命題: 海寧高級中學 謝 艷、倪 娜
磨題: 余姚中學 徐鳳瑩 玉環(huán)中學 徐偉建 龍灣中學 梁世日 校稿: 張艷宗、過利霞
注意事項：
1. 答卷前, 務必將自己的姓名，考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2. 回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，
用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷
上無效。
3. 請保持答題卡的整潔?？荚嚱Y束后， 將試卷和答題卡一并交回。
第I卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合 A=x2≤x0 是“α旋轉函數(shù)”，求tanα 的最大值;
（3）若函數(shù) gx=mx-1ex-xlnx-x22 是“旋轉函數(shù)”，求m的取值范圍.
Z20 名校聯(lián)盟 (浙江省名校新高考研究聯(lián)盟) 2024 屆高三第三次聯(lián)考
數(shù)學參考答案
一、選擇題: 本題共 8 小題, 每小題 5 分, 共 40 分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合 題目
要求的.
8. 設 PF1=m,PF2=n ,由雙曲線的定義知 m-n=2a (1),
在 ΔF1PF2 中,由余弦定理得 4c2=m2+n2-2mn?cs∠F1PF2, ∴4c2=m2+n2-67mn (2),
又 ∵2m2+n2=3a2+2c2 , ∴m2+n2=9a2+4c22 (3),
由 (1) (3) 得 mn=14a2+c2 (4), 把 (3) (4) 代入 (2) 得 4c2=9a2+4c22-6714a2+c2 ,
化簡得 20c2=30a2,∴20a2+20b2=30a2∴a2b,∴ 漸近線方程 為 x±2y=0 .
二、選擇題: 本題共 3 小題, 每小題 6 分, 共 18 分. 在每小題給出的選項中, 有多項符合題目要求. 全部
選對的得 6 分, 部分選對的得部分分, 有選錯的得 0 分.
11. A 選項當 λ+μ=1 時,點 P 在線段 D1B 上,且 D1B//EF,VD-PEF=VB-DEF 為定值,A 正確.
B 選項當 λ=μ=12 時,點 P 為線段 D1B 的中點,易求正四棱雉 P-ABCD 的外接球的半徑為 34 , 則表面
積是 94π,B 正確.
C 選項點 P 在矩形 D1B1BD 及其內(nèi)部,取線段 A1D1 的中點 F1 ,由對稱性知, PF=PF1 ,
∴PF+PE=PF1+PE≥F1E=52∴PF+PE+FE≥52+32 ,C 錯誤.
D 選項 AP=62 ,又點 P 在矩形 D1B1BD 及其內(nèi)部, ∴ 點 P 的軌跡為點 A 為球心,半徑長為 62 的球面被
平面 D1B1BD 截且在矩形 D1B1BD 及其內(nèi)部的圖形,為圓（部分）, r=622-222=1 ,該圓是以
BD 的中點為圓心,半徑為 1 的圓的一部分 (即 14 圓周), 則軌跡長為 π2,D 正確.
三、填空題: 本題共 3 小題, 每小題 5 分, 共 15 分.
12. 3; 13. 180 ; 14. 12e,12
14. 不等式可化為 2ax-lnx2ax-x2-x+1≤0 ,
即 lnx≤2ax≤x2-x+1 ,數(shù)形結合得, k1≤2a≤k2
其中 k1 為過原點且與 y=lnx 相切的直線, k2 為過原點且與 y=x2-x+1 相切的直線,
易得 k1=1e,k2=1 .故 1e≤2a≤1,12e≤a≤12 .
四、解答題: 本題共 5 小題, 共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.
15. (13 分) 解: (1) 由題意 a2n=2an+1?a2=2a1+1?d=a1+1 (1) ……………………….2 分
a22=a1?a5?a1+d2=a1a1+4d?d=2a12. ………………………………………………………2 分
由(1)(2)可得 a1=1,d=2 …………………………………………………………………………………………………2 分
所以 an=1+n-1?2=2n-1 ……………………………………………………………………………………..1 分
(2) a1+a3+a5+??+a2n-1=a1+a2n-1?n2=n?an=2n2-n ………………………………………..6 分
16. (15 分) 解:(1) 取 BD 的中點 M ,連 AM,CM ,
由 AB=AD=BC=BD ,可得 BD⊥AM,BD⊥CM , …………..2 分
又因為 AM∩CM=M , AM、CM? 平面 ACM ,
所以 BD⊥ 平面 ACM , ……………………………………………………….2 分
因為 AC? 平面 ACM ,所以 AC⊥BD …………………..……………..2 分
(2) 方法 1:因為 BD=23 ,所以 AM=CM=1 ,
又 AC=3 ,所以 ∠AMC=120° ,
由 (1) 可得 BD⊥ 平面 ACM ,所以平面 BCD⊥ 平面 ACM ,
作 AH⊥CM 交 CM 延長線于點 H ,則 AH⊥ 平面 BCD 且 AH=32 , ……………..3 分
設點 B 到平面 ACD 的距離為 h ,
VB-ACD=VA-BCD .2 分 13S△ACD?h=13S△BCD?32
h=12?23?3212?3?132=2313……………………………………………………………..2 分
設直線 AB 與平面 ACD 所成角為 θ，sinθ=hAB=3913
所以直線 AB 與平面 ACD 取成線面角的正弦值為 3913 …………………………………2 分
方法 2:因為 BD=23 ,所以 AM=CM=1 ,又 AC=3 ,
所以 ∠AMC=120° ,
由 (1) 可得 BD⊥ 平面 ACM
所以平面 BCD⊥ 平面 ACM ,
作 AH⊥CM 交 CM 延長線于點 H ,
則 AH⊥ 平面 BCD 且 AH=32 ,
如圖,以 MB 為 x 軸, MC 為 y 軸, z 軸 //AH 建立空間直角坐標系
A0,-12,32, B3,0,0, C0,1,0, D-3,0,0 ………………………………………………….3 分
AC=0,32,-32,DC=3,1,0,AB=3,12,-32
設面 ACD 的一個法向量為 n=x,y,z
n?AC=0n?DC=0?3y=3z3x+y=0? 令 x=1 ,則 y=-3,z=-3
所以 n=1,-3,-3 ………………………………………………………………………………………………….4 分
設直線 AB 與平面 ACD 所成角為 θ,
sinθ=cs=AB?nAB?n=2313?2=3913
所以直線 AB 與平面 ACD 取成線面角的正弦值為 3913 …………………………………………………..2 分
17. (15 分) 解:(1) 依題意, P1=1,P2=1×0.4=0.4,P3=0.4×0.4+0.6×0.6=0.52 …………3 分
依題意 Pn=0.4Pn-1+0.61-Pn-1=-15Pn-1+35 , ……………………………………………………………2 分
整理得 Pn-12=-15Pn-1-12 ,
所以 Pn-12 是以 P1-12=12 為首項, -15 為公比的等比數(shù)列, ………………………………………………..2 分
即 Pn-12=12?-15n-1,Pn=12+12?-15n-1 ……………………………………………………………………….1 分
(3) X=200,300 …………………………………………………………………………………………………………………..1 分
PX=300=0.8Pn+0.21-Pn=0.6Pn+0.2, …………………………………………………………………3 分
則他第 n 天通過運動鍛煉消耗的能量 X 的期望為 300PX=300+2001-PX=300
=200+100PX=300=220+60Pn=250+30-15n-1 . …………………………………………… 分
18. (17 分) 解:(1) 由題意 c=3,ca=32 ,解得: a=2,b=1 ,
所以橢圓 C 的標準方程為 x24+y2=1 ……………………………………………………….………………………….4 分
(2) 折疊前設 Ax1,y1,Bx2,y2 ,聯(lián)立 y=x+mx2+4y2=4?5x2+8mx+4m2-1=0
直線 y=kx+m 與橢圓交于不同兩點,所以 Δ>0 ,解得 m20 與函數(shù) y=bb∈R 最多有 1 個交點,
即函數(shù) y=ln2x+1-kx 在 0,+∞ 上單調, .2 分y'=22x+1-k.
因為 x>0,22x+1∈0,2 ,所以 y'=22x+1-k≤0,k≥22x+1 ,所以 k≥2 , ……………………………………2 分
即 tanπ2-α≥2,tanα≤12 ,即 tanα 的最大值為 12 . ……………………………………………………………… 分
(3) 由題意可得函數(shù) gx=mx-1ex-xlnx-x22 與函數(shù) y=x+b 最多有 1 個交點,
即 mx-1ex-xlnx-x22=x+b?mx-1ex-xlnx-x22-x=b ,
即函數(shù) y=mx-1ex-xlnx-x22-x 與函數(shù) y=b 最多有 1 個交點,
即函數(shù) y=mx-1ex-xlnx-x22-x 在 0,+∞ 上單調,
y'=mxex-lnx-x-2 ,當 x→0 時, y'→+∞,
所以 y'≥0?m≥lnx+x+2xexmax , …………………………………………………………………………………………..4 分
令 φx=lnx+x+2xex ,則 φ'x=x+1-lnx-x-1x2ex ,
因為 t=-lnx-x-1 在 0,+∞ 上單調減,且 t14>0,t1

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