一?選擇題（每小題3分，共54分）
1. 設全集，，（ ）
A B. C. D.
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，為虛數單位，，若為實數，則取值為（ ）
A. B. C. D.
4. 甲地下雨概率為，乙地下雨的概率為，兩地是否下雨相互獨立，則兩地同時下雨的概率為（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函數中，在為減函數的是（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，為（ ）
A. 直角三角形B. 銳角三角形C. 鈍角三角形D. 等邊三角形
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
9. 將的縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變，則得到的新的解析式為（ ）
A. B. C. D.
10. 的否定是（ ）
A B. C. D.
11. 是空間中兩條不同的直線，“是異面直線”是“沒有公共點”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
12. 的第百分位數是（ ）
A. B. C. D.
13. 函數曲線恒過定點（ ）
A. B. C. D.
14. 的解集為（ ）
A. B. 或C. D.
15. 函數的最大值為（ ）
A. B. C. D.
16. 函數的零點所在的一個區(qū)間是（ ）
A B. C. D.
17. 大西洋的鮭魚每年會逆流而上，回原地產卵.鮭魚研究者發(fā)現鮭魚的速度為，其中表示氧氣的消耗量.已知鮭魚的速度，則氧氣消耗量為（ ）
A 個單位B. 個單位C. 個單位D. 個單位
18. 已知函數的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
二?填空題（每小題4分，共16分）
19. ___________.
20. 一支游泳隊有男運動員人，女運動員人，按性別分層，用分層隨機抽樣從全體運動員抽取一個容量為的樣本，那么抽取的女運動員人數為___________.
21. 半徑為的球的表面積為___________.
22. 在中，角所對的邊分別為．已知，則的度數為____．
三?解答題（每小題10分，共30分）
23. 某人通過計步儀器，記錄了自己100天每天走的步數（單位：千步）得到頻率分布表，如圖所示
（1）求頻率分布表中的值，并補全頻率分布直方圖；
（2）估計此人每天步數不少于1萬步的概率.
24. 在直三棱柱中，，為中點.
（1）求證：平面；
（2）若，求四棱錐的體積.
25. 已知函數.
（1）寫出的定義域并判斷的奇偶性；
（2）證明：在是單調遞減；
（3）討論的實數根的情況.
1. 答案C
因為全集，，
所以.
故選：C
2. 答案D
解：設，因為，所以，
所以.
故選：D.
3. 答案B
為實數，則
故選：B
4. 答案A
解：記“甲地下雨”為事件，則，
記“乙地下雨”為事件，則，
兩地同時下雨概率為.
故選：A.
5. 答案A
對于,,所以在為減函數,對于,,所以在單調遞增,,,,,故在單調遞增.
故選：A
6. 答案A
解：因為，所以，則在中，，，
所以為直角三角形.
故選：A.
7. 答案D
解：因為，則.
故選：D.
8. 答案B
，
，當且僅當時等號成立，
故選：B
9. 答案D
解：的縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變，
得到的新的解析式為，整理得.
故選：D.
10. 答案B
解：命題“”為全稱命題，該命題的否定為“”.
故選：B.
11. 答案A
解：若是空間中兩條不同的直線，且是異面直線，則沒有公共點；
若是空間中兩條不同的直線，且沒有公共點，則是異面直線或，
故“是異面直線”是“沒有公共點”的充分不必要條件.
故選：A.
12. 答案C
將從小到大排列為：1，1，2，2，3，第百分位數是第三個數據2，
故選：C
13答案C
因為對數函數恒過點，
所以函數曲線恒過點.
故選：C
14答案B
解：因為時，解得或，
所以的解集為或.
故選：B.
15答案B
，故最大值為2
故選：B
16答案B
因為為增函數,且,
根據零點存在性定理知的零點在區(qū)間內.
故選B
17. 答案B
根據所給函數關系，
當時，，即，
解得，
故選：B
18. 答案C
解：由函數的圖象可得，函數為偶函數，函數關于對稱，且最小正周期為2，最大值為1，最小值為0，
A項中，，故A項正確；
B項中，，故B項正確；
C項中，因為，則函數的周期為1，而函數的最小正周期為2，故C項錯誤.
D項中，
，則函數關于對稱，故D項正確.
故選：C.
19. 答案2
解：.
故答案為：2.
20. 答案3
抽取的女運動員人數為
故答案為:3
21. 答案
解：球的半徑為，所以球的表面積為.
故答案為：.
22. 答案
由正弦定理： 可得： ，
由 可得 ，則： .
23答案（1）；頻率分布直方圖見解析.
（2）
小問1詳解
解：由頻率分布表可得，，，
則頻率分布直方圖為：
小問2詳解
解：根據頻率分布表可得，每天步數不少于1萬步的天數為天，
故此人每天步數不少于1萬步的概率為.
24答案（1）證明見解析；
（2）.
小問1詳解
，為中點，
,
在直三棱錐中，平面, 平面.
，又,
平面
小問2詳解
，為中點，
，
由（1）知，四棱錐的高即為，
又，所以，
.
25. 答案（1），偶函數
（2）證明見解析 （3）有2個實數根
小問1詳解
解：由題可知，所以函數的定義域為，
因為，所以函數為偶函數.
小問2詳解
解：當時，，
設為區(qū)間上的任意的兩個值，且，
則，
因為，所以，
故，即，
所以函數在區(qū)間上單調遞減.
小問3詳解
解：由（2）得，當時，函數在區(qū)間上單調遞減，且，當時，，
當時，，
設為區(qū)間上的任意的兩個值，且，
則，
因為，所以，
故，即，
所以函數在區(qū)間上單調遞減.
且當時，，當時，，
設，則為偶函數，且恒成立，
當時，函數在區(qū)間單調遞增，且，當時，.
所以函數與函數在區(qū)間必有一個交點，
又因為函數與函數均為偶函數，所以函數與函數在區(qū)間必有一個交點，
所以函數與函數有2個交點，即方程有2個實數根.
分組
頻數
頻率
[4，6）
5
0.05
[6，8）
15
0.15
[8，10）
20
0.20
[10，12）
[12，14）
20
0.20
[14，16]
10
0.10
合計
100
1

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