中正確的有（ ）
A.第四項(xiàng)的系數(shù)是160 B.各項(xiàng)系數(shù)之和等于64
C.各二項(xiàng)式系數(shù)之和等于64 D.常數(shù)項(xiàng)等于1
11.一個(gè)箱子中裝有大小?形狀均相同的8個(gè)小球，其中白球5個(gè)?黑球3個(gè)，現(xiàn)在兩次不放回的從箱子中取球，第一次先從箱子中隨機(jī)取出1個(gè)球，第二次再?gòu)南渥又须S機(jī)取出2個(gè)球，分別用表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分別用表示事件“第二次取出的兩球都為黑球”，“第二次取出的兩球?yàn)橐粋€(gè)白球一個(gè)黑球”.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.函數(shù)在上的最大值為_(kāi)_________.
13.三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同樣的零件，其中1號(hào)車(chē)間生產(chǎn)的占號(hào)車(chē)間生產(chǎn)的占號(hào)車(chē)間生產(chǎn)的占.已知1號(hào)車(chē)間，2號(hào)車(chē)間，3號(hào)車(chē)間生產(chǎn)的零件分別有和不合格.現(xiàn)有一批由1號(hào)車(chē)間，2號(hào)車(chē)間，3號(hào)車(chē)間生產(chǎn)的零件，從中隨機(jī)地抽取一個(gè)零件，則取到的是不合格零件的概率為_(kāi)_________.
14.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律（如圖所示），則“楊輝三角”中第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為_(kāi)_________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍.
16.（15分）甲?乙兩名同學(xué)在一次答題比賽中答對(duì)題數(shù)的概率分布分別如下表所示.
（1）求甲?乙兩名同學(xué)答題答對(duì)題數(shù)的期望；
（2）試分析甲?乙兩名同學(xué)誰(shuí)的成績(jī)好一些.
17.（15分）某班有10名同學(xué)計(jì)劃參加學(xué)科競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)只參加一個(gè)科目的學(xué)科競(jìng)寒，在這10名同學(xué)中，4名同學(xué)計(jì)劃參加物理競(jìng)寒，其余6名同學(xué)計(jì)劃參加化學(xué)競(jìng)賽，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名為班級(jí)做學(xué)法指導(dǎo)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）.
（1）求選出的3名同學(xué)中參加競(jìng)寒科目一樣的概率；
（2）設(shè)為選出的3名同學(xué)中參加物理競(jìng)賽的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列.
18.（17分）某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，利用了課余時(shí)間舉行了課外趣味投籃.在投籃活動(dòng)中，每位學(xué)生投籃若干次，每一次投籃的計(jì)分方法如下：第1次投籃，投中得2分，不中得1分，從第2次投籃開(kāi)始，投中則獲得上一次投籃所得分?jǐn)?shù)兩倍的得分，不中得1分，學(xué)生參加了投籃活動(dòng)，該同學(xué)每次投籃投中的概率都為，每次投籃是否投中互不影響.
（1）設(shè)表示學(xué)生前2次投籃的得分之和，求的分布列；
（2）記學(xué)生第次投籃所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，求，并猜想當(dāng)時(shí)，與之間的關(guān)系式.（不必寫(xiě)推導(dǎo)過(guò)程）
19.（17分）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：.
2024年春季學(xué)期高二年級(jí)校聯(lián)體第二次聯(lián)考
數(shù)學(xué)科參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
1.【答案】C
【詳解】由，得，所以.故選：C.
2.【答案】D
【詳解】根據(jù)題意，2名男生和3名女生站成一排拍照，不同的站法為種.故選：D.
3.【答案】D
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
所以，且，所以.故選：D.
4.【答案】B
【詳解】，
.
隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，
曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
.故選：B.
5.【答案】A
【詳解】由題意，各次投籃相互獨(dú)立，則在5次投籃中恰好投中2次的概率為.故選：A.
6.【答案】A
【詳解】由得，所以在上單調(diào)遞增，，所以，即，故選A.
7.【答案】C
【詳解】要保持原5個(gè)班級(jí)順序不變，并且新插入的2個(gè)班級(jí)不能在首位也不能在末位，則只需將新加入的2個(gè)班級(jí)插入原來(lái)的5個(gè)班級(jí)的中間，新的2個(gè)班級(jí)分開(kāi)插入的方法數(shù)有：種，新的2個(gè)班級(jí)捆綁一起再插入的方法數(shù)有：種，綜上，總的方法數(shù)為種.故選C.
8.【答案】D
【詳解】對(duì)于①：隨機(jī)變量，
則，故①正確；
對(duì)于②：事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，
則，所以，故②正確；
對(duì)于③：，故③正確；故選：D.
9.【答案】AD
【詳解】依題意，解得.故選：AD.
10.【答案】ACD
【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（其中且），則第四項(xiàng)的系數(shù)為，故A正確；
令可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和等于，故B不正確；
各二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，故C正確；
令，即，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故D正確.
故選：ACD
11.【答案】ACD
【詳解】由題得，
根據(jù)條件概率公式，得，
，故正確，錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)，
所以，
故C正確.
對(duì)選項(xiàng)D，，
，故D正確.故選ACD.
12.【答案】9
【詳解】因?yàn)?，可得?br>所以在單調(diào)遞增，.
故答案為：9.
13.【答案】0.025
【詳解】取到的是不合格零件的概率為：.
14.【答案】
【詳解】第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為
.
15.（13分）【詳解】（1）由題意可知函數(shù)定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，..
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以，無(wú)極小值.
（2）函數(shù)定義域?yàn)椋海?br>由函數(shù)在定義域上為增函數(shù)可知在上恒成立，
，即，
令而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的取值范圍是.
16.（15分）【詳解】（1）甲?乙兩人成績(jī)的均值分別為
（2）方差分別為
由上面的數(shù)據(jù)，可知.
這表示甲?乙兩人答對(duì)題目的均值相等，但兩人答對(duì)題的穩(wěn)定程度不同，甲同學(xué)較穩(wěn)定，乙同學(xué)波動(dòng)較大，所以甲同學(xué)的成績(jī)較好.
17.（15分）【詳解】（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)中參加競(jìng)賽科目一樣”為事件A，事件A分三人都參加物理競(jìng)賽和三人都參加化學(xué)競(jìng)賽兩類(lèi)：
三人都參加物理競(jìng)賽的概率：.
三人都參加化學(xué)競(jìng)賽的概率：.
.
（2）隨機(jī)變量的所有可能值為.
的分布列為
18.（17分）【詳解】（1）解：由題意，的可能取值有.
所以的分布列為：
（2）學(xué)生A第1次投籃得分2分，1分的概率分別都為，
則，
學(xué)生第2次投籃得分4分，2分，1分的概率分別為，
則，
學(xué)生第3次投籃得分8分，4分，2分，1分的概率分別為，
則，
可猜想：
19.（17分）解析：（1）由已知條件得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>.
因?yàn)椋?br>所以①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，
要證原不等式成立，需證成立，即需證成立.
令，則
令，則，故在上單調(diào)遞增，
，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，
存在，使得，
則在上，在上，
即在上，在上，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此在處取得最小值.
由可得，即，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即，
因此的最小值，即成立，故當(dāng)時(shí)，成立.-1
0
1
2
甲
答對(duì)題數(shù)
0
1
2
3
概率
0.1
0.2
0.4
0.3
乙
答對(duì)題數(shù)
0
1
2
3
概率
0.2
0.1
0.3
0.4
0
1
2
3
2
3
6

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