注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.
4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交，
第Ⅰ卷 選擇題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 拋物線的準線方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接求解拋物線的準線方程即可.
【詳解】拋物線的準線方程是.
故選：B.
2. 展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質知中間一項第4項二項式系數(shù)最大即可得解
【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.
故選：C
3. 設，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】解出，然后判斷即可
【詳解】因為，
所以
由為的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件
故選：B.
4. 若實數(shù)，滿足，且.則下列四個數(shù)中最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式的性質比較大小即可.
【詳解】由題知：，且，所以，，故排除D.
因為，故排除A.
因為，故排除C.
故選：B
5. 袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球，有放回地從中任取一個小球，直到紅、黃兩個小球都取到才停止，用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個小球，利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】數(shù)出滿足條件的組數(shù)，即可求解.
【詳解】18組隨機數(shù)中，滿足條件的有221，132，112，241，142，這5組數(shù)據(jù)滿足條件，
所以估計恰好抽取三次就停止的概率.
故選：D
6. 已知兩個等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（ ）
A. 1678B. 1666C. 1472D. 1460
【答案】B
【解析】
【分析】求出新數(shù)列的公差，確定新數(shù)列的項數(shù)，利用前項和公式求解即可.
【詳解】第一個數(shù)列的公差為4，第二個數(shù)列的公差為6，
故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，
則新數(shù)列的公差為12，首項為2，
其通項公式為，
令，得，
故，
則，
故選：B.
7. 已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，且，，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把三棱錐補成一個長方體，得到長方體的外接球即是三棱錐的外接球，結合長方體的對角線長，求得外接球的半徑，結合球的表面積公式，即可求解.
【詳解】三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，，
且，，
把三棱錐補成一個長方體，如圖所示：
所以長方體的外接球即是三棱錐的外接球，
因為，，可得長方體的外接球的半徑為，
所以球的表面積為，
故選：D．
8. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依題意，在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)可得實數(shù)a的最大值.
【詳解】由題意，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，
所以在區(qū)間上恒成立，即，
令，則，
又，所以，所以在為減函數(shù)，
所以，
所以，即實數(shù)a最大值是.
故選：C
二.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 某校高三年級選考生物科的學生共1000名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分數(shù)轉換為等級分，已知等級分的分數(shù)轉換區(qū)間為，若等級分，則（ ）
參考數(shù)據(jù)：；；.
A. 這次考試等級分的標準差為25
B. 這次考試等級分超過80分的約有450人
C. 這次考試等級分在內的人數(shù)約為997
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由，則 ，根據(jù)正態(tài)分布的性質，結合題中給出的概率公式，對每一選項進行分析，可得答案.
【詳解】對于A，由題設，均值，方差，所以標準差為5，故A錯誤；
對于B，，所以人，故B錯誤；
對于C，，
則人，故C正確；
對于D，
故D正確．
故選：CD.
10. 如圖，函數(shù)的部分圖象與坐標軸分別交于點、、，且的面積為，則（ ）
A. 點的縱坐標為1
B. 在上單調遞增
C. 點是圖象的一個對稱中心
D. 的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將圖象向左平移個單位得到
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先根據(jù)周期，以及條件求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質判斷BC，以及根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律判斷D.
【詳解】對于A，由周期可知，，所以，
則，即點的縱坐標為1，故A正確；
即，且，
所以，即，
對于B，當時，，
所以在上單調遞增，故B正確；
對于C，，所以點是圖象的一個對稱中心，故C正確；
對于D，將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），
得，再將圖象向左平移個單位得，故D錯誤.
故選：ABC
11. 用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，也即圓錐曲線.探究發(fā)現(xiàn)：當圓錐軸截面的頂角為時，若截面與軸所成的角為，則截口曲線的離心率.例如，當時，，由此知截口曲線是拋物線.如圖，圓錐中，、分別為、的中點，、為底面的兩條直徑，且、，.現(xiàn)用平面（不過圓錐頂點）截該圓錐，則（ ）
A. 若，則截口曲線為圓
B. 若與所成的角為，則截口曲線為橢圓或橢圓的一部分
C. 若，則截口曲線為拋物線的一部分
D. 若截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)情境，由題可知，再對每個選項，求出過點的平面與旋轉軸所成角的余弦，即的值，代入求值，從而利用離心率的范圍判斷截口曲線類型即可．
【詳解】對于A，由題意知過MN的平面與底面不平行，則截口曲線不為圓，故A錯誤；
對于B，與所成的角為，所以，
因為，所以，即，
所以，所以平面截該圓錐得的截口曲線為橢圓或橢圓的一部分，
故B正確；
對于C，因為平面，平面，所以，
因為，，SOD，
所以平面SOD，又因為平面SOD，所以
又為、的中點，所以，
平面MAB，
所以平面MAB，所以與SO所成的角為，
所以，，故C正確；
對于D， 截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，
則，
所以平面，故平面不經(jīng)過原點O，故D正確．
故選：BCD
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是理解截口曲線（圓錐曲線）的離心率的定義，根據(jù)情境，由題可知，再對每個選項，求出過點的平面與旋轉軸所成角的余弦，即的值，代入求值，從而利用離心率的范圍判斷截口曲線類型即可．
第Ⅱ卷 非選擇題
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.第14題第一空2分，第二空3分.
12. 寫出一個滿足，且的復數(shù)，________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設，結合復數(shù)的運算可得或，即可得到結果.
【詳解】設，，因為，
所以，，
由，解得或，
則（答案不唯一）.
故答案為：（答案不唯一）.
13. 已知直線x+y=a與圓交于A?B兩點，且，其中O為坐標原點，則實數(shù)a的值為________.
【答案】
【解析】
【分析】由結合向量加減法的意義可得為等腰直角三角形，再經(jīng)計算得解.
【詳解】因，由向量加法和減法的幾何意義知，以線段OA，OB為一組鄰邊的平行四邊形兩條對角線長相等，
從而這個平行四邊形是矩形，即，又，則是等腰直角三角形，于是點O到直線AB距離為，
所以，即.
故答案為：
14. 已知數(shù)列：0，2，0，2，0，現(xiàn)按規(guī)則：每個0都變?yōu)椤?，0，2”，每個2都變?yōu)椤?，2，0”對該數(shù)列進行變換，得到一個新數(shù)列，記數(shù)列，，則數(shù)列的項數(shù)為________，設的所有項的和為，則________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，分析出數(shù)列的項數(shù)成等比數(shù)列可求出數(shù)列的項數(shù)；根據(jù)變換規(guī)則，得出數(shù)列中與個數(shù)的規(guī)律，結合數(shù)列項數(shù)，即可求出的所有項的和，繼而求得.
【詳解】因為共5項，在f作用下，每個項都變?yōu)?個項，
所以的項數(shù)是首項為5，公比為3的等比數(shù)列，所以的項數(shù)為
根據(jù)變換規(guī)則，若數(shù)列的各項中，與0的個數(shù)相同，
則與之相鄰的下一個數(shù)列中與0的個數(shù)也相同；
若比0多個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比0的個數(shù)少個；
若比0少個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比0的個數(shù)多個；
因為中有項，其中個，個0，比0少個，
所以的項中，比0的個數(shù)多個；
以此類推，若為奇數(shù)，則數(shù)列的各項中比0少個，
若為偶數(shù)，則數(shù)列的各項中比0多個；
所以數(shù)列中2比0多1個，所以
故答案為：；.
【點睛】方法點睛：學生在理解相關新概念、新法則 (公式)之后，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質.主要是將新性質應用在“舊”性質上，創(chuàng)造性地證明更新的性質，落腳點仍然是數(shù)列求通項或求和.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 中，內角、、的對邊分別為、、.
（1）若，，求的值；
（2）求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意由正弦定理的邊角互化，結合余弦定理代入計算，即可得到結果；
（2）根據(jù)題意，先由正弦定理的邊角互化進行化簡，再由余弦定理公式代入計算，即可證明.
【小問1詳解】
因為，
所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以，
整理可得，所以.
【小問2詳解】
證明：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以.
16. 設是由滿足下列條件的函數(shù)構成的集合：①方程有實根；②在定義域區(qū)間上可導，且滿足.
（1）判斷，是否是集合中的元素，并說明理由；
（2）設函數(shù)為集合中的任意一個元素，證明：對其定義域區(qū)間中的任意、，都有.
【答案】（1），理由見解析；
（2）見解析.
【解析】
分析】（1）驗證分別滿足題中①②兩個條件即可判斷；
（2）不妨設，令，是單調遞減函數(shù)，得，證得結論.
【小問1詳解】

當時，，滿足條件②；
令，
則，
在上存在零點，
即方程有實數(shù)根，滿足條件①，
綜上可知，
【小問2詳解】
不妨設
在D上單調遞增，
，即①
令
則，在D上單調遞減，
，即，②
由①②得：
17. 2023年，我國新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過60%，中國成為世界第一大汽車出口國.某汽車城統(tǒng)計新能源汽車從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)與銷售總量（單位：輛），采集了一組共20對數(shù)據(jù)，并計算得到回歸方程，且這組數(shù)據(jù)中，連續(xù)的營業(yè)天數(shù)的方差，銷售總量的方差.
（1）求樣本相關系數(shù)，并刻畫與的相關程度；
（2）在這組數(shù)據(jù)中，若連續(xù)的營業(yè)天數(shù)滿足，試推算銷售總量的平均數(shù).
附：經(jīng)驗回歸方程，其中，.
樣本相關系數(shù)，.
【答案】（1），正相關且相關程度很強
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相關系數(shù)與的公式推導出，代入數(shù)據(jù)計算可得；
（2）由方差公式及求出，再根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點計算可得.
【小問1詳解】
因，
，
可以推斷連續(xù)的營業(yè)天數(shù)與銷售總量這兩個變量正線性相關，且相關程度很強．
【小問2詳解】
，
（負值已舍去），
而，從而.
18. 如圖，矩形中，，.、、、分別是矩形四條邊的中點，設，.
（1）證明：直線與的交點在橢圓：上；
（2）已知為過橢圓的右焦點的弦，直線與橢圓的另一交點為，若，試判斷、、是否成等比數(shù)列，請說明理由.
【答案】（1）見解析 （2）、、成等比數(shù)列，證明見解析.
【解析】
【分析】（1）設，分別表示出直線的方程和直線的方程，兩式相乘化簡即可得出答案；
（2）設直線的方程為，直線MO的方程為分別與橢圓的方程聯(lián)立由韋達定理求出，可證得即可判斷、、成等比數(shù)列.
【小問1詳解】
設，依題意，，，，，
則直線的方程為，①
直線的方程為，②
①×②得：即
故直線與交點M在橢圓上；
【小問2詳解】
依題意，直線的斜率均不為零，故設直線PO的方程為，
直線MO的方程為
由得：

由得


即成等比數(shù)列.
19. 日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，比如月餅盒.烘焙店在售賣月餅時，為美觀起見，通常會用彩繩對月餅盒做一個捆扎，常見的捆扎方式有兩種，如圖（A）、（B）所示，并配上花結.
圖（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.
（1）若，記點關于平面的對稱點為，點關于直線的對稱點為.
（?。┣缶€段的長；
（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.
（2）據(jù)烘焙店的店員說，圖（A）這樣的捆扎不僅漂亮，而且比圖（B）的十字捆扎更節(jié)省彩繩.你同意這種說法嗎？請給出你的理由.（注意，此時、、、、、、、這8條線段可能長短不一）
【答案】（1）（?。á、。?
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）以為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為可求出點H到平面的距離，即可求出；（ⅱ）求出直線的方向向量與平面ABCD的法向量，由線面角的向量公式即可得出答案.
（2）分別求出圖(A)和圖(B)中彩繩長度的最小值，比較它們的大小即可得出答案.
【小問1詳解】
（ⅰ）如圖，以為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，
，，
設平面的法向量為
則有，取得
點H到平面的距離
，線段的長為
（ⅱ）設為的中點，則且
，

由（?。┲?

又為平面ABCD的法向量，

直線與平面ABCD所成角的正弦值為.
【小問2詳解】
如圖所示，
對于圖(A)，沿彩繩展開正四棱柱，則彩繩長度的最小值，如下圖，
最小值為，
對于圖(B)，彩繩長度的最小值為，
因為，所以店員的說法是正確的．
（也可以不計算，由三角形兩邊之和大于第三邊直觀給出答案）
【點睛】方法點睛：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：
（1）立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；
（2）對于線面位置關系的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論，則否定假設；
（3）對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.

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