1.設(shè)F1、F2是兩定點(diǎn)，|F1F2|=6，動點(diǎn)P滿足|PF1|?|PF2|=6，則動點(diǎn)P的軌跡是( )
A. 雙曲線B. 直線C. 線段D. 射線
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)(0,2)作傾斜角為135°的直線l，已知直線l與圓x2+y2?2x=0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=( )
A. 2B. 3C. 10D. 13
3.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，與x軸平行的直線與l和C分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|=|BF|，則|AB|=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
4.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論：
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；
②曲線C上存在有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離超過 2；
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3.
其中，所有正確結(jié)論的序號是( )
A. ①B. ①②③C. ①②D. ①③
二、填空題：本題共12小題，共54分。
5.經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,t)、B(t+1,4)的直線的傾斜角為45°，則實(shí)數(shù)t=______.
6.直線l過A(3,?1)，且l的一個法向量n=(3,2)，則直線l的點(diǎn)法向式方程為______.
7.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________.
8.圓心為(1,2)且與直線5x?12y?7=0相切的圓的方程為______.
9.若直線l過點(diǎn)(1,2)且與直線2x?3y?1=0平行，則直線l的方程為______.
10.拋物線y2=ax(a≠0)的準(zhǔn)線方程是______.
11.已知橢圓x210?m+y2m?2=1的長軸在y軸上，若焦距為4，則m=______.
12.求雙曲線x24?y28=1的兩條漸近線所夾的銳角的大小為______.
13.已知點(diǎn)M(a,b)在直線3x+4y=15上，則 a2+b2的最小值為______.
14.直線y=x+3與曲線y29?x|x|4=1的公共點(diǎn)個數(shù)為______.
15.已知點(diǎn)A(6,0)，點(diǎn)P在拋物線y2=16x上運(yùn)動，點(diǎn)B在曲線(x?4)2+y2=1上運(yùn)動，則|PA|2|PB|的最小值是______.
16.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，C的離心率為 2，過F1且傾斜角為120°的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為6π，則C的虛軸長為______.
三、解答題：本題共4小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
已知A(0,1)，B(?2,?1)，C(5,3)三點(diǎn)．
(1)求AB邊上中線所在直線的方程；
(2)求△ABC的面積．
18.(本小題10分)
已知拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F(2,0).
(1)求拋物線C的方程；
(2)斜率為1的直線過點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.
19.(本小題12分)
已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)中，離心率為 2，且經(jīng)過點(diǎn)( 2,1).
(1)求雙曲線方程；
(2)若直線l：y=kx+1與雙曲線左支有兩個交點(diǎn)，求k的取值范圍；
(3)過點(diǎn)M(1,13)是否能作直線m與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且使得M是PQ中點(diǎn)，若存在，求出直線m的方程，若不存在，請說明理由.
20.(本小題14分)
如圖，過橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作長軸的垂線l1，l2交橢圓于A1，B1，A2，B2，將l1，l2兩側(cè)的橢圓弧刪除再分別以F1，F(xiàn)2為圓心，線段F1A1，F(xiàn)2A2的長度為半徑作半圓，這樣得到的圖形稱為“橢圓帽”，夾在l1，l2之間的部分稱為“橢圓帽”的橢圓段，夾在l1，l2兩側(cè)的部分稱為“橢圓帽”的圓弧段，已知左、右兩個圓弧段所在的圓方程分別為(x± 2)2+y2=1.
(1)求橢圓段的方程；
(2)已知直線l過點(diǎn)F1與“橢圓帽”的交于兩點(diǎn)為M，N，若F1M+2F1N=0，求直線l的方程；
(3)已知P為“橢圓帽”的左側(cè)圓弧段上的一點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)F1，與“橢圓帽”交于兩點(diǎn)為M，N，若F1P?MN=0，求PM?PN的取值范圍.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因為|PF1|?|PF2|=6=|F1F2|，所以動點(diǎn)P的軌跡是以F1為起點(diǎn)，指向F2方向的射線．
故選：D.
由條件可得|PF1|?|PF2|=6=|F1F2|，即可得答案．
本題考查了軌跡方程問題，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A
【解析】解：由圓C：x2+y2?2x=0，得(x?1)2+y2=1，
則圓心坐標(biāo)為C(1,0)，半徑為1，
又直線l過點(diǎn)(0,2)，直線方程：y?2=?x，即x+y?2=0，
直線l與圓x2+y2?2x=0交于A，B兩點(diǎn)，
圓心到直線的距離為d=1 2，則|AB|=2 12?d2=2 1?12= 2.
故選：A.
由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理得答案．
本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題．
由拋物線的定義可知△ABF為正三角形，然后求解即可．
【解答】
解：由拋物線方程可得：F(1,0)，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，則E(?1,0)，
由拋物線的定義可知：|AB|=|BF|，
又|AF|=|BF|，
則△ABF為正三角形，
過F作AB的垂線，垂足為D，
則|AB|=2|AD|=2|EF|=2×2=4，
故選D.
4.【答案】D
【解析】解：對于①，將x換成?x，方程不變，所以圖形關(guān)于y軸對稱，
當(dāng)x=0時，y=±1，即曲線經(jīng)過(0,1)，(0,?1)，
當(dāng)x>0時，方程變?yōu)閥2?xy+x2?1=0，
由Δ=x2?4(x2?1)=4?3x2≥0解得00時，由x2+y2=1+xy得x2+y2?1=xy≤x2+y22，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時，等號成立，
所以x2+y2≤2，所以 x2+y2≤ 2，
即曲線C上y軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過 2，
由對稱性可得曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過 2，故②錯誤；
對于③，如圖，
在x軸上方圖形面積大于矩形CDFE面積S1=1×2=2，
在x軸下方圖形面積大于等腰直角三角形BCE面積S2=12×2×1=1，
因此曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于S1+S2=2+1=3，故③正確．
故選：D.
先根據(jù)圖像的對稱性找出整點(diǎn)，再判斷是否還有其他的整點(diǎn)在曲線上；找出曲線上離原點(diǎn)距離最大的點(diǎn)的區(qū)域，再由基本不等式得到最大值不超過 2；在心形區(qū)域內(nèi)找到一個內(nèi)接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.
本題主要考查曲線與方程，屬于中檔題．
5.【答案】2
【解析】解：∵經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,t)、B(t+1,4)的直線的傾斜角為45°，
∴tan45°=t?41?(t+1)=t?4?t，即?t=t?4，解得t=2.
故答案為：2.
根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，以及斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．
本題主要考查直線的斜率公式，以及斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】3(x?3)+2(y+1)=0
【解析】【分析】
由題意直接求出直線的點(diǎn)法向式方程．
本題主要考查直線的點(diǎn)法向式方程，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】
解：直線l過A(3,?1)，且l的一個法向量n=(3,2)，
則直線l的點(diǎn)法向式方程為3×(x?3)+2×(y+1)=0，
故答案為：3(x?3)+2(y+1)=0.
7.【答案】(1,0)
【解析】【分析】
本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分析拋物線的開口方向．
根據(jù)題意，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，且p=2，由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式計算可得答案．
【解答】
解：根據(jù)題意，拋物線y2=4x的開口向右，其焦點(diǎn)在x軸正半軸上，
且p=2，p2=1，
則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，
故答案為：(1,0).
8.【答案】(x?1)2+(y?2)2=4
【解析】解：，所求圓的半徑就是圓心(1,2)到直線5x?12y?7=0的距離：d=|5×1?12×2?7| 52+(?12)2=2，
所以圓的方程：(x?1)2+(y?2)2=4.
故答案為：(x?1)2+(y?2)2=4
因為所求的圓與直線5x?12y?7=0相切時圓心到直線的距離等于半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑，然后根據(jù)圓心與半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
此題要求學(xué)生掌握直線與圓相切時的條件，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值．根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑會寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
9.【答案】2x?3y+4=0
【解析】解：設(shè)過點(diǎn)(1,2)且與直線2x?3y?1=0平行的直線方程為2x?3y+m=0，
把點(diǎn)(1,2)代入直線方程得2?6+m=0，
∴m=4，
故所求的直線方程為2x?3y+4=0，
故答案為：2x?3y+4=0.
設(shè)過點(diǎn)(1,2)且與直線2x?3y?1=0平行的直線方程為2x?3y+m=0，把點(diǎn)(1,2)代入直線方程，求出m值即得直線l的方程．
本題考查用待定系數(shù)法求直線方程的方法，設(shè)過點(diǎn)(1,2)且與直線2x?3y?1=0平行的直線方程為2x?3y+m=0是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】x=?a4
【解析】解：拋物線y2=ax(a≠0)的準(zhǔn)線方程是：x=?a4.
故答案為：x=?a4.
利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接寫出準(zhǔn)線方程即可．
本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，準(zhǔn)線方程的求法，是基礎(chǔ)題．
11.【答案】8
【解析】解：由橢圓x210?m+y2m?2=1的長軸在y軸上，
則a2=m?2，b2=10?m，c2=a2?b2=2m?12.
由焦距為4，即2c=4，即有c=2.
即有2m?12=4，解得m=8.
故答案為：8
根據(jù)條件可得a2=m?2，b2=10?m，c2=a2?b2=2m?12，由焦距為4，即c=2.即可得到m的值．
本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓中的參數(shù)a，b，c的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
12.【答案】arctan2 2
【解析】解：如圖所示：
由題意可得，a2=4，b2=8，∴雙曲線的兩條漸近線方程為：y=±bax=± 2x，
設(shè)直線y= 2x的傾斜角為α，由 2>1，得α>π4，
設(shè)兩條漸近線所夾的銳角為θ，則直線y=? 2x的傾斜角為(π?α)，
∴tanθ=tan(π?2α)=?tan2α=?2tanα1?tan2α=?2 21?( 2)2=2 2，
∴兩條漸近線所夾的銳角為arctan2 2.
故答案為：arctan2 2.
根據(jù)兩條漸近線所夾的銳角θ滿足tanθ=tan(π?2α)，即可求解．
本題考查雙曲線的漸近線方程，屬于中檔題．
13.【答案】3
【解析】解： a2+b2的幾何意義是到原點(diǎn)的距離，
它的最小值轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線3x+4y=15的距離：d=155=3.
故答案為3.
考慮 a2+b2的幾何意義，利用轉(zhuǎn)化思想，求出原點(diǎn)到直線3x+4y=15的距離即可．
本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．
14.【答案】3
【解析】解：當(dāng)x≥0時，曲線y29?x|x|4=1的方程為y29?x24=1
當(dāng)x0)中，離心率為 2，且經(jīng)過點(diǎn)( 2,1)，
可得e=ca= 2，2a2?1b2=1，c2=a2+b2，解得a=b=1，
即雙曲線的方程為x2?y2=1；
(2)聯(lián)立y=kx?1x2?y2=1，消去y可得(1?k2)x2+2kx?2=0，
由直線l：y=kx+1與雙曲線左支有兩個交點(diǎn)，
可得1?k2≠0，Δ=4k2+8(1?k2)>0，?2k1?k20，
解得? 2

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