1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
3．要想得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點（ ）
A．先向右平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
B．先向右平移個單位長度，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變
C．橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度
D．橫坐標(biāo)變伸長原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度
4．已知，是兩個不共線的向量，且，，，則（ ）
A．，，三點共線B．，，三點共線
C．，，三點共線D．，，三點共線
5．下列說法不正確的是（ ）
A．若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線
B．若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線
C．若，，，，則
D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
6．（ ）
A．B．C．D．
7．在中，（、、分別為角、、的對邊），則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
8．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)，，則．設(shè)，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9．設(shè)、為復(fù)數(shù)，且，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的實部與的虛部互為相反數(shù)
C．若為純虛數(shù)，則為實數(shù)
D．若，則、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在同一象限
10．在中，下列命題正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則為等腰三角形
D．若，則為銳角三角形
11．正方體的棱長為1，，，分別為，，的中點．則（ ）
題11
A．直線與直線相交B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為D．點與點到平面的距離相等
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．如圖，長方體的體積是60，為的中點，則三棱錐的體積是______．
題12
13．在中，，，其面積為，則______．
14．根據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中國又稱商高定理．而勾股數(shù)是指滿足勾股定理的正整數(shù)組，任意一組勾股數(shù)都可以表示為如下的形式：其中，，均為正整數(shù)，且．如圖所示，中，，，三邊對應(yīng)的勾股數(shù)中，，點在線段上，且，則______．
題14
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．如圖，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，，平面平面．
（1）證明：平面；
（2）證明：．
16．在中，，，分別是角，，的對邊，且，，．
（1）求的值；
（2）的面積．
17．已知函數(shù)．
（1）若，的最小值為，求的對稱中心；
（2）已知，函數(shù)圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在（且）上恰好有12個零點，求的最小值．
18．互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為斜坐標(biāo)系．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．
（1）設(shè)，求；
（2）已知，，求；
（3）若，，與的夾角記為，求的余弦值．
19．某煙花廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一款環(huán)保、安全的迷你小煙花，初步設(shè)計了一個平面圖，如圖所示，該平面圖由，直角梯形和以為圓心的四分之一圓弧構(gòu)成，其中，，，且，，，將平面圖形以所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體即為煙花．
（1）求該煙花的體積；
（2）工廠準(zhǔn)備將矩形（該矩形內(nèi)接于圖形，在弧上，在線段上，在上）旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體用來安放燃料，設(shè)，
①請用表示燃料的體積；
②若煙花燃燒時間和燃料體積滿足關(guān)系，請計算這個煙花燃燒的最長時間．
2024年05月山東省淄博市高一（下）期中數(shù)學(xué)—淄博六中
參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．
1．【解析】B
【分析】由復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，即可求出結(jié)果．
【詳解】由知其對應(yīng)點為，而點在第二象限；
故正確答案為B
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，熟記幾何意義即可，屬于基礎(chǔ)題型．
2．【解析】A
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算，列方程求出的值．
【詳解】向量，；
若，則，
即所以，解得．
故選：A．
【點睛】本小題主要考查平面向量加法和減法的坐標(biāo)運算，考查兩個向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．
3．【解析】
【詳解】函數(shù)的圖象上所有的點橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，再向右平移個單位長度，
故選C
4．【解析】A
【分析】借助向量運算與共線定理即可得．
【詳解】，故，則，
又因為兩向量有公共點，
故，，三點共線．
故選：A．
5．【解析】B
【詳解】若四點中恰有三點共線，則直線和直線外一點，確定一個平面；若四點共線，則四點一定共面；若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線，故A正確．若兩條直線沒有公共點，則兩條直線可能異面，也可能平行，故B錯誤．若，，，則，．因為，所以，故C正確．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確．故選B．
6．【解析】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式和倍角公式，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解．
【詳解】由
．
故選：A．
7．【解析】A
【詳解】依題意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，，故三角形為直角三角形，故選A．
8．【解析】C
【分析】根據(jù)題意化簡即可得解．
【詳解】根據(jù)題意，由，
可得
．
故虛部為．
故選：C
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9．【解析】BD
【分析】本題可通過令、得出A錯誤，通過令、得出C錯誤．然后設(shè)、，、、、均是實數(shù)，通過得出，B正確，最后通過得出，根據(jù)當(dāng)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在同一象限時即可得出D正確．
【詳解】A項：若，，則滿足，不滿足，A錯誤；
B項：設(shè)，，、、、均是實數(shù)，
因為，所以，即，，，
故的實部與的虛部互為相反數(shù)，B正確；
C項：若，，則滿足為純虛數(shù)，不滿足為實數(shù)，C錯誤；
D項：設(shè)，，、、、均是實數(shù)，
則，
因為，所以，
若、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在同一象限，則，
故、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在同一象限，D正確，
故選：CD．
10．【解析】BC
【解析】根據(jù)向量加減法法則和數(shù)量積的運算判斷各選項．
【詳解】，A錯；
由向量加法法則，B正確；
，即，，為等腰三角形，C正確；
，則是銳角，但其它兩個內(nèi)角是不是銳角，不知道，D錯誤．
故選：BC．
【點睛】易錯點睛：本題考查向量的加減法運算，考查數(shù)量積的運算．在由判斷是銳角時要注意，本題是，因此有銳角的結(jié)論，如果一般的兩個向量，滿足，不一定能得出為銳角．判斷三角形形狀時，僅僅由，只能得出是銳角，但，兩個角什么角，沒法判斷．還有下結(jié)論是銳角三角形．
11．【解析】BC
【分析】由和為異面直線，可判斷A；取的中點，連接，，利用線面平行的判定定理，可判斷B；連接，，得到平面為平面截正方體所得的截面，再計算其面積即可判斷C；利用反證法即可判斷D．
判定異面直線
研究工具：平面
異面直線
總結(jié)
①作出一個與另一條直線相交的平面
②直線與平面有一個公共點
判定方法
過直線作平面，與另一條直線交于點，若不在直線上，則與是異面直線．
符號語言
，，若，則與是異面直線．
【詳解】對于A，平面，平面，，和為異面直線，故A錯誤；
對于B，如圖所示，取的中點，連接，，
由條件可知：，，且，，
又平面，平面，平面，平面，
平面，平面，又，
所以平面平面，又因為平面，
所以平面，故B正確；
對于C，因為，為，的中點，所以，
所以，，，四點共面，所以截面即為梯形，
由題得該等腰梯形的上底，下底，腰長為，所以梯形面積為，故C正確；
對于D，，；
，故D錯誤．
故選：BC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．【解析】5
【分析】由長方體的體積為60，即，而三棱錐的體積為，代入求解即可
【詳解】由題，長方體的體積為，
所以，
故答案為：5
【點睛】本題考查三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題
13．【解析】
【分析】利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得，結(jié)合正弦定理求得正確答案．
【詳解】依題意，，，
由余弦定理得，，
由正弦定理得．
故答案為：
14．【解析】
【解析】若，解得，得到，不符合題意；若，解得，求得，進而求得，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解．
【詳解】由已知可得顯然，
若，則，解得，
此時，與矛盾，不符合題意；
若，則，解得，此時，符合．
所以，，，，，所以，
所以
．
【點睛】解決向量在平面幾何中的應(yīng)用問題的兩種方法：
（1）坐標(biāo)法，把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示出來，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算，從而使問題得到解決；
（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據(jù)向量的運算法則、運算律和性質(zhì)求解．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．【解析】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【分析】（1）由線段對應(yīng)成比例可得，進而得到，再由線面平行的判定定理證明即可．
（2）先有線面平行的判定定理證明平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得到．
【詳解】（1）連接交于，連接．
因為四邊形為直角梯形，，所以，
又因為，，所以，
因為面，面，所以平面．
（2）因為四邊形為直角梯形，所以．
因為面，面，所以平面．
因為面，面面．
所以．
16．【解析】（1）2；（2）；．
【解析】（1）由與度數(shù)求出的度數(shù)，再由及的度數(shù)，利用正弦定理求出的值即可；
（2）由，及的值，利用三角形面積公式即可求出三角形的面積．
【詳解】（1），，，
又，，
由正弦定理得：；
（2），，，
．
【點睛】本題考查正弦定理解三角形，考查三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
17．【解析】（1）或；
（2）．
【分析】（1）由題意，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的最小正周期為，從而可求出，則可求得解析式，然后可求出其對稱中心；
（2）先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，再根據(jù)，從而可求出的解析式，則可求出的最小正周期，再利用正弦函數(shù)的零點和周期性可求得結(jié)果．
【詳解】（1）的最小正周期為，
又，的最小值為，的最小正周期是，
故，解得，
當(dāng)時，，
由，
的對稱中心為；
當(dāng)時，，
由，
的對稱中心為，
綜上所述，的對稱中心為或．
（2）函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，
，最小正周期，
令，則，
即或，
解得或．
若函數(shù)在（且）上恰好有12個零點，則，
要使最小，須，恰好為的零點，
故．
可得的最小值為．
18．【解析】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由題意計算，再代入向量模的公式，即可求解；
（2）由向量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為基底表示，再代入數(shù)量積公式，即可求解；
（3）首先求，和，再代入向量的夾角公式，即可求解．
【詳解】（1）由題意可知，，，
所以，
；
（2），，
則，，
所以，
；
（3），，
根據(jù)（2）的結(jié)果可知，；
；
，
則．
19．【解析】（1）
（2）①；②
【分析】（1）根據(jù)球，圓臺，圓錐的體積公式運算即可；
（2）①利用角度關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)表示出矩形的邊長，從而求出圓柱體的體積；
②將體積代入關(guān)系式中并化簡，解得：，然后結(jié)合復(fù)合函數(shù)和基本不等式將等式轉(zhuǎn)化求解；
【詳解】（1）該煙花由半球，圓臺，圓錐三部分組成，
又，，，
所以該煙花的體積；
（2）①由圖可知：，，
在梯形中，由，，
易知，故，
則，
所以；
②由上問可知：
即
，
令，則，
上式即為，
又令，，則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立，滿足題意．
該煙花燃燒的最長時間為．
【點睛】本題第二問題目難度較大，將等式轉(zhuǎn)化成，然后結(jié)合基本不等式二次轉(zhuǎn)化成是本題的難點和突破點．

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