本試卷共6頁，共26題；全卷滿分120分，考試時間100分鐘
一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計24分）
1. 某學校為了解“雙減”后1000名七年級學生每天做家庭作業(yè)所用的時間，現(xiàn)從七年級學生中隨機抽取120名學生進行調(diào)查，在這個抽樣調(diào)查中，樣本的容量是________．
【答案】120
【解析】
【分析】從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本；一個樣本包括的個體數(shù)量叫做樣本容量，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：由題意，在這個抽樣調(diào)查中，樣本的容量是120，
故答案為：120．
【點睛】本題考查了樣本的容量，熟記樣本容量的定義是解題關(guān)鍵，需注意的是，樣本容量只是個數(shù)字，沒有單位．
2. 描述臨海市本周最低氣溫的變化情況，最適合采用 ___________統(tǒng)計圖（填“扇形”、“折線”或“條形”）．
【答案】折線
【解析】
【分析】條形統(tǒng)計圖能直觀反應(yīng)數(shù)據(jù)的最大值和最小值，扇形統(tǒng)計圖能直觀反應(yīng)每組數(shù)據(jù)的比例，折線統(tǒng)計圖能直觀反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化趨勢，根據(jù)各種統(tǒng)計圖的特點可作出判斷．
【詳解】解：描述臨海市本周最低氣溫的變化情況，最適合采用折線統(tǒng)計圖．
故答案為：折線．
【點睛】本題主要考查各種統(tǒng)計圖的特點，關(guān)鍵是要牢記各種統(tǒng)計圖的特點．
3. 在中，已知，則______°．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，再根據(jù)平行四邊形對角相等，即可進行解答．
【詳解】解：如圖：試卷源自 每日更新，匯集全國各地小初高最新試卷。
∵，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對角相等的性質(zhì)．
4. 2023年奧林匹克日用數(shù)字20230623表示，這組數(shù)字中出現(xiàn)頻數(shù)最高的數(shù)是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)頻數(shù)的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】因為20230623中出現(xiàn)數(shù)字“2”有3個，“0”有2個，“6”有1個，
所以這組數(shù)字中出現(xiàn)頻數(shù)最高的數(shù)是2
故答案為：2．
【點睛】本題考查頻數(shù)的定義的理解能力．頻數(shù)：一般我們稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)．明確頻數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．
5. 已知矩形的較短邊長為6，兩對角線的夾角為60°，則矩形的面積為_____________；
【答案】36
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫圖，矩形對角線相等且互相平分，由兩對角線的夾角為60°可知，△AOB為等邊三角形，即可求得AC=12，利用勾股定理可求得BC，進而求得面積.
【詳解】
根據(jù)題意畫圖可知
AB=6，∠1=60°
∵矩形對角線相等且互相平分，
∴△AOB為等邊三角形
∴AC=2AB=2AO=12
在直角△ABC中
BC===
∴S□ABCD=6×=
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用矩形中對角線相等且互相平分來求矩形的長，從而解題.
6. 成語“水中撈月”反映的事件是______事件（填必然、不可能或隨機）．
【答案】不可能
【解析】
【分析】根據(jù)事件的分類，進行判斷即可．
【詳解】解：成語“水中撈月”反映的事件是不可能事件；
故答案為：不可能．
【點睛】本題考查事件的分類．解題的關(guān)鍵是掌握必然事件是一定條件下，一定會發(fā)生的事件，不可能事件是一定條件下，一定不會發(fā)生的事件，隨機事件是一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
7. 已知：如圖，ABCD，線段AC和BD交于點O，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需要增加的一個條件是：_____（填一個即可）．
【答案】ADCB（答案不惟一）．
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得答案．
【詳解】解：根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可增加的條件可以是：ADCB，
故答案為：ADCB（答案不惟一）．
【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定．
8. 一個容量為80的樣本，最大值為145，最小值為50，取組距為10，則樣本分成________組．
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)組距，最大值、最小值、組數(shù)以及樣本容量的關(guān)系進行計算即可．
【詳解】解：在樣本數(shù)據(jù)中最大值為145，最小值為50，它們的差是，
已知組距為10，那么由于，
∴可以分成10組，
故答案為：10．
【點睛】此題考查的是組數(shù)的計算，只要根據(jù)組數(shù)的定義“數(shù)據(jù)分成的組的個數(shù)稱為組數(shù)”來解即可．
9. 若用反證法證明命題“在中，若，則”，則應(yīng)假設(shè)__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)反證法的特點，假設(shè)結(jié)論的相反意義成立即可．
【詳解】在中，若，則，則應(yīng)假設(shè)，
故答案為：．
【點睛】此題考查了反證法，正確理解反證法的證明思想是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，菱形ABCD的周長為16，若，E是AB的中點，則點E的坐標為_____________．
【答案】(，1)
【解析】
【分析】首先求出AB的長，進而得出EO的長，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出E點橫縱坐標即可．
【詳解】解：如圖，過E作EM⊥AC，
∵四邊形ABCD是菱形，且周長為16，∠BAD=60°，
∴AB=CD=BC=AD=4，AC⊥DB，∠BAO=∠BAD=30°．
∵E是AB的中點，
∴根據(jù)直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半可得EO=EA=EB=AB=2，
∴∠BAO=∠EOA=30°，
∴EM=OE=1，
∴OM=，
∴點E的坐標為(，1)．
故答案為：(，1)．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識．根據(jù)已知得出EO的長以及∠EOA=∠EAO=30°是解題的關(guān)鍵．
11. 如圖，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別為，的中點，．若，，則的長為________．
【答案】
【解析】
【分析】延長AE交DC的延長線于M，過點M作MN⊥AF于N，先證明△ABE≌△MCE，得到AM=6，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AN，MN，然后利用勾股定理求解即可得到答案．
【詳解】解：延長AE交DC的延長線于M，過點M作MN⊥AF于N，
∵E為BC的中點，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DM，AB=CD
∴∠B=∠ECM，
又∵∠AEB=∠MEC，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴，，
∴，
∵MN⊥AF，
∴∠MNA=∠MNF=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠AMN=30°，
∴，
∴，
∵AF=4，
∴，
在直角三角形MNF中：，
∵F為BC的中點，
∴，
∴，
∴
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．
12. 如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A、C的坐標分別為，點D是的中點，點P在邊上運動，點Q是坐標平面內(nèi)的任意一點．若以O(shè)，D，P，Q為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，則點Q的坐標為 ____________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理，先由點A和點C求得點D的坐標、點B的坐標和點P的縱坐標，然后分類討論求出點Q的坐標．
【詳解】解：∵，
∴，
∵點D是的中點，
∴，
①如圖1所示，以為對角線，點P在點D的左側(cè)時，，
過點P作軸于點E，則．
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴點P的坐標為，
此時，點Q的坐標為；
②如圖2所示，以為對角線，點P在點D的左側(cè)時，．
過點P作軸于點E，則．
在中，由勾股定理得：，
∴點P的坐標為，
此時，點Q的坐標為；
③如圖3所示，以為對角線，點P在點D的右側(cè)時，，
過點P作軸于點E，則．
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴點P的坐標為，
此時，點Q的坐標為；
綜上所述，點Q的坐標為或或；
故答案為：或或．
二、單選題（本大題共有6小題，每小題3分，共計18分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項符合題目要求．）
13. 下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱的圖形，故本選項不符合題意；
B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱的圖形，故本選項符合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱的圖形，故本選項不符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱的圖形，故本選項不符合題．
故選：B．
14. 下列調(diào)查中，適合普查方式的是（ ）
A. 調(diào)查全國初中生的睡眠時間B. 調(diào)查某班級學生的身高情況
C. 調(diào)查長江江蘇段的水質(zhì)情況D. 調(diào)查某品牌燈泡的使用壽命
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇全面調(diào)查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行全面調(diào)查、全面調(diào)查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用全面調(diào)查．
【詳解】解：A、調(diào)查全國初中生的睡眠時間，范圍廣，人數(shù)眾多，不易調(diào)查，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，不符合題意；
B、調(diào)查某班級學生的身高情況，范圍小，人數(shù)不多，適合普查，符合題意；
C、調(diào)查長江江蘇段的水質(zhì)情況，范圍廣，人數(shù)眾多，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，不符合題意；
D、調(diào)查某品牌燈泡的使用壽命，具有破壞性，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，不符合題意；
故選：B．
15. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的1元硬幣10次，有9次正面朝上，1次反面朝上．若第11次拋擲該硬幣，則正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】B
【解析】
【分析】利用概率的意義直接得出答案．
【詳解】解：某人連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，結(jié)果9次是正面朝上，1次是反面朝上，則他第11次拋擲這枚硬幣，正面朝上的概率為：．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了概率的意義，正確把握概率的定義是解題關(guān)鍵．
16. 平行四邊形的對角線長為x、y，一邊長為14，則x、y的值可能是（ ）
A. 12和16B. 20和22C. 10和16D. 8和36
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用三角形的三邊關(guān)系來判斷對角線的范圍．根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，則對角線的一半和已知的邊組成三角形，再利用三角形的三邊關(guān)系可逐個判斷．
【詳解】解：因為平行四邊形的對角線互相平分，一邊與兩條對角線的一半構(gòu)成三角形，所以根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行判斷：
A、∵，
∴不能構(gòu)成三角形，故此選項不符合題意；
B、∵，
∴能構(gòu)成三角形，故此選項符合題意；
C、∵，
∴不能構(gòu)成三角形，故此選項不符合題意；
D、∵，
∴不能構(gòu)成三角形，故此選項不符合題意．
故選：B．
17. 如圖，平行四邊形的對角線與相交于點O，，若，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，利用含角的直角三角形的性質(zhì)求出，在中利用勾股定理求出，利用平行四邊形求出，，在中利用勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平行四邊形的對角線與相交于點O，
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
18. 如圖，已知矩形，，，點M為矩形內(nèi)一點，點E為邊上任意一點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，易得到和均為等邊三角形，推出，可得，則共線時最短；由于點E也為動點，可得當時最短，此時易求得的值．
【詳解】解：將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則，
∴和均為等邊三角形，，
∴，
∴，
∴、、共線時最短，
由于點E也動點，
∴當時最短，而，
∴，，
∵和均為等邊三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值為 ．
故選C．
三、解答題（本大題共有8小題，共計78分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）
19. 如圖，等邊的邊長是4，D、E分別為、的中點，過E點作交的延長線于點F，連接．
（1）求證：四邊形平行四邊形；
（2）求的長．
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】
【分析】（1）直接利用三角形中位線定理得出，再利用平行四邊形的判定方法得出答案；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出，進而求出答案 ．
【小問1詳解】
證明：、分別為、的中點，
是的中位線，
，
∵，
四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
解：四邊形是平行四邊形，
，
為的中點， 等邊的邊長是4，
，，，
．
【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)、 三角形中位線定理等知識， 正確掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20. 在習近平總書記“既要金山銀山，又要綠水青山”思想的指導(dǎo)下，我國持續(xù)的大面積霧霾天氣得到了較大改善．某校有2000名學生，為了調(diào)查學生對霧霾天氣知識的了解情況，在學生中做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個等級：A．非常了解；B．比較了解；C．基本了解；D．不了解．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，繪制了如圖所示的不完整的兩種統(tǒng)計圖．

請結(jié)合統(tǒng)計圖表，回答下列問題：
（1）本次參與調(diào)查的學生共有___________；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）扇形統(tǒng)計圖中B部分扇形所對應(yīng)的圓心角是___________度；
（4）根據(jù)調(diào)查結(jié)果請估算全校有多少學生達到對霧霾天氣知識比較了解或非常了解．
【答案】（1）400人
（2）見解析 （3）54
（4）400名
【解析】
【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖信息相關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體：
（1）用A等級的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）先求出D等級的人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖即可；
（3）用360度乘以B等級的人數(shù)占比即可得到答案；
（4）用2000乘以樣本中A等級和B等級的人數(shù)占比之和即可得到答案．
【小問1詳解】
解：名，
∴本次參與調(diào)查的學生共有400名，
故答案為：400名；
【小問2詳解】
解：由（1）得D等級的人數(shù)為名，
補全統(tǒng)計圖如下：
【小問3詳解】
解：，
∴扇形統(tǒng)計圖中B部分扇形所對應(yīng)的圓心角是，
故答案為：54；
【小問4詳解】
解：名，
∴估算全校有400名學生達到對霧霾天氣知識比較了解或非常了解
21. 如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD中點，連接CF并延長交BA的延長線于點E．
（1）求證：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）62°
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB=CD，從而得到∠E=∠D CF，∠EAF=∠D，可證得△AEF≌△DCF，進而得到AE=CD，即可求證；
（2）根據(jù)AB＝AE，可得BE=2AE，從而得到BC=BE，進而得到∠BCE=∠E＝31°，進而得到∠ABC=118°，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥CD，
∴∠E=∠D CF，∠EAF=∠D，
∵點F是AD中點，
∴AF=DF，
∴△AEF≌△DCF，
∴AE=CD，
∴AB=AE；
【小問2詳解】
解：∵AB=AE，
∴BE=2AE，
∵BC＝2AE，
∴BC=BE，
∴∠BCE=∠E＝31°，
∴∠ABC=180°-∠E-∠BCE=118°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=62°．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22. 口袋里有除顏色外其它都相同的5個紅球和3個白球．
（1）先從袋子里取出m（）個白球，再從袋子里隨機摸出一個球，將“摸出紅球”記為事件A． 如果事件A是必然事件，則 ；如果事件A是隨機事件，則 ；
（2）先從袋子中取出m個白球，再放入m個一樣的紅球并搖勻，摸出一個球是紅球的可能性大小是，求m的值．
【答案】（1）3，1或2
（2）1
【解析】
【分析】本題考查事件的分類，利用概率求數(shù)量．
（1）根據(jù)必然事件是在一定條件下一定會發(fā)生的事件，隨機事件是一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件進行求解即可；
（2）根據(jù)概率公式進行計算即可．
【小問1詳解】
解：如果事件A是必然事件，則袋子里全是紅球，
∴；
如果事件A是隨機事件，則袋子里還剩余白球，
∴或2；
故答案為：3，1或2；
【小問2詳解】
由題意，得：，
解得：．
23. 按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．
（1）如圖1，在10×10的網(wǎng)格中，有一格點三角形ABC．（說明：頂點都在網(wǎng)格線交點處的三角形叫做格點三角形）將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)180°，得到△A'B'C，請直接畫出旋轉(zhuǎn)后的△A'B'C．（友情提醒：別忘了標上相應(yīng)的字母!）
（2）如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，E為BC上任意一點，請只用直尺（不帶刻度）在邊AD上找點F，使DF＝BE．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)直接作圖即可；
（2）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到BO=DO，∠FDO=∠EBO，進而通過△BOE≌△DOF得解．
【詳解】解：（1）如圖1，△A′B′C即為所求；
（2）如圖2：
連接AC、BD交于點O，作直線EO交AD于F，點F即為所求．
理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠FDO=∠EBO，
又∵∠FOD=∠EOB，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE=DF．
【點睛】本題考查作旋轉(zhuǎn)對稱圖形，平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24. 如果一個四邊形存在一條對角線，使得這條對角線長度的平方是四邊形某兩邊長度的乘積，則稱這個四邊形為“閃亮四邊形”，這條對角線稱為“亮線”，如圖1，在這個四邊形中，，滿足，四邊形是閃亮四邊形，是亮線．
（1）以下說法在確的是__________（填寫序號）
①正方形不可能是閃亮四邊形
②矩形有可能是閃亮四邊形
③若一個菱形是閃亮四邊形，則必有一個角為
（2）如圖2，在四邊形中，，四邊形是否為閃亮四邊形？如果是，哪條線段是亮線，并寫出驗證過程，如果不是，說明理由．
【答案】（1）①③；（2）四邊形ABCD是閃亮四邊形，BD為亮線
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形、矩形和菱形基本性質(zhì)逐項分析即可；
（2）先分別根據(jù)勾股定理求出BD，BC以及AC的長度，從而結(jié)合題干定義進行分析即可．
【詳解】解：（1）①設(shè)正方形的邊長為，則對角線為，
∵，，
∴，
∴正方形不可能是閃亮四邊形，①正確；
②設(shè)矩形的一組鄰邊為，則對角線的平方為，
該矩形兩邊長乘積為，
∴若成立時，可滿足閃亮四邊形的定義，
∵，
∴恒成立，
∴矩形不可能是閃亮四邊形，②錯誤；
③如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，
若菱形ABCD閃亮四邊形，則，
即：，
∵AB=BC，
∴AB=AC=BC，△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴若一個菱形是閃亮四邊形，則必有一個角為，③正確；
故答案為：①③；
（2）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AD=9，AB=12
∴由勾股定理得BD2=225，
如圖，作DE⊥BC于E點，則四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=12，BE=AD=9，
在Rt△DEC中，CD=20，
由勾股定理得CE=16，
∴BC=BE+CE=25，
在Rt△ABC中，，
∵，
∴，
∴四邊形ABCD是閃亮四邊形，BD為亮線．
【點睛】本題考查新定義多邊形，涉及勾股定理解三角形，理解題干意思，熟悉常見四邊形的基本性質(zhì)，并靈活運用勾股定理是解題關(guān)鍵．
25. 如圖，中，，是斜邊上的中線，點E是的中點，過點C作交的延長線于點F，連接．

（1）求證：；
（2）①當線段、滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形是正方形，并說明理由；
②已知，，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析 （2）①當時，四邊形是正方形，理由見解析②
【解析】
【分析】（1）證明，得到，斜邊上的中線得到，即可得推出；
（2）①先證明四邊形是菱形，利用有一個角是的菱形是正方形，得到，即可得出結(jié)論；②勾股定理求出的長，推出菱形的面積等于的面積，進行求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵中，，是斜邊上的中線，點E是的中點，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
解：①當時，四邊形是正方形；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形菱形，
當菱形是正方形時，則：，
即：，
∵，
∴為的中垂線，
∴，
即當時，四邊形是正方形；
②∵，
設(shè)，
∵，，
∴，即：
解：（負值已舍去）；
∴，
設(shè)邊上的高為，則：；
∵四邊形是菱形，
∴四邊形的面積．
【點睛】本題考查斜邊上的中線，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊的一半，證明四邊形為菱形．
26. 實踐操作
在矩形中，，，現(xiàn)將紙片折疊，點的對應(yīng)點記為點，折痕為（點、是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．
初步思考
（1）若點落在矩形的邊上（如圖①）．
①當點與點重合時， ；當點與點重合時， ；
②當點在上，點在上時（如圖②），求證：四邊形為菱形，并直接寫出當時的菱形的邊長．
深入探究
（2）若點落在矩形的內(nèi)部（如圖③），且點、分別在、邊上，請直接寫出的最小值．
拓展延伸
（3）若點與點重合，點在上，射線與射線交于點（如圖④）．在各種不同的折疊位置中，是否存在某一情況，使得線段與線段的長度相等？若存在，請直接寫出線段的長度；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）①；②邊長是，證明見解析（2）2（3）存在，長度是或
【解析】
【分析】（1）①當點與點重合時，如圖1，畫出圖形可得結(jié)論；當點與點重合時，如圖2，則平分；
②證明得，根據(jù)一組對邊平行且相等得：四邊形是平行四邊形，加上對角線互相垂直可得為菱形，當時，設(shè)菱形的邊長為，根據(jù)勾股定理列方程得：，求出的值即可；
（2）如圖4，當與重合，點在對角線上時，有最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)求，由勾股定理求，所以；
（3）分兩種情況根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．
【詳解】（1）①；
當點與點重合時，是的中垂線，
；
當點與點重合時，此時．
②設(shè)交于點，
四邊形是矩形

，
點沿折疊后對應(yīng)點為，

在和中，



四邊形是平行四邊形

是菱形
當時，菱形的邊長為．
設(shè)菱形邊長為，則
在中，由勾股定理得：，
，
．
（2）的最小值為．
若點落在矩形的內(nèi)部，且點、分別在、邊上，
設(shè)，則，
當在一條直線上時，最小，
最小值為，
所以當最大取時，的最小值為．
（3）或．
情況一：連接，
，
設(shè)，則，
則



解得：；
情況二：
設(shè)，則，
則，，
則，，，

解得：．
綜上所述，的長度為或
【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵，本題難度適中，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想．

相關(guān)試卷

江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）：

這是一份江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版），文件包含江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題原卷版docx、江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共34頁， 歡迎下載使用。

+江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)2023-2024學年七年級下學期期中數(shù)學試卷+：

這是一份+江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)2023-2024學年七年級下學期期中數(shù)學試卷+，共17頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學年江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)七年級（下）期中數(shù)學試卷(含解析）：

這是一份2023-2024學年江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)七年級（下）期中數(shù)學試卷(含解析），共17頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023-2024學年江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)九年級（上）數(shù)學期中數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)九年級（上）數(shù)學期中數(shù)學試題（含解析）
江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)2023-2024學年九年級上冊期中數(shù)學試題（含解析）

江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)2023-2024學年九年級上冊期中數(shù)學試題（含解析）
2023-2024學年江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)七年級上冊期中數(shù)學學情檢測模擬試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)七年級上冊期中數(shù)學學情檢測模擬試題（含答案）
2023年江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)中考數(shù)學調(diào)研試卷（3月份）(含答案解析)

2023年江蘇省鎮(zhèn)江市京口區(qū)中考數(shù)學調(diào)研試卷（3月份）(含答案解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部