注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算得解.
【詳解】.
故選：B
2. 若向量滿足，且，則向量的夾角為（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】由,平方求出,代入向量夾角公式,求出的夾角余弦值,即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)的夾角為
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故選:B
【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長(zhǎng)和向量的夾角計(jì)算,著重考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
3. 如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由斜二測(cè)畫(huà)法還原該平面圖形的原圖，計(jì)算可得．
【詳解】在直角梯形中，，，
則，
直角梯形對(duì)應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，
，
所以該平面圖形的高為.
故選：C.
4. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，軸截面面積為，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求出圓錐的底面半徑和高，再利用公式求側(cè)面積即可.
【詳解】已知圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，
由已知得
解得或，
由于圓錐的側(cè)面積為：，
所以，或，
故選：D.
5. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角正弦化簡(jiǎn)求解即得.
【詳解】在中，由正弦定理及，得，
而，則，又，于是，
而，所以．
故選：A
6. 已知，為兩個(gè)不同的平面，，，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，且，則
B 若，且，則
C. 若，，則
D. 若，，且，，則
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系中平行的有關(guān)判定和性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由面面平行的定義可知，若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面，故A正確；
對(duì)于B，若則或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，則或異面或 相交，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，且，則，或，故D錯(cuò)誤，
故選：A.
7. 已知為復(fù)數(shù)，則“實(shí)部大于0”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義變形給定不等式，再利用充分條件、必要條件的定義判斷得解.
【詳解】設(shè)，，則，
所以z的實(shí)部大于0是的充要條件．
故選：C
8. 在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，其中為常數(shù)，若，且，則的面積取最大值時(shí)，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理角化邊可得，再由已知不等式求出的范圍，結(jié)合二倍角的正弦將的面積建立為的函數(shù)并探討最大值即得.
【詳解】在中，由及余弦定理，得，即，則，
又，則有，即，又，因此，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的面積取最大值時(shí)，．
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，其中，是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的虛部為
C. 若為純虛數(shù)，則
D. 若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】把代入，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可判斷AB；利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算，再結(jié)合純虛數(shù)及模的意義計(jì)算判斷CD.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，z的虛部為，B錯(cuò)誤；
，
對(duì)于C，z為純虛數(shù)，則，滿足，C正確；
對(duì)于D，，則，解得或，D錯(cuò)誤，
故選：AC
10. 已知，，為非零向量，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 向量在向量上的投影向量可表示為
B. 若，，則
C. 若向量可由向量，線性表出，則，，一定不共線
D. 若，則
【答案】AB
【解析】
【分析】利用投影向量定義判斷A；利用共線向量定理推理判斷B；舉例說(shuō)明判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，由投影向量的定義，得向量在向量上的投影向量可表示為，A正確；
對(duì)于B，均為非零向量，存在實(shí)數(shù)m，n使得，，則，B正確；
對(duì)于C，令，，，有，而共線，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，，，有，而，D錯(cuò)誤.
故選：AB
11. 四棱錐的底面為正方形，，，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則（ ）

A. 直線與直線為異面直線
B. 四棱錐的體積為2
C. 在中，當(dāng)時(shí)，
D. 四棱錐的外接球表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷A，根據(jù)錐體體積公式判斷B，由條件確定點(diǎn)的位置，結(jié)合錐體體積公式，判斷C，確定四棱錐的外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫妫矫妫?br>點(diǎn)不在直線上，
所以直線與直線為異面直線，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，，平面，?br>所以平面，
又，，四邊形為正方形，
所以四棱錐的高，底面面積為，
所以四棱錐的體積，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，所以為直角三角形，又，
所以，又，，，
所以，所以，所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
所以，C正確，
對(duì)于D，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
因?yàn)椋?，平面，?br>所以平面，又平面，
所以，故為直角三角形，
同理可證為直角三角形，
取的中點(diǎn)，則，
所以四棱錐的外接球的外接球的球心為，
所以四棱錐的外接球的半徑為，
所以四棱錐的外接球得表面積，D正確，
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 將一實(shí)心鐵球放入圓柱形容器中（厚度忽略不計(jì)），鐵球恰好與圓柱的內(nèi)壁相切，且鐵球的最高點(diǎn)與圓柱上底面在同一平面內(nèi)，則鐵球的體積與圓柱形容器的體積之比為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出鐵球半徑，利用球和圓柱的體積公式計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)鐵球的半徑為r，則圓柱的高為2r，所以鐵球的體積與圓柱形容器的體積之比為．
故答案為：
13. 已知，，為復(fù)數(shù)，且，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算得解.
【詳解】令，顯然，
則，
，
，
，
由，得，，
所以．
故答案為：1
14. 在四邊形中，，點(diǎn)是四邊形所在平面上一點(diǎn)，滿足.設(shè)分別為四邊形與的面積，則______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出梯形兩底的長(zhǎng)，取AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)M，N，X，Y，并探討它們的關(guān)系，結(jié)合已知向量等式確定點(diǎn)P的位置并求出，再由三角形、梯形面積公式求解即得.
【詳解】在四邊形中，，則四邊形是梯形，且，令，，
記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)，顯然，
于是點(diǎn)M，X，Y，N順次共線并且，
顯然，，而，則，
因此點(diǎn)P在線段XY上，且，設(shè)A到MN的距離為h，
由面積公式可知．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.
15. 已知，復(fù)數(shù)，.
（1）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求的取值范圍；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，（不與重合），若，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義列出不等式組求解即得.
（2）利用復(fù)數(shù)的向量表示，結(jié)合給定數(shù)量積求出，進(jìn)而求出，，再求出復(fù)數(shù)的模.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，而在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，
則，解得，
所以m的取值范圍為.
【小問(wèn)2詳解】
依題意，，，
由，得，解得或，
而時(shí)，為原點(diǎn)，不符合題意，因此，，，，
所以．
16. 已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量與垂直.
（1）求；
（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量與垂直，由求解；
（2）由（1）得到，再由三角形周長(zhǎng)為 求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)橄蛄颗c垂直，
所以，由于，
即 ，
因?yàn)?，
所以 ；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知：，
則三角形的周長(zhǎng)為 ，
，
，
，
因?yàn)?，所以 ，
所以 ，則周長(zhǎng)的范圍是 .
17. 如圖，在四棱錐中，，，，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）連接，利用三角形中位線及平行四邊形性質(zhì)證得，再利用線面平行的判定推理即得.
（2）由（1）的信息，利用線面平行的判定、面面平行的判定推理即得.
【小問(wèn)1詳解】
在四棱錐中，連接，由，分別為，的中點(diǎn)，得，
而，，則，四邊形為平行四邊形，
因此，而平面，平面，
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
由，得是的中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，則，
又平面，平面，于是平面，
由（1）知，，而平面，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
18. 如圖，圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，，分別是圓柱上、下底面圓的一條直徑，且點(diǎn)在下底面的投影點(diǎn)平分圓弧.
（1）若圓柱上下底面的圓周均在球的表面上，求球的表面積；
（2）求四面體的體積.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由圓柱的側(cè)面積求出圓柱的高，再利用球面的性質(zhì)求出圓柱外接球半徑即可得解.
（2）連接，，將四面體的體積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三棱錐體積和求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓柱的高為h，由圓柱的側(cè)面積為，底面圓半徑，得，解得，
設(shè)球O的半徑為R，由對(duì)稱(chēng)性知，球心為線段的中點(diǎn)，則，
所以球O的表面積為.
【小問(wèn)2詳解】
連接，，則四面體的體積等于四面體和的體積之和，
由為圓柱下底面圓的直徑，得平面截圓柱所得的截面是圓柱的軸截面，
又為圓柱上底面圓的直徑，且點(diǎn)在下底面的投影點(diǎn)平分圓弧，
因此點(diǎn)A，B到平面的距離相等，均為1，
則四面體的體積，
所以四面體的體積為．
19. 在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，.
（1）求；
（2）作角的平分線，交邊于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)度；
（3）在（2）的條件下，求的面積.
【答案】（1）1； （2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合差角的正弦公式及同角的三角函數(shù)公式計(jì)算即得.
（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理建立方程求出.
（3）利用正弦定理求出邊，再利用三角形面積公式計(jì)算即得.
【小問(wèn)1詳解】
在中，由及正弦定理，得，
由，得，則，
于是，
整理得，而，則，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由AD為的平分線，得，由（1）知，，
在中，由正弦定理，則，
由余弦定理得，即，
整理得，而，
所以.
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知，，
由正弦定理得，則，
所以的面積．

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