1．（5分）函數(shù)的最小正周期是
A．B．C．D．
2．（5分）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
3．（5分）已知，是兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為
A．B．C．D．
4．（5分）設甲：“函數(shù)在單調遞增”，乙：“”，則甲是乙的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．（5分）設數(shù)列，滿足，，．設為數(shù)列的前項的和，則
A．110B．120C．288D．306
6．（5分）將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數(shù)是
A．300B．240C．150D．50
7．（5分）設集合，，且，函數(shù)且，則
A．，，為增函數(shù)B．，，為減函數(shù)
C．，，為奇函數(shù)D．，，為偶函數(shù)
8．（5分）在中，已知，．若，則
A．1B．2C．3D．無解
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．（6分）已知關于的方程 的兩根為和，則
A．B．
C．D．
10．（6分）已知函數(shù)對任意實數(shù)均滿足，則
A．
B．
C．
D．函數(shù)在區(qū)間上不單調
11．（6分）過點的直線與拋物線交于，兩點．拋物線在點處的切線與直線交于點，作交于點，則
A．直線與拋物線有2個公共點
B．直線恒過定點
C．點的軌跡方程是
D．的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程 ．
13．（5分）函數(shù)的最大值為 ．
14．（5分）機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，橢圓的離心率等于 ．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列滿足，令，求證：．
16．（15分）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，
（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．
17．（15分）如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，，，為的中點，，，．
（1）證明：；
（2）若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
18．（17分）已知，是橢圓的左，右頂點，點，與橢圓上的點的距離的最小值為1．
（1）求點的坐標．
（2）過點作直線交橢圓于，兩點（與，不重合），連接，交于點．
（ⅰ）證明：點在定直線上；
（ⅱ）是否存在點使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由．
19．（17分）在概率統(tǒng)計中，常常用頻率估計概率．已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計值為．
（1）若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機摸取3個球，設摸出的球為紅球的次數(shù)為，則．
注：表示當每次摸出紅球的概率為時，摸出紅球次數(shù)為的概率）
（?。┩瓿扇绫?；
（ⅱ）在統(tǒng)計理論中，把使得 的取值達到最大時的，作為的估計值，記為，請寫出的值．
（2）把（1）中“使得的取值達到最大時的作為的估計值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計．
具體步驟：先對參數(shù)構建對數(shù)似然函數(shù)，再對其關于參數(shù)求導，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計值．已知的參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計值，并且說明頻率估計概率的合理性．
2024年浙江省杭州市高考數(shù)學質檢試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）函數(shù)的最小正周期是
A．B．C．D．
【分析】利用函數(shù)的周期的求法，直接求出函數(shù)的周期即可．
【解答】解：函數(shù)的最小正周期為：，所以函數(shù)的最小正周期是：．
故選：．
【點評】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的周期的求法，注意絕對值的周期函數(shù)，周期減半，考查計算能力．
2．（5分）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【分析】．運用線面平行的性質，結合線線的位置關系，即可判斷；
．運用線面垂直的性質，即可判斷；
．運用線面垂直的性質，結合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；
．運用線面平行的性質和線面垂直的判定，即可判斷．
【解答】解：．若，，則，相交或平行或異面，故錯；
．若，，則，故正確；
．若，，則或，故錯；
．若，，則或或，故錯．
故選：．
【點評】本題考查空間直線與平面的位置關系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質，記熟這些定理是迅速解題的關鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型．
3．（5分）已知，是兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為
A．B．C．D．
【分析】結合投影向量的定義可求，然后結合向量數(shù)量積的性質即可求解．
【解答】解：設向量與向量的夾角為，
由題意得，，
因為向量在向量上的投影向量為，
所以，
即，
所以，
則，
因為，
所以．
故選：．
【點評】本題主要考查了向量數(shù)量積性質的應用，屬于中檔題．
4．（5分）設甲：“函數(shù)在單調遞增”，乙：“”，則甲是乙的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調性可得，求得的范圍，再結合條件求解結論．
【解答】解：函數(shù)在單調遞增，
必有，
由，可得，，
根據(jù)正弦函數(shù)的單調性，可得，又，
所以，即，．
故甲是乙的充分不必要條件．
故選：．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調性，考查運算求解能力，屬于基礎題．
5．（5分）設數(shù)列，滿足，，．設為數(shù)列的前項的和，則
A．110B．120C．288D．306
【分析】由已知遞推關系相加可得，，然后利用分組求和，結合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解．
【解答】解：，，
，
．
故選：．
【點評】本題主要考查了數(shù)列的遞推關系及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應用，屬于中檔題．
6．（5分）將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數(shù)是
A．300B．240C．150D．50
【分析】由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結合分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理求解．
【解答】解：先將5名志愿者分為3組，
則有種分法，
再將這3組分給三個社區(qū)，
有種分法，
則不同的分配方法數(shù)是．
故選：．
【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，屬基礎題．
7．（5分）設集合，，且，函數(shù)且，則
A．，，為增函數(shù)B．，，為減函數(shù)
C．，，為奇函數(shù)D．，，為偶函數(shù)
【分析】結合基本初等函數(shù)的單調性及奇偶性檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：當時，，時，在上不為增函數(shù)，故不正確；
當時，，時，在上為增函數(shù)，結合選項可知，故不正確；
時，， 為偶函數(shù)，不正確；
當時，，，故正確．
故選：．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調性的判斷，屬于中檔題．
8．（5分）在中，已知，．若，則
A．1B．2C．3D．無解
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求解結論．
【解答】解：，
，可得，
又，．
可得，，
可得．
可得，
，解得．
但當時，，，
可得，①
而，可得，②
同時滿足①②的，無解．
故選：．
【點評】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．（6分）已知關于的方程 的兩根為和，則
A．B．
C．D．
【分析】在復數(shù)范圍內(nèi)解方程得，，然后根據(jù)復數(shù)的概念、運算判斷各選項．
【解答】解：△，，
不妨設，，
，故正確；
由韋達定理可得，故正確；
，故正確；
，
，時，，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)的運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
10．（6分）已知函數(shù)對任意實數(shù)均滿足，則
A．
B．
C．
D．函數(shù)在區(qū)間上不單調
【分析】根據(jù)題意，在所給等式中用代換，可得，推導出，從而判斷出項的正誤；利用賦值法，結合解方程組算出、（1）與，進而求出的值，從而判斷出、兩項的正誤；先算出滿足等式的值，由此得到，從而判斷出項的正誤．
【解答】解：對于，在中用代換，得，
所以，故項正確；
對于，在中，取得（1）①，
取得，即（1）②，
由①②組成方程組，解得（1）．
再取得（1），可得（1），故項不正確；
對于，由前面的分析可知（1），故項正確；
對于，若，即，則，
所以，得，
因為，且，
所以在區(qū)間上不單調，故項正確．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)的概念與基本性質、利用賦值法處理抽象函數(shù)問題等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．
11．（6分）過點的直線與拋物線交于，兩點．拋物線在點處的切線與直線交于點，作交于點，則
A．直線與拋物線有2個公共點
B．直線恒過定點
C．點的軌跡方程是
D．的最小值為
【分析】先設，代入，然后結合方程的根與系數(shù)關系可求，，寫出切線，的方程，檢驗選項，；
結合的討論即可求解的軌跡方程，檢驗選項；
結合直線與拋物線的位置關系及方程的根與系數(shù)關系可先表示，然后結合函數(shù)的性質可求最小值，即可判斷．
【解答】解：設 ，，代入得，
，，
易知切線的切線方程為，切線的切線方程為，
兩切線的交點為，正好在直線，
所以直線與拋物線相切，故錯誤；
此時 ，故直線，即，恒過原點，故正確；
對于，由可知顯然點的軌跡是為直徑的圓為坐原原點），故正確；
對于，，
聯(lián)立，解得，
，
，
設，
則，
則，
則，故錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查了直線與拋物線位置關系的應用，考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程 ．
【分析】直接利用點到直線的距離公式求出圓的切線方程．
【解答】解：設圓的切線方程為，
利用圓心到直線的距離，解得，
故圓的切線方程為．
故答案為：．
【點評】本題考查的知識點：圓與直線的位置關系，點到直線的距離公式，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．
13．（5分）函數(shù)的最大值為 ．
【分析】令，則，，代入到已知函數(shù)中，對其求導，結合導數(shù)與單調性及最值關系即可求解．
【解答】解：令，則，，
原函數(shù)可化為．，
則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
故時，取得最大值．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了換元法的應用，還考查了導數(shù)與單調性關系在最值求解中的應用，屬于中檔題．
14．（5分）機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，橢圓的離心率等于 ．
【分析】利用已知條件通過求解三角形，求解，，，得到橢圓的離心率．
【解答】解：該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，
如圖：設，．，，
所以，，
即，，，，，為橢圓的中心，，，分別為，，在底面上的射影，可得，，為小圓的圓心，，可得，是橢圓的短軸長為，
，，
橢圓的離心率為：．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，離心率的求法，是中檔題．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列滿足，令，求證：．
【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，可得所求；
（2）由數(shù)列恒等式可得，再由數(shù)列的裂項相消求和，結合不等式的性質，可得證明．
【解答】解：（1）等差數(shù)列的前項和為，設公差為，
由，，可得，
，即，解得．，
則；
（2）證明：，
由，可得，
則
，對也成立，
所以，．
【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查轉化思想、方程思想和運算能力，屬于中檔題．
16．（15分）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，
（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．
【分析】（1）先對函數(shù)求導，結合導數(shù)與單調性關系及二次函數(shù)的性質即可求解；
（2）結合（1）中單調性的討論及單調與極值關系即可求解；
結合函數(shù)的單調性及零點存在定理即可證明．
【解答】解：（1）因為，
當時，在單調遞減；
當時，，，
當，，
當，，
所以在 上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；
當 時，在上單調遞增， 單調遞減，
綜上，當時，在單調遞減；
當時，在 上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；
當 時，在上單調遞增， 單調遞減；
（2）由（1）知時，在 上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
此時有兩個極值點，
故的范圍為；
證明：由（1）知極大值為，
因為，
又，
所以函數(shù)有且只有一個零點．
【點評】本題主要考查了導數(shù)與單調性及極值關系的應用，還考查了導數(shù)與單調性及函數(shù)性質在零點個數(shù)判斷中的應用，體現(xiàn)了分類討論思想的應用，屬于中檔題．
17．（15分）如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，，，為的中點，，，．
（1）證明：；
（2）若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
【分析】（1）由余弦定理可得，由勾股定理得，再由，得平面，，從而四邊形為平行四邊形，，，由此能證明．
（2）推導出平面，取中點，連接，設，由多面體的體積，求出，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面夾角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：在中，由余弦定理可得，
，，，
，平面，又平面，，
四邊形為平行四邊形，
，又，
，即．
（2），，平面，
取中點，連接，設，
設多面體的體積為，
則．
解得．
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，2，，，1，，，，，，0，，
．
則平面的一個法向量，
，1，，，0，，
設平面的一個法向量，
則，取，得，
所以．
所以平面與平面夾角的余弦值為．
【點評】本題考查直角的證明、二面角的余弦值等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
18．（17分）已知，是橢圓的左，右頂點，點，與橢圓上的點的距離的最小值為1．
（1）求點的坐標．
（2）過點作直線交橢圓于，兩點（與，不重合），連接，交于點．
（?。┳C明：點在定直線上；
（ⅱ）是否存在點使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）設，是橢圓上一點，則，由兩點之間的距離公式可得，，分情況討論，解得，即可得出答案．
（2）（?。┰O直線的方程為，，，，，聯(lián)立橢圓的方程，結合韋達定理可得①，寫出直線、的方程，進而可得答案．
（ⅱ）由圖知，，即，則點在以為直徑的圓上，設，，則，解得，寫出直線的方程，聯(lián)立橢圓的方程，解得，進而可得答案．
【解答】解：（1）設，是橢圓上一點，則，
因為，，
①若，，解得（舍去），
②若，，解得（舍去）或，
所以點的坐標為．
（2）（?。┳C明：設直線的方程為，，，，，
由，得，
所以，，
所以，①
由△，得或，
直線的方程為，②
直線的方程為，③
聯(lián)立②③，消去，得④，
聯(lián)立①④，消去，則，
解得，即點在直線上．
（ⅱ）由圖知，，即，
所以點在以為直徑的圓上，
設，，則，
所以，即，，
所以直線的方程為，
直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，
解得，
所以，
所以，
所以．
【點評】本題考查直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．
19．（17分）在概率統(tǒng)計中，常常用頻率估計概率．已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計值為．
（1）若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機摸取3個球，設摸出的球為紅球的次數(shù)為，則．
注：表示當每次摸出紅球的概率為時，摸出紅球次數(shù)為的概率）
（?。┩瓿扇绫?；
（ⅱ）在統(tǒng)計理論中，把使得 的取值達到最大時的，作為的估計值，記為，請寫出的值．
（2）把（1）中“使得的取值達到最大時的作為的估計值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計．
具體步驟：先對參數(shù)構建對數(shù)似然函數(shù)，再對其關于參數(shù)求導，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計值．已知的參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計值，并且說明頻率估計概率的合理性．
【分析】（1）利用古典概型的知識，分別求出和時的分布列；將兩個分布列畫在一起，觀察，1，2，3時的概率，比較大小得解；
（2）對求導數(shù)，并求出導數(shù)的零點與頻率估計值對照即可．
【解答】解：（1）因為，所以的值為或，
表格如下：
由題知，當或1時，參數(shù)的概率最大；當或3時，參數(shù)的概率最大，
所以．
（2）對對數(shù)似然函數(shù)進行求導，，
因此似然方程為，解上面的方程，得，
因此，用最大似然估計的參數(shù)與頻率估計概率的是一致的，故用頻率估計概率是合理的．
【點評】本題考查了用古典概型的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望、排列與組合數(shù)的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/5/16 11:08:19；用戶：李超；郵箱：18853369269；學號：221900830
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