1．（4分）下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．C．7，12，13D．
2．（4分）下列各式中，能與合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列各式計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如圖：4×1網(wǎng)格中每個正方形邊長為1，表示長的線段是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
5．（4分）在?ABCD中，若∠A+∠C＝140°，則∠A的大小是 （ ）
A．75°B．70°C．60°D．40°
6．（4分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知∠BOC=120°，DC=3cm,則AC的長為（ ）cm.
A．6B．3C．D．
7．（4分）小張騎車從圖書館回家，中途在文具店買筆耽誤了1分鐘，然后繼續(xù)騎車回家．若小張騎車的速度始終不變，從出發(fā)開始計時，小張離家的距離S（單位：米）與時間t（單位：分鐘）的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則文具店與小張家的距離為（ ）
A．400米B．300米C．200米D．100米
8．（4分）如圖，在△ABC中，D是BC上的一點，AB=AD，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，EF=3，則AC的長是（ ）
A．3．B．4C．5D．6
9．（4分）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形（如圖所示），若大正方形的面積是29，小正方形的面積是9，設(shè)直角三角形較長直角邊為b,較短直角邊為a,則a+b的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．（4分）如圖，在正方形OABC中，OA=6，點E、F分別在邊BC，BA上，OE＝，若∠EOF=45°，則點F的縱坐標為（ ）
A．2B．C．D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 ．
12．（4分）已知正比例函數(shù)y＝4x，當x＝3時，函數(shù)值y＝ ．
13．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AD，OD的中點，若EF=2，則AC的長是 ．
14．（4分）命題“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是 ，該逆命題是 （填“真”或“假”）命題．
15．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5，OC＝6，則另一直角邊BC的長為 ．
16．（4分）如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀大小保持不變，其中AB=12，BC=4，在運動過程中，點D到點O的最大距離是 ．
三、解答題（本大題有9小題，共86分）
17．（10分）計算：
（1）；
（2）．
18．（8分）已知：如圖，在△ABC中AB=AC，AD平分∠BAC，過點A作AN∥BC，過點C作CE⊥AN，垂足為點E，連接DE交AC于點F．求證：四邊形ADCE是矩形．
19．（8分）先化簡再求值：，其中．
20．（8分）如圖，大風把一棵樹刮斷，已知被刮斷前樹高8m,倒下后樹干頂部離根部距離AC=4m,求樹折斷處與地面的距離（即BC的長）．
21．（8分）如圖，在?ABCD中，作∠BAD的平分線交BC于點E，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于F．
（1）請用直尺和圓規(guī)完成題中的作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）連接BF，若BF=AB=10，求出線段AE的長度．
22．（10分）如圖所示，在△ABC中，點D，E分別為AB，AC的中點，點F在線段BD上，連接CF，點G，H分別為BF，CF的中點．
（1）求證：四邊形DEHG為平行四邊形；
（2）若CF⊥AB，AC=2AF，求∠ACF的度數(shù)．
23．（10分）《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑．恒等變形，是代數(shù)式求值的一個很重要的方法．利用恒等變形，可以把無理數(shù)運算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式．
如：當x＝+1時，求x3﹣x2﹣x+2的值．若直接把x＝+1代入所求的式中，進行計算，我們可以通過恒等變形，對本題進行解答．
方法：將條件變形，因x＝+1，再把等式兩邊同時平方，把無理數(shù)運算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運算．
由x﹣1＝，平方得（x﹣1）2＝3，整理可得：x2﹣2x＝2，即x2＝2x+2．
所以x3﹣x2﹣x+2＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2．
請參照以上的解決問題的思路和方法，解決以下問題：
（1）若x＝﹣1，則（x+1）2＝ ，x3+2x2﹣x+2＝ ；
（2）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2+6+的值．
（3）已知x＝，求的值．
24．（12分）如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，連接EB，點F在DA的延長線上，且∠AFE=∠ABE．
（1）求證：EF=EB；
（2）用等式表示線段AB，AE，AF的數(shù)量關(guān)系并證明．
25．（12分）在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
（1）如圖1，點E為線段AB的中點，連接DE，CE，若AB=4，求線段EC的長；
（2）如圖2，P為對角線BD上一點，連接AP，點F在AB上，連接DF，AP與DF交于點T，若DP=BF，求∠ATF的度數(shù)；
（3）如圖3，M為對角線AC上一點（M不與A，C重合），以AM為邊，構(gòu)造如圖所示等邊△AMN，線段MN與AD交于點G，連接NC，DM，Q為線段NC的中點，連接DQ，MQ，請說明．
2023-2024學年福建省廈門市同安區(qū)八年級（下）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題都有四個選項，其中有且只有一個選項符合題目要求）
1．【答案】D
【解答】解：A、1+1＝5，故不符合題意；
B、（）2+22≠（）4，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形；
C、72+122≠132，不符合勾股定理的逆定理，不能組構(gòu)成直角三角形；
D、34+（）2＝42，符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形．
故選：D．
2．【答案】B
【解答】解：A、與不是同類二次根式，不符合題意；
B、＝2合并；
C、＝2不是同類二次根式，不符合題意；
D、＝2不是同類二次根式，不符合題意；
故選：B．
3．【答案】D
【解答】解：A． ＝5；
B．5﹣3，所以B選項不符合題意；
C． 與不能合并；
D． ＝＝2．
故選：D．
4．【答案】B
【解答】解：由勾股定理得，
，
，
，
∴表示應(yīng)為線段OB．
故選：B．
5．【答案】B
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°，
故選：B．
6．【答案】A
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD．
∵∠BOC＝120°，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC＝DC＝3cm，
∴AC＝2OC＝5cm．
故選：A．
7．【答案】B
【解答】解：由題意得：小張騎車的速度＝500÷（6﹣1）＝100米/分鐘．
∴文具店與小張家的距離＝100×（6﹣3）＝300米．
故選：B．
8．【答案】D
【解答】解：如圖，連接AF．
∵AB＝AD，F(xiàn)是BD的中點，
∴AF⊥BD．
在Rt△ACF中，
∵∠AFC＝90°，E是AC的中點，
∴AC＝2EF＝6．
故選：D．
9．【答案】C
【解答】解：∵大正方形的面積是29，小正方形的面積是9．
∴一個小三角形的面積是×（29﹣9）＝5．
∴ab＝2．a(chǎn)2+b2＝29．
∴（a+b）6＝a2+b2+5ab＝49．
∴a+b＝7．
故選：C．
10．【答案】A
【解答】解：如圖，延長BA至點M，連接OM，
在△OCE和△OAM中，
，
∴△OCE≌△OAM（SAS）．
∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，
∵∠EOF＝45°，
∴∠COE+∠AOF＝45°，
∴∠MOA+∠AOF＝45°，
∴∠EOF＝∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
，
∴△OFE≌△FOM（SAS），
∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，
設(shè)AF＝x，
∵CE＝＝＝4，
∴EF＝3+x，EB＝3，
∴（5+x）2＝35+（6﹣x）2，
∴x＝4，
∴點F的縱坐標為2，
故選：A．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
則4x﹣4≥0，
解得：x≥5，
故答案為：x≥2．
12．【答案】12．
【解答】解：當x＝3時，
y＝4x＝5×3＝12，
故答案為：12．
13．【答案】8．
【解答】解：∵點E，F(xiàn)分別是AD，EF＝2，
∴OA＝4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC＝2OA＝8，
故答案為：8．
14．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：命題“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是如果a4＝b2，那么a＝b，逆命題是假命題，
故答案為：如果a2＝b7，那么a＝b；假．
15．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解法一：如圖1所示，過O作OF⊥BC，
∵四邊形ABDE為正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
又∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，
∴四邊形ACFM為矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝5，
∴OF＝CF，
∴△OCF為等腰直角三角形，
∵OC＝5，
∴根據(jù)勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，
解得：CF＝OF＝6，
∴FB＝OM＝OF﹣FM＝2﹣5＝1，
則BC＝CF+BF＝2+1＝7．
故答案為：3．
解法二：如圖2所示，
過點O作OM⊥CA，交CA的延長線于點M．
易證△OMA≌△ONB，∴OM＝ON．
∴O點在∠ACB的平分線上，
∴△OCM為等腰直角三角形．
∵OC＝6，
∴CM＝ON＝6．
∴MA＝CM﹣AC＝6﹣7＝1，
∴BC＝CN+NB＝6+7＝7．
故答案為：7．
16．【答案】2+6．
【解答】解：取AB中點K連接OK，DK，
∵∠MON＝90°，
∴KA＝OK＝AB＝，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴DK＝＝2，
∵OD≤DK+OK＝8+6，
∴點D到點O的最大距離是2+4．
故答案為：2+6．
三、解答題（本大題有9小題，共86分）
17．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
18．【答案】證明見解析．
【解答】證明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AN∥BC，
∴∠DAE＝∠ADB＝90°，
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°，
∴四邊形ADCE是矩形．
19．【答案】，．
【解答】解：原式＝÷
＝?
＝，
當x＝時，原式＝＝．
20．【答案】3m．
【解答】解：由題意可知，∠ACB＝90°，AC＝4m，
設(shè)BC＝x m，則AB＝（8﹣x）m，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
即（7﹣x）2＝46+x2，
解得：x＝3，
答：樹折斷處與地面的距離（即BC的長）為2m．
21．【答案】（1）見解析；
（2）10．
【解答】解：（1）如圖所示；
（2）設(shè)AE交BF于點O，連接EF
由題意可知：AB＝AF，AE⊥BF，
∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB＝AF，
∴四邊形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝，
在Rt△AOB中，OA＝＝，
∴AE＝2OA＝10．
22．【答案】（1）見解析；
（2）30°．
【解答】（1）證明：∵點D，E分別為AB，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE＝，
∵點G，H分別為BF，
∴DE是△FBC的中位線，
∴GH∥BC，GH＝，
∴DE∥GH，DE＝GH，
∴四邊形DEHG為平行四邊形；
（2）解：連接EF，
∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°，
∵E是AC的中點，
∴AE＝FE＝CE＝，
∵AC＝2AF，
∴AF＝AE＝EF，
∴△AEF是等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠ACF＝30°．
23．【答案】（1）2；2；
（2）8；
（3）2020．
【解答】解：（1）∵x＝﹣1，
∴x+6＝，
∴（x+1）7＝（）2＝4，
∴x2+2x+2＝2，
∴x2＝8﹣1﹣2x，
∴x7＝1﹣2x，
∴x4+2x2﹣x+6＝x（1﹣2x）+2x2﹣x+2
＝x﹣2x2+2x5﹣x+2
＝2，
故答案為：8，2；
（2）∵a2﹣5a+1＝0，
∴a6＝3a﹣1，
∴a＝2﹣，
∴a+＝5，
∴2a3﹣8a2+6+
＝7a（3a﹣1）﹣7a2+6+
＝6a2﹣5a﹣5a2+4+
＝a4﹣2a+6+
＝3a﹣1﹣8a+6+
＝a+2+
＝3+8
＝8；
（3）∵x＝，
∴x＝，
∴x﹣2＝，
∴（x﹣7）2＝5，
∴x7﹣4x+4＝3，
∴x2＝4x+5，
∴
＝
＝7x3+x2﹣2x3﹣10x2+6x+2021
＝2x3﹣7x2+2x+2021
＝3x（4x+1）﹣3x2+2x+2021
＝3x2+2x﹣3x2+2x+2021
＝﹣x4+4x+2021
＝﹣（4x+3）+4x+2021
＝﹣4x﹣5+4x+2021
＝2020．
24．【答案】（1）答案見解答過程；
（2），證明見解答過程．
【解答】（1）證明：過點E作EH⊥AC交AB于H，如下圖所示：
 
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠FAB＝90°，△AEH為等腰直角三角形，
∴∠FAE＝∠FAB+∠BAC＝135°，AE＝HE，
∴∠BHE＝180°﹣∠EHA＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FAE＝∠BHE＝135°，
在△AFE和△HBE中，
，
∴△AFE≌△HBE（AAS），
∴EF＝EB；
（2）解：AB，AE，證明如下：
由（1）可知：△AFE≌△HBE，△AEH為等腰直角三角形，
∴AF＝HB，AH＝＝，
∴．
25．【答案】（1）2；
（2）60°；
（3）見解析．
【解答】解：（1）如圖1，連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵E是AB的中點，
∴DE⊥AB，
由勾股定理得：DE＝＝7，
∵DC∥AB，
∴∠EDC＝∠DEA＝90°，
在Rt△DEC中，DC＝4，
∴EC＝＝＝2；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD＝AD，∠ADB＝∠DBF＝60°，
∵PD＝BF，
∴△ADP≌△DBF（SAS），
∴∠DAP＝∠BDF，
∵∠ADT+∠BDF＝60°，
∴∠ATF＝∠DAT+∠ADT＝60°；
（3）如圖3，延長CD至H，連接NH，
∵AD＝CD，
∴AD＝DH，
∵CD∥AB，
∴∠HDA＝∠BAD＝60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴AH＝AD，∠HAD＝60°，
∵△AMN是等邊三角形，
∴AM＝AN，∠NAM＝60°，
∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM，
∴∠HAN＝∠DAM，
在△ANH和△AMD中，
，
∴△ANH≌△AMD（SAS），
∴HN＝DM，
∵D是CH的中點，Q是NC的中點，
∴DQ是△CHN的中位線，
∴HN＝2DQ，
∴DM＝2DQ，
即．

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