1．
【答案】
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式、銳角三角函數(shù)值、負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算后，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：原式．
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確求解零指數(shù)冪、二次根式、銳角三角函數(shù)值、負(fù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．
2．請(qǐng)回答下列問(wèn)題．
（1）計(jì)算．
（2）化簡(jiǎn)計(jì)算：，其中．
【答案】（1）． （2）；．
【分析】（1）根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再代入條件求值即可．
【詳解】（1）原式
．
（2）原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式．
【點(diǎn)睛】本題考查整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，以及分式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，熟練掌握運(yùn)算法則以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
3．計(jì)算：．
【答案】
【分析】先進(jìn)行特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算、零指數(shù)冪運(yùn)算、化簡(jiǎn)二次根式、絕對(duì)值運(yùn)算，再合并即可解答．
【詳解】原式＝
＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、化簡(jiǎn)二次根式、絕對(duì)值等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．
4．計(jì)算：
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的乘方，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：
5．計(jì)算：．
【答案】
【分析】先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、將特殊角的三角函數(shù)值代入、化簡(jiǎn)二次根式及化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再按照實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、化最簡(jiǎn)二次根式、化簡(jiǎn)絕對(duì)值和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．熟記特殊角的三角函數(shù)值并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
6．計(jì)算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
（1）首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值及絕對(duì)值，然后計(jì)算加減法即可．
（2）首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值及二次根式，然后計(jì)算加減法即可．
【詳解】（1）原式
（2）原式
7．先化簡(jiǎn)，再求值：其中
【答案】，
【分析】利用分式的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．
【詳解】解：原式
=
將代入得原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
8．先化簡(jiǎn)：，再?gòu)闹羞x擇一個(gè)合適的整數(shù)代入求值．
【答案】，
【分析】原式先將小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的，最后根據(jù)分式有意義的條件選取合適的的值代入求值即可．
【詳解】
，
，，
且，
當(dāng)時(shí)，
原式．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，理解分式有意義的條件，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．
9．（1）計(jì)算：；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】（1）1；（2）2（x+5），
【分析】（1）先分別計(jì)算零指數(shù)冪，代入三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，在計(jì)算加減法；
（2）先計(jì)算括號(hào)中的異分母分式加減法，將除法化為乘法，再約分化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）
=
=1；
（2）原式=
=
=2（x+5），
當(dāng)時(shí)，原式=．
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的化簡(jiǎn)求值，以及零指數(shù)冪定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪定義，特殊三角函數(shù)值，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
10．先化簡(jiǎn)：，然后在1，2，3中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)代入求值．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由分式有意義的條件求得x的取值范圍，再選合適的值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：，
，
∵，，
∴，且，
當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算及乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
11．先化簡(jiǎn)，再求值，其中
【答案】
【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解．
【詳解】解：原式

，
當(dāng)時(shí)，原式
【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，分母有理化，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行求解．
12．先化簡(jiǎn)，再求值：，請(qǐng)從不等式組的整數(shù)解中選擇一個(gè)合適的值代入求值．
【答案】；；
【分析】先把分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出不等式組的解集，取x＝1，代入求出答案即可．
【詳解】解：
＝
＝
＝，
解不等式組得：﹣2≤x≤2，
取不等式組的整數(shù)解x＝1，代入分式得：
原式＝＝＝．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值和不等式組的解集，熟練掌握分式的加減乘除運(yùn)算法則是關(guān)鍵，注意選擇數(shù)值代入時(shí)，要保證原分式的分母不為0，“除化乘”時(shí)引入的分母也不為0．
13．某工廠進(jìn)行廠長(zhǎng)選拔，從中抽出一部分人進(jìn)行篩選，其中有“優(yōu)秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查總?cè)藬?shù)為 ，“合格”人數(shù)的百分比為 ．
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為 ．
(4)在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為 ．
【答案】(1)50人，；
(2)見(jiàn)解析
(3)
(4)
【分析】（1）由優(yōu)秀人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，根據(jù)百分比之和為1可得合格人數(shù)所占百分比；
（2）總?cè)藬?shù)乘以不合格人數(shù)所占百分比求出其人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；
（3）用乘以樣本中“不合格人數(shù)”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】（1）解：本次抽查的總?cè)藬?shù)為（人，
“合格”人數(shù)的百分比為，
故答案為：50人，；
（2）解：不合格的人數(shù)為：；
補(bǔ)全圖形如下：
（3）解：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格”人數(shù)的度數(shù)為，
故答案為：；
（4）解：列表如下：
由表知，共有6種等可能結(jié)果，其中剛好抽中甲乙兩人的有2種結(jié)果，
所以剛好抽中甲乙兩人的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率、扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖的關(guān)聯(lián)，讀懂統(tǒng)計(jì)圖中的信息、畫(huà)出樹(shù)狀圖或列表是解題的關(guān)鍵．
14．某中學(xué)計(jì)劃根據(jù)學(xué)生的興趣愛(ài)好組建課外興趣小組，并隨機(jī)抽取了部分同學(xué)的興趣愛(ài)好進(jìn)行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩幅統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，完成下列問(wèn)題：
(1)學(xué)校這次調(diào)查共抽取了_________名學(xué)生；
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖，“圍棋”所在扇形的圓心角度數(shù)為_(kāi)________；
(4)設(shè)該校共有學(xué)生1000名，請(qǐng)你估計(jì)該校有多少名學(xué)生喜歡足球．
【答案】(1)
(2)圖見(jiàn)解析
(3)
(4)估計(jì)該校喜歡舞蹈的學(xué)生人數(shù)為名
【分析】（1）用“圍棋”的人數(shù)除以其所占百分比，計(jì)算即可得出答案；
（2）首先計(jì)算出“書(shū)法”人數(shù)所占百分比，再用總?cè)藬?shù)乘以“書(shū)法”人數(shù)所占百分比求得其人數(shù)，據(jù)此即可補(bǔ)全圖形；
（3）用乘以“圍棋”人數(shù)所占百分比即可得；
（4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中“足球”人數(shù)所占百分比可得．
【詳解】（1）解：（名），
∴學(xué)校這次調(diào)查共抽取了名；
故答案為：
（2）解：，
“書(shū)法”的人數(shù)為（名），
補(bǔ)全圖形如下：
（3）解：在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“圍棋”所在扇形的圓心角度數(shù)為．
故答案為：；
（4）解：（名），
∴估計(jì)該校喜歡舞蹈的學(xué)生人數(shù)為名．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小．也考查了用樣本估計(jì)總體的思想．
15．為了迎接2019年中考，某中學(xué)對(duì)全校九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)模擬考試，并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的測(cè)試成績(jī)作為樣本進(jìn)行分析，繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題；

（1）本次調(diào)查中共抽查了______名學(xué)生，扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示成績(jī)類別為“優(yōu)”的扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角是______度；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該中學(xué)九年級(jí)共有學(xué)生520人，請(qǐng)你估計(jì)該校九年級(jí)約有多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可以達(dá)到優(yōu)秀？
【答案】（1）50，72；（2）補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；見(jiàn)解析；（3）該校九年級(jí)約有104名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可以達(dá)到優(yōu)秀．
【分析】（1）根據(jù)良好的學(xué)生數(shù)和所占的百分比可以求得本次調(diào)查的學(xué)生數(shù)和扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示成績(jī)類別為“優(yōu)”的扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以求得成績(jī)?yōu)椤爸小钡膶W(xué)生數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以求得該校九年級(jí)約有多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可以達(dá)到優(yōu)秀．
【詳解】（1）本次調(diào)查的學(xué)生有：22÷44%=50（名），
扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示成績(jī)類別為“優(yōu)”的扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角是：360°×=72°，
故答案為：50，72；
（2）成績(jī)?yōu)椤爸小钡膶W(xué)生有：50-10-22-8=10，
補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；

（3）520×=104（名），
答：該校九年級(jí)約有104名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可以達(dá)到優(yōu)秀．
【點(diǎn)睛】此題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
16．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年．為此，某校舉行“建黨100周年知識(shí)競(jìng)賽”，滿分為10分，學(xué)生成績(jī)均在7分以上，將成績(jī)10分、9分、8分、7分，對(duì)應(yīng)定為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)繪制如下統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）學(xué)校隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)為；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）學(xué)校抽取學(xué)生“建黨100周年知識(shí)競(jìng)賽”的平均成績(jī)是多少？
（4）如果該校共有學(xué)生3200人，且規(guī)定等級(jí)為A，B，C的為優(yōu)秀，則該校學(xué)生“建黨100周年知識(shí)競(jìng)賽”成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的有多少人？
【答案】（1）40人；（2）見(jiàn)解析；（3）分；（4）2560人
【分析】（1）由等級(jí)的頻數(shù)為除以它的頻率即可得到答案；
（2）先求解C等級(jí)的人數(shù)為：人，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；
（3）先求總得分，再利用總得分除以總?cè)藬?shù)即可得到答案；
（4）利用總體的總?cè)藬?shù)乘以成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生的頻率可得答案．
【詳解】解：（1）由等級(jí)的頻數(shù)為頻率為
所以學(xué)校隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)為：（人），
故答案為：40人
（2）C等級(jí)的人數(shù)為40－（4＋16＋8）＝12，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：
（3）學(xué)校抽取學(xué)生“建黨100周年知識(shí)競(jìng)賽”的平均成績(jī)是：
（分）
（4）
答：該校學(xué)生“建黨100周年知識(shí)競(jìng)賽”成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的約有2560人．
【點(diǎn)睛】本題考查的是從條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息，利用樣本估計(jì)總體，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
17．每年夏天全國(guó)各地總有未成年人因溺水而喪失生命，令入痛心疾首．今年某中學(xué)為確保學(xué)生安全，開(kāi)展了“遠(yuǎn)離溺水，真愛(ài)生命”的防溺水安全競(jìng)賽．學(xué)校對(duì)參加比賽的學(xué)生獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)解答下列問(wèn)題．
(1)參加此安全競(jìng)賽的學(xué)生共有______人；
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
(3)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生中，1人來(lái)自七年級(jí)，1人來(lái)自八年級(jí)，2人來(lái)自九年級(jí)，學(xué)校決定從獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生中任選兩名學(xué)生參加全市防溺水安全競(jìng)賽，請(qǐng)通過(guò)列表或樹(shù)狀圖方法求所選兩名學(xué)生中，恰好是一名七年級(jí)和一名九年級(jí)學(xué)生的概率．
【答案】(1)40
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）根據(jù)特等獎(jiǎng)的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)；
（2）用總?cè)藬?shù)乘以獲得“二等獎(jiǎng)”的學(xué)生人數(shù)所占的百分比求出獲得“二等獎(jiǎng)”的學(xué)生人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖得出所有等情況數(shù)，找出恰好是1名七年級(jí)和1名九年級(jí)學(xué)生的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】（1）解：（1）參加此次有獎(jiǎng)?wù)鞲寤顒?dòng)的學(xué)生有：（人）；
故答案為；40；
（2）二等獎(jiǎng)人數(shù)為：(人)，
條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如下圖：
（3）獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生中，人來(lái)自七年級(jí)，人來(lái)自八年級(jí), 人來(lái)自九年級(jí)，用表示七年級(jí)學(xué)生，表示八年級(jí)學(xué)生，C和D表示九年級(jí)的兩名學(xué)生，樹(shù)狀圖如下，
由圖可知，共有種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中滿足恰好是一名七年級(jí)和一名九年級(jí)學(xué)生的結(jié)果有種，所以恰好是一名七年級(jí)和一名九年級(jí)的概率為，
答:兩人恰好是一名七年級(jí)和一名九年級(jí)的概率為．
18．李老師為了了解班級(jí)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的具體情況，對(duì)九（1）班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個(gè)月的跟蹤調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分成四類，A：特別好；B：好；C；一般；D：較差，并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查中，李老師一共調(diào)查了 名同學(xué)，其中女生共有 名．
（2）將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）為了共同進(jìn)步，李老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，請(qǐng)求所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率．
【答案】（1）20，11；（2）詳見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）用特別好（A）的人數(shù)÷特別好的百分?jǐn)?shù)，得出調(diào)查的學(xué)生數(shù)，根據(jù)扇形圖得出“D”類別人數(shù)及女生數(shù)，再求女生總?cè)藬?shù)；
（2）由女生數(shù)及總?cè)藬?shù)，得出男生數(shù)及“D”類別男生數(shù)，再求“C”類別女生數(shù)，補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）由計(jì)算可知，A類別1男2女，D類別1男1女，利用列表法求解．
【詳解】解：（1）調(diào)查學(xué)生數(shù)為3÷15%＝20（人），
“D”類別學(xué)生數(shù)為20×（1﹣25%﹣15%﹣50%）＝2（人），其中男生為2﹣1＝1（人），
調(diào)查女生數(shù)為20﹣1﹣4﹣3﹣1＝11（人），
故答案為20，11；
（2）補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；
（3）根據(jù)李老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，
可以將A類與D類學(xué)生分為以下幾種情況：
利用圖表可知所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率為．
【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．某學(xué)校打算購(gòu)買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價(jià)比乙種類型的要便宜1元，且用110元購(gòu)買的甲種類型的數(shù)量與用120元購(gòu)買的乙種類型的數(shù)量一樣．
(1)求甲乙兩種類型筆記本的單價(jià)．
(2)該學(xué)校打算購(gòu)買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購(gòu)買的乙的數(shù)量不超過(guò)甲的3倍，則購(gòu)買的最低費(fèi)用是多少?
【答案】(1)甲類型的筆記本單價(jià)為11元，乙類型的筆記本單價(jià)為12元
(2)最低費(fèi)用為1101元
【分析】（1）設(shè)甲類型的筆記本單價(jià)為x元，則乙類型的筆記本為元．列出方程即可解答；
（2）設(shè)甲類型筆記本購(gòu)買了a件，最低費(fèi)用為w，列出w關(guān)于a的函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）設(shè)甲類型的筆記本單價(jià)為x元，則乙類型的筆記本為元．
由題意得：
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，且符合題意．
∴乙類型的筆記本單價(jià)為：（元）．
答：甲類型的筆記本單價(jià)為11元，乙類型的筆記本單價(jià)為12元．
（2）設(shè)甲類型筆記本購(gòu)買了a件，最低費(fèi)用為w，則乙類型筆記本購(gòu)買了件．
由題意得：．
∴．
．
∵，
∴當(dāng)a越大時(shí)w越?。?br>∴當(dāng)時(shí)，w最小，最小值為（元）．
答：最低費(fèi)用為1101元．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握分式方程的應(yīng)用，以及一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
20．在校園手工制作活動(dòng)中，甲、乙兩人接到手工制作紙花任務(wù)，已知甲每小時(shí)制作紙花比乙每小時(shí)制作紙花少20朵，甲制作120朵紙花的時(shí)間與乙制作160朵紙花的時(shí)間相同
(1)求甲、乙兩人每小時(shí)各制作紙花多少朵？
(2)本次活動(dòng)學(xué)校需要該種紙花不少于350朵，若由甲、乙兩人共同制作，則至少需要幾小時(shí)完成任務(wù)？
【答案】(1)甲每小時(shí)制作紙花60朵，每小時(shí)制作紙花80朵；(2)至少需要2.5小時(shí)完成任務(wù).
【分析】（1）根據(jù)“甲制作120朵紙花的時(shí)間與乙制作160朵紙花的時(shí)間相同”列方程求解即可；
（2）根據(jù)“不少于350朵”列出不等式求解即可.
【詳解】(1)設(shè)乙每小時(shí)制作紙花朵，根據(jù)題意，得

解得x=80
經(jīng)檢驗(yàn)，x=80 是原方程的解.
，
∴甲每小時(shí)制作紙花60朵，每小時(shí)制作紙花80朵.
(2)設(shè)需要小時(shí)完成任務(wù)，根據(jù)題意，得

解得y≥2.5
∴至少需要2.5小時(shí)完成任務(wù).
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
21．陽(yáng)春三月催新芽，植樹(shù)造林正當(dāng)時(shí)，為提升人們的環(huán)保意識(shí)，傳播普及“植綠、護(hù)綠、愛(ài)綠”的生態(tài)文明意識(shí)，同時(shí)又為大家創(chuàng)造親身體驗(yàn)勞動(dòng)的樂(lè)趣，感受美化環(huán)境的意義．開(kāi)心農(nóng)場(chǎng)在3月初推出了植樹(shù)活動(dòng)．農(nóng)場(chǎng)購(gòu)入甲、乙兩種樹(shù)苗，購(gòu)買甲種樹(shù)苗花費(fèi)了4000元，購(gòu)買乙種樹(shù)苗花費(fèi)了5400元，已知購(gòu)買一棵甲種樹(shù)苗比購(gòu)買一棵乙種樹(shù)苗多花4元，且購(gòu)買的乙種樹(shù)苗的數(shù)量是購(gòu)買的甲種樹(shù)苗的數(shù)量的1.5倍．
（1）求購(gòu)買一棵甲種樹(shù)苗、一棵乙種樹(shù)苗各需要多少元？
（2）適逢植樹(shù)節(jié)在周末，且天氣晴好，不斷有客戶預(yù)約參加植樹(shù)活動(dòng)，于是農(nóng)場(chǎng)決定第二次購(gòu)入甲、乙兩種樹(shù)苗共300棵．在第二次購(gòu)買中，一棵甲種樹(shù)苗的價(jià)格比第一次購(gòu)買時(shí)的價(jià)格降低了12.5%，一棵乙種樹(shù)苗的價(jià)格比第一次購(gòu)買時(shí)的價(jià)格減少了4元．如果第二次購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗的總費(fèi)用不超過(guò)10000元，那么該農(nóng)場(chǎng)第二次最多可購(gòu)買甲種樹(shù)苗多少棵？
【答案】（1）購(gòu)買一棵甲種樹(shù)苗需要40元，購(gòu)買一棵乙種樹(shù)苗需要36元；（2）該農(nóng)場(chǎng)第二次最多可購(gòu)買甲種樹(shù)苗133棵．
【分析】（1）設(shè)購(gòu)買一棵乙種樹(shù)苗需要x元，則購(gòu)買一棵甲種樹(shù)苗需要(x＋4)元，根據(jù)“購(gòu)買的乙種樹(shù)苗的數(shù)量是購(gòu)買的甲種樹(shù)苗的數(shù)量的1.5倍”，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)設(shè)該農(nóng)場(chǎng)第二次購(gòu)買甲種樹(shù)苗y棵，則購(gòu)買乙種樹(shù)苗（300－y）棵，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總費(fèi)用不超過(guò)10000元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)購(gòu)買一棵乙種樹(shù)苗需要x元，則購(gòu)買一棵甲種樹(shù)苗需要(x＋4)元，
由題意，得：，
解得：x＝36，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝36是原方程的解，
∴x＋4＝40，
答：購(gòu)買一棵甲種樹(shù)苗需要40元，購(gòu)買一棵乙種樹(shù)苗需要36元；
（2）40×（1－12.5%）＝35（元），
36－4＝32（元），
設(shè)該農(nóng)場(chǎng)第二次可購(gòu)買甲種樹(shù)苗y棵，
由題意，得：35y＋32（300－y）≤10000，
解得：y≤，
∴y的最大整數(shù)值為133，
答：該農(nóng)場(chǎng)第二次最多可購(gòu)買甲種樹(shù)苗133棵．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
22．某花卉市場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種盆栽共120盒，這兩種盆栽的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示：
(1)已知用1200元全部購(gòu)進(jìn)A種盆載的數(shù)量比用1200元全部購(gòu)進(jìn)B種盆栽的數(shù)量多10盆，求x的值；
(2)花卉市場(chǎng)規(guī)定B種盆栽的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A種盆栽進(jìn)貨數(shù)量的3倍，應(yīng)該怎樣制定方案使花卉市場(chǎng)在銷售完這兩種盆載后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？
【答案】(1)的值為40
(2)購(gòu)進(jìn)中盆栽30盞，購(gòu)進(jìn)種盆栽90臺(tái)時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，最大值為2250元
【分析】（1）由題意：用1200元全部購(gòu)進(jìn)A種盆載的數(shù)量比用1200元全部購(gòu)進(jìn)B種盆栽的數(shù)量多10盆，列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種盆栽a盆，則購(gòu)進(jìn)B種盆栽（120-a）盆，銷售利潤(rùn)w元，由題意：B種盆栽的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A種盆栽進(jìn)貨數(shù)量的3倍，列出一元一次不等式，解得a≥30，再由題意得w=-5a+2400，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：x=40，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解，且符合題意，
答：x的值為40；
（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種盆栽a盆，則購(gòu)進(jìn)B種盆栽（120-a）盆，銷售利潤(rùn)w元，
由題意得：120-a≤3a，
解得：a≥30，
由（1）可知，1.5x=1.5×40=60，
由題意得：w=（55-40）a+（80-60）（120-a）=-5a+2400，
∵-5＜0，
∴w隨著a的增大而減小，
當(dāng)a=30時(shí)，w最大=-5×30+2400=2250，
此時(shí)120-a=90，
答：購(gòu)進(jìn)A種盆栽30盆，購(gòu)進(jìn)B種盆栽90盆時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2250元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23．崇陽(yáng)縣白霓鎮(zhèn)回頭嶺村近年大力打造鄉(xiāng)村旅游文化品牌，農(nóng)村特色美食、農(nóng)家樂(lè)、采摘園、觀光養(yǎng)殖場(chǎng)等初具規(guī)模，2021年僅桑葚采摘園收入6萬(wàn)元，2022年桑葚產(chǎn)量比2021年增加了1000千克，且每千克價(jià)格比2021年上漲了3元，故收入比2021年提高了．已知2021年每千克價(jià)格不低于14元
(1)求2022年桑葚每千克的價(jià)格；
(2)村委會(huì)計(jì)劃擴(kuò)大桑葚采摘園的規(guī)模，將今年收入的投入擴(kuò)建，已知新建采摘園每畝資金不低于1200元，那么最多可以將桑葚采摘園的面積擴(kuò)大多少？
【答案】(1)2022年桑葚每千克的價(jià)格為18元；
(2)最多可以將桑葚采摘園的面積擴(kuò)大畝．
【分析】（1）設(shè)2022年桑葚每千克的價(jià)格為x元，根據(jù)題意列得分式方程，解方程即可得解；
（2）設(shè)可以將桑葚采摘園的面積擴(kuò)大m畝，新建采摘園每畝資金為t元，求得m關(guān)于t的反比例函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)2022年桑葚每千克的價(jià)格為x元，則2021年桑葚每千克的價(jià)格為元，2021年桑葚產(chǎn)量為千克，2022年桑葚產(chǎn)量為千克，
由題意得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，，都是分式方程的解，
∵2021年每千克價(jià)格不低于14元，
∴，
∴，
∴應(yīng)舍去，只取，
答：2022年桑葚每千克的價(jià)格為18元；
（2）解：設(shè)可以將桑葚采摘園的面積擴(kuò)大m畝，新建采摘園每畝資金為t元，
則，其中，
∵m是t的反比例函數(shù)，且，
∴m隨t的增大而減少，
∴當(dāng)時(shí)，m有最大值，最大值為，
答：最多可以將桑葚采摘園的面積擴(kuò)大畝．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程或函數(shù)關(guān)系式．
24．為感受數(shù)學(xué)的魅力，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，某校開(kāi)展了首屆校園數(shù)學(xué)節(jié)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)“學(xué)數(shù)學(xué)其樂(lè)無(wú)窮，用數(shù)學(xué)無(wú)處不在，愛(ài)數(shù)學(xué)終身受益”．現(xiàn)年級(jí)決定購(gòu)買A、B兩種禮品獎(jiǎng)勵(lì)在此次數(shù)學(xué)活動(dòng)中的優(yōu)秀學(xué)生，已知A種禮品的單價(jià)比B種禮品的單價(jià)便宜3元，用3600元購(gòu)買A種禮品的數(shù)量是用1350元購(gòu)買B種禮品的數(shù)量的4倍．
(1)求A種禮品的單價(jià)；
(2)根據(jù)需要，年級(jí)組準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種禮品共150件，其中購(gòu)買A種禮品的數(shù)量不超過(guò)B種禮品的3倍．設(shè)購(gòu)買A種禮品m件，所需經(jīng)費(fèi)為w元，試寫(xiě)出w與m的函數(shù)關(guān)系式，并求所需的最少經(jīng)費(fèi)．
【答案】(1)A種禮品的單價(jià)為6元
(2)w＝﹣3m+1350，所需的最少經(jīng)費(fèi)為1014元
【分析】（1）設(shè)A種筆記本的單價(jià)為x元，則B種筆記本的單價(jià)為（x+3）元，根據(jù)“用3600元購(gòu)買A種禮品的數(shù)量是用1350元購(gòu)買B種禮品的數(shù)量的4倍”列方程求解即可；
（2）根據(jù)題意得出w與m的關(guān)系式以及m的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)A種筆記本的單價(jià)為x元，則B種筆記本的單價(jià)為（x+3）元
由題意得：，
解得：x＝6，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝6是原方程的解，且符合題意．
∴A種禮品的單價(jià)為6元．
（2）解：由（1）可知，B種筆記本的單價(jià)為9元，
設(shè)購(gòu)買A種禮品m件，則購(gòu)買B種禮品（150﹣m）件，
由題意得：w＝6m+9（150﹣m）＝﹣3m+1350，
又∵﹣3＜0，
∴w隨m的增大而減小，
又∵A種禮品的數(shù)量不超過(guò)B種禮品的3倍，
∴m≤3（150﹣m），解得：m≤112．5，
∵m為整數(shù)，
∴當(dāng)m＝112時(shí)，w最小值＝1014．
答：所需的最少經(jīng)費(fèi)為1014元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確的理解題意，找出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
25．二次函數(shù)先向上平移6個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，用光滑的曲線畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系上．
(1)的值為 ；
(2)在坐標(biāo)系中畫(huà)出平移后的圖象并求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)在新的函數(shù)圖象上，且兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸的同一側(cè)，若則 （填“”或“”或“”）
【答案】(1)
(2)圖見(jiàn)解析，和
(3)或
【分析】（1）把點(diǎn)代入即可求解．
（2）根據(jù)描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象可得平移后的圖象，在根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根據(jù)新函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得：當(dāng)P，Q兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，若，則，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，若，則，進(jìn)而可求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴．
（2）平移后的圖象如圖所示：
由題意得：，
解得，
當(dāng)時(shí)，，則交點(diǎn)坐標(biāo)為：，
當(dāng)時(shí)，，則交點(diǎn)坐標(biāo)為：，
綜上所述：與的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和．
（3）由平移后的二次函數(shù)可得：對(duì)稱軸，，
∴當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨x的增大而增大，
∴當(dāng)P，Q兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，若，則，
當(dāng)P，Q兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，若，則，
綜上所述：點(diǎn)在新函數(shù)圖象上，且P，Q兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸同一側(cè)，若，則或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，理解二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
26．有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．
下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并解決相關(guān)問(wèn)題：
(1)函數(shù)的自變量的取值范圍是______；
(2)下表是與的幾組對(duì)應(yīng)值．
則的值為_(kāi)_____．
(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)．根據(jù)描出的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象；

(4)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是，結(jié)合函數(shù)的圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的其它性質(zhì)（一條即可）______．
(5)根據(jù)函數(shù)圖象，判斷方程的根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____個(gè)．
【答案】(1)
(2)
(3)見(jiàn)解析
(4)當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大（答案不唯一）
(5)，，
【分析】
（1）根據(jù)分母不為分式有意義，可得答案；
（2）將代入函數(shù)解析式計(jì)算求解；
（3）根據(jù)描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象，可得答案；
（4）根據(jù)圖象的變化趨勢(shì)，分析函數(shù)增減性；
（5）作直線，交函數(shù)圖象于，，，分別過(guò)點(diǎn)，，，作軸，軸，軸，交軸于點(diǎn)，，，根據(jù)圖象，可得答案．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
∴，
故答案為：．
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
故答案為：．
（3）解：該函數(shù)圖象如圖所示：

（4）當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；
故答案為：當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大（答案不唯一）．
（5）作直線，交函數(shù)圖象于，，，分別過(guò)點(diǎn)，，，作軸，軸，軸，交軸于點(diǎn)，，，如圖：

由圖象可得點(diǎn)，，，
∴方程的根為，，，
∴方程的根有3個(gè)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，求函數(shù)值，函數(shù)圖象的性質(zhì)，分式有意義的條件，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
27．操作與探究：已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)在如圖的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象；
(2)仔細(xì)觀察圖象，結(jié)合所學(xué)知識(shí)解答下列問(wèn)題：
①當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍是 ；
②方程的根是 （結(jié)果保留一位小數(shù)）；
③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 ；
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，直接寫(xiě)出n的取值范圍 ．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①；②或；③；④
【分析】（）利用畫(huà)函數(shù)圖象的步驟即可求解；
（）根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐一解答即可；
此題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和畫(huà)二次函數(shù)圖象，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）列表：
描點(diǎn)，連線，如圖，
（2）根據(jù)圖象可知，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍是，
故答案為：；
由得，，
方程的根可以看作是函數(shù)與x軸交點(diǎn)，
通過(guò)圖象可知函數(shù)與x軸交點(diǎn)近似為，
或，
故答案為：或；
根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，
則m的取值范圍是，
故答案為：；
根據(jù)圖象可知，
則的取值范圍是．
28．初三年級(jí)某班成立了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組，該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組對(duì)函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究，過(guò)程如下，請(qǐng)你補(bǔ)充完整．
(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是 ；
(2)①列表：下表是x，y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中 ， ；
②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)充描出點(diǎn)，；
③連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，請(qǐng)把圖像補(bǔ)充完整．
(3)下列關(guān)于該函數(shù)的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是 （ ）
A．函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形； B．當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；
C．函數(shù)值y都是非負(fù)數(shù)； D．若函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則；
(4)點(diǎn)和在函數(shù)圖像上，且，則a與b的大小關(guān)系是 ．
【答案】(1)x取任意實(shí)數(shù)
(2)①，；②見(jiàn)解析；③見(jiàn)解析
(3)B
(4)ab
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象，掌握描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象的方法，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)解析式直接可得答案；
（2）①把代入解析式可得m的值，把代入解析式可得n的值；
②根據(jù)的值描點(diǎn)即可；
③用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)即得圖象；
（3）觀察函數(shù)圖象，逐項(xiàng)判斷即可得答案；
（4）由可得，即知．
【詳解】（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是x取任意實(shí)數(shù)；
故答案為：x取任意實(shí)數(shù)；
（2）①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
故答案為：，；
②補(bǔ)充點(diǎn)如圖：
③用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，把圖象補(bǔ)充完整如圖；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知：函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，故A正確，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故B不正確，符合題意，
函數(shù)值y都是非負(fù)數(shù)；故C正確，不符合題意；
若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則；故D正確，不符合題意，
故答案為：B；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
故答案為：．
29．已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，它經(jīng)過(guò)．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中補(bǔ)全該圖象；
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，若，求的取值范圍．
【答案】(1)，見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式，再利用描點(diǎn)法補(bǔ)全該圖象即可得；
（2）分三種情況：，和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得：，
解得，
則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，
在圖中補(bǔ)全該圖象如下：
．
（2）解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的最大值為4，
當(dāng)時(shí)，，
由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，
則在內(nèi)，隨的增大而增大，
∴此時(shí)函數(shù)的最大值，最小值，
∴與不符，舍去；
②當(dāng)時(shí)，
則在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
∴此時(shí)函數(shù)的最大值，最小值，
∴，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，
則在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
∴此時(shí)函數(shù)的最大值，最小值，
∴與不符，舍去，
綜上，的取值范圍為．
30．已知是二次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．
(1)則的值為_(kāi)_____；對(duì)稱軸為_(kāi)_____．
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該圖象上點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
(3)請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的范圍為_(kāi)_____．
【答案】(1)，軸
(2)
(3)函數(shù)圖象見(jiàn)解析，
【分析】本題考查二次函數(shù)的定義以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是求二次函數(shù)的解析式．
（1）根據(jù)二次函數(shù)定義以及當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，并結(jié)合函數(shù)圖象求出的取值范圍．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得且，
解得，，
二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口向下，即，
；
二次函數(shù)為，
對(duì)稱軸為軸．
故答案為：，軸；
（2）解：把代入得，，
，
對(duì)稱軸為軸，
該圖象上點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故答案為：；
（3）解：如圖所示：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
31．一個(gè)玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點(diǎn)處有個(gè)吊燈的中點(diǎn)為

(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長(zhǎng)度．
(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓相切，為切點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為入射光線，為反射光線，求的長(zhǎng)度．
(3)如圖③，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，為反射光線交圓于點(diǎn)在從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）由，可得出為的中位線，可得出D為中點(diǎn)，即可得出的長(zhǎng)度；
（2）過(guò)N點(diǎn)作，交于點(diǎn)D，可得出為等腰直角三角形，根據(jù),可得出，設(shè)，則，根據(jù)，即可求得，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；
（3）依題意得出點(diǎn)N路徑長(zhǎng)為： ，推導(dǎo)得出，即可計(jì)算給出，即可得出答案．
【詳解】（1）∵
∴為的中位線
∴D為的中點(diǎn)
∵
∴
（2）過(guò)N點(diǎn)作，交于點(diǎn)D，
∵，
∴為等腰直角三角形，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴在中，；
（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合． 當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T，故點(diǎn)N路徑長(zhǎng)為： ．

∵．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為： ，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以上知識(shí)，并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
32．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，O為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的分別交于點(diǎn)E、F．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑；
(3)在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)5
(3)
【分析】（1）先判斷出，得出，即可得出結(jié)論；
（2）由銳角三角函數(shù)可得，即可求解；
（3）由銳角三角函數(shù)可求的長(zhǎng)，通過(guò)證明，可得，可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
則，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)D在上，
∴是的切線．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半徑為5；
（3）如圖2，連接，
、
∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，切線的判定，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
33．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？
【解決問(wèn)題】
（1）數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：
如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，可知，
∵是的外角，
∴ _______（填“＞”，“＝”或“＜”），
∴______（填“＞”，“＝”或“＜”）；
【問(wèn)題探究】
（2）如圖3，已知線段與直線，在直線上取一點(diǎn)P，作使其與直線相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另取一點(diǎn)Q，連接，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系；并說(shuō)明理由；
【問(wèn)題拓展】
（3）一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿著方向帶球跑動(dòng)，球門米，米,米，，．該球員在射門角度（）最大時(shí)射門，球員在上的何處射門？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）
【答案】（1）＜，＜（2） （3）15米
【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得即；
（2）根據(jù)(1)的解答，可判定；
（3）當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B的與相切，切點(diǎn)為M，此時(shí)切點(diǎn)位置即可射門位置．
本題考查了圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，切線性質(zhì)定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，切線性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）與相交于點(diǎn)D，連接，可知，
∵是的外角，
∴，
∴，
故答案為：＜，＜．
（2）；理由如下：
與相交于點(diǎn)D，連接，可知，
∵是的外角，
∴，
∴．
（3）當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B的與相切，切點(diǎn)為M，此時(shí)切點(diǎn)位置即可射門位置
過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
∵米
∴米，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，設(shè)，
∴，
解得，
故，
∴，
∴，
整理得：，
解得：（不合題意，舍去）
∴，
∴．
答：的長(zhǎng)度為15米．
34．（1）如圖1，已知點(diǎn)，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)是中點(diǎn)，求證．

（2）在（1）的條件下，可知在線段的垂直平分線上，若點(diǎn)，則是否有最小值？最小值為多少？
（3）如圖2，在中，為中點(diǎn)，圓過(guò)，兩點(diǎn)且分別交于點(diǎn)，連接，當(dāng)圓從過(guò)點(diǎn)變化到過(guò)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為多長(zhǎng)？

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）有最小值，最小值為；（3）當(dāng)圓從過(guò)點(diǎn)變化到過(guò)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為．
【分析】（1）連接，，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：；
（2）點(diǎn)在線段的垂直平分線上，作線段的垂直平分線交軸，軸于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，最??；
（3）利用圓和三角形的相關(guān)知識(shí)綜合分析即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，連接、,
∵，
∴為直角三角形，
∵是中點(diǎn)，
∴是斜邊上的中線，
∴,
同理，是斜邊上的中線，
∴,
∴．
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接,，
∵,為中點(diǎn)，
∴,
∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
作線段的垂直平分線交軸，軸于點(diǎn)，，當(dāng),最小，
連接，則,
∵，
∴，，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∵，
∴,
∴，即,
∴，
∵，
∴，
∵在中，
當(dāng)時(shí)，最小，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴有最小值，最小值為．
（3）解：如圖1,連接, ,延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接,，
∵,，
∴,
∴,，
∴AG// BF，
∵,
∴,
∴，
又∵是直徑,
∴,
∴,
∴,
設(shè)的半徑為,連接, ,則，
∵,,
∴,
∴，
∵,
∴,
∴,
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),如圖2所示,連接交于點(diǎn)，
由可知,
∴,
∴是的中點(diǎn)，
∵是的中點(diǎn),
∴，
設(shè),則，
在中，由勾股定理，得,
即,解得,
易得點(diǎn)在線段的垂直平分線上運(yùn)動(dòng),由圖易得,點(diǎn)到的距離為
，
同理可得,當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合,
此時(shí)易求得的半徑為,點(diǎn)到的距離為，
∴點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、全等三角形、圓的性質(zhì)、等腰三角形、三角形三邊關(guān)系、極端原理、最值求法、相似三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
35．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A，B為x軸上兩點(diǎn)，以為直徑的交y軸于C，D兩點(diǎn)，C為的中點(diǎn)，弦交y軸于點(diǎn)F，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，．
(1)求的半徑；
(2)動(dòng)點(diǎn)P在的圓周上運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)N．
①如圖1，當(dāng)平分時(shí)，求的值；
②如圖2，過(guò)點(diǎn)D作的切線交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合時(shí)，是否為定值？若是，請(qǐng)求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)5
(2)①50；②是，
【分析】（1）連接，設(shè)圓的半徑為r，在中，可得即可求的半徑；
（2）①連接和，由平分得和，進(jìn)一步得到，再根據(jù)的性質(zhì)即可求得答案；
②根據(jù)切線性質(zhì)得，則有，即有，得，由，得，進(jìn)一步得到，有，即可求得答案．
【詳解】（1）解：（1）如圖1中，連接．
∵，
∴，
設(shè)，
在中，，
∴，解得r＝5，
∴的半徑為5．
（2）①如圖2中，連接，．
∵是直徑，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②如圖3中，連接，．
∵是的切線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
則，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判斷和性質(zhì)和圓心角定理，熟練掌握三角形相似的判定，利用相似的性質(zhì)并結(jié)合圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
36．【深度閱讀】蘇格蘭哲學(xué)家托馬斯?卡萊爾（1795﹣1881）曾給出了一元二次方程的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，以為直徑作．若交x軸于點(diǎn)，，則m，n為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化簡(jiǎn)得：.同理可得
所以m，n為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【遷移運(yùn)用】（2）在圖2中的x軸上畫(huà)出以方程兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M，N．
（3）已知點(diǎn)，，以為直徑作．判斷與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，若以為直徑的圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M，N，則以點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是 ．

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）與x軸相交；見(jiàn)解析；（4）
【分析】本題屬于圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，一元二次方程的根以及勾股定理的應(yīng)用，
（1）根據(jù)勾股定理得出等式化簡(jiǎn)即可；
（2）作AB的垂直平分線交于點(diǎn)P，再以點(diǎn)P為圓心，以為直徑畫(huà)圓，圓與x軸的交點(diǎn)即為M，N點(diǎn)即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，再算出，即可得出結(jié)論；
（4）由點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)果．
解題的關(guān)鍵是對(duì)一元二次方程的幾何解法的理解和運(yùn)用．
【詳解】解：（1），，，
在中，，
，
化簡(jiǎn)得：，
故答案為：；
（2）先在坐標(biāo)系內(nèi)找到，，連接 ，分別A，B為圓心，以大于為半徑畫(huà)弧，連接兩弧的交點(diǎn)與交于點(diǎn)P，以P為圓心，以為直徑畫(huà)圓，圓與x軸的交點(diǎn)即為M，N點(diǎn)．如圖所示：

（3）由題意得：，
，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
即與x軸相交；
（4）由題意得，以為直徑的圓與交x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，
則以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是．
故答案為：．
37．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求證：
（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)且求的長(zhǎng)．
（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）的長(zhǎng)為或
【分析】（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；
（2）延長(zhǎng)，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長(zhǎng)為；
（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，同理解得，．
【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延長(zhǎng)，交于，如圖：
設(shè)，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
設(shè)，則，
，
，
，即，
解得，
的長(zhǎng)為；
（3）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，如圖：
設(shè)，，則，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分線，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
聯(lián)立①②可解得，
；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，如圖：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．
38．如圖1，在正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，連接．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)線段與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用“特殊到一般”的思想開(kāi)展了探究．
【特例分析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，小組成員經(jīng)過(guò)討論得到如下兩種思路：
（1）①在上述兩種思路中，選擇其中一種完成其相應(yīng)的第一步的證明：②寫(xiě)出線段與之間的數(shù)量關(guān)系式：______；
【深入探究】（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合時(shí)，（1）中線段與之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【拓展延伸】（3）連接，記正方形的面積為，的面積為，當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
【答案】（1）①選擇思路一，證明見(jiàn)解析；選擇思路二，證明見(jiàn)解析；②或；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）4或
【分析】（1）①選擇思路一：連接， 如圖所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等腰直角三角形 ，進(jìn)而得到，即可推出，，據(jù)此可證明；選擇思路二： 將線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再證明，即可證明；
②選擇思路一：利用相似三角形的性質(zhì)即可得到答案；選擇思路二：由全等三角形的性質(zhì)得到，過(guò)點(diǎn)H作于M， 證明四邊形是正方形，推出，進(jìn)而得到，即可得到；
（2）連接，同理可證明；得到；再由直角三角形的性質(zhì)得到，則；
（3）由于，則，進(jìn)而得到 ，故當(dāng)為直角三角形，不能作為斜邊；當(dāng)時(shí)，和共線，則E和A重合，G和D重合，由正方形的性質(zhì)可得，則；當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)B作于M，如圖：證明，設(shè)，則，，由勾股定理得，則；證明是等腰直角三角形，得到，則，
由勾股定理得，則，據(jù)此可得．
【詳解】解：（1）①選擇思路一：
證明：連接， 如圖所示，
∵四邊形是正方形
∴，，
由旋轉(zhuǎn)得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
選擇思路二：
證明：將線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，如圖所示，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∴，
∴；
②思路一：由（1）①知，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴
∴，
∴，即；
思路二：由（1）①知，
∴，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作于M，則四邊形是矩形，
又∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
綜上所述，；
（2）如圖所示，連接，
∵四邊形是正方形
∴，，
由旋轉(zhuǎn)得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴；
∵在中，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴，
∴ ，
∴；
（3）∵E在邊上，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵為直角三角形，
∴不能作為斜邊，
①當(dāng)時(shí)，
∵，
∴和共線，
∴E和A重合，G和D重合，如圖：
∴由正方形的性質(zhì)可得，
∴；
當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)B作于M，如圖：
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，F(xiàn)是中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．
39．【問(wèn)題提出】
(1)如圖1，在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)在邊上，，連接，則的面積為_(kāi)___
【問(wèn)題探究】
(2)如圖2，已知在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，若，求的面積；
【問(wèn)題解決】
(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來(lái)水搶修，需要在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開(kāi)挖一個(gè)的工作面，其中、分別在、邊上不與點(diǎn)、、重合，且，為了減少對(duì)該路段的交通擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在一個(gè)面積最小的，其最小值為平方米
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）延長(zhǎng)到使得，連接，證明，，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；
（3）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，得到，得出，過(guò)點(diǎn)作?于，作?于，則四邊形是矩形，則?，得出當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的面積最?。蛔鞯耐饨訄A，圓心為，連接，，，過(guò)點(diǎn)作?于，當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，進(jìn)而求得當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為米，然后根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵等邊的邊長(zhǎng)為，
∴，，
∴
又∵，
∴的面積為，
故答案為：．
（2）如圖所示，延長(zhǎng)到使得，連接，
四邊形是正方形，
，，
，
，，
∠，
，
，
，
又，
，
，，
又，
；
（3）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，得到，
，，
，
，
過(guò)點(diǎn)作于，作于，則四邊形是矩形，
，
，
，
當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的面積最?。?br>如圖所示，作的外接圓，圓心為，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于，
設(shè)，
，
，
，，
，
當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，
，
，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為米，
平方米
存在一個(gè)面積最小的，其最小值為平方米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
40．在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探索活動(dòng)．在矩形中，，，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為，得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．
(1)初步感知
如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，線段的長(zhǎng)度為_(kāi)__________；
(2)遷移探究
如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．求線段的長(zhǎng)度．
(3)拓展應(yīng)用
如圖③設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，在矩形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的面積存在最大值，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最大值為_(kāi)__________．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)矩形得到，結(jié)合勾股定理即可得到答案；
（2）首先證明出，得到，從而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面積最大，結(jié)合三角形三邊關(guān)系得到最大高即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，
∴，，
∵，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）∵四邊形是矩形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，
∴，，
在與中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵為邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
過(guò)A作于E，
∵點(diǎn)B到的距離小于，
∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)高最大，的面積最大如圖所示，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
41．在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，創(chuàng)新小組同學(xué)們借助三角形和菱形感受旋轉(zhuǎn)帶來(lái)圖形變化規(guī)律和性質(zhì)．
【操作探究】
(1)如圖1，已知，，將繞著直角邊中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，得到，當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)D恰好落在的斜邊上時(shí)，斜邊與 交于點(diǎn)H．

①猜想： _________
②證明：．
【問(wèn)題解決】
(2)在（1）的條件下，已知，，求的長(zhǎng)．
【拓展提升】
(3)如圖2，在菱形中，，， 將菱形繞著中點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到菱形，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)E分別恰好落在菱形的邊和對(duì)角線上時(shí)，菱形的邊與邊相交于點(diǎn) N， 請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

【答案】(1) 詳見(jiàn)解析
(2)
(3)和
【分析】（1）①由等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，得出的度數(shù)；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可推導(dǎo)出；
（2）由，利用計(jì)算出，再根據(jù)，計(jì)算出，最后計(jì)算出；
（3）當(dāng)E落在上，由推導(dǎo)出，得到F在的延長(zhǎng)線上，根據(jù)的面積等于菱形的一半，得到的長(zhǎng)度，最后算出；
當(dāng)E落在上，推導(dǎo)出E在菱形的對(duì)角線上，由，推導(dǎo)出E、M、B、N四點(diǎn)共圓，再利用和計(jì)算、，最后算出、．
【詳解】（1）①由題意可知，，
A、D、C在以G為圓心，為半徑的圓上，
，
②證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
，
．
（2），，
由勾股定理得，，
的銳角頂點(diǎn)D恰好落在的斜邊上，
，
A、D、C在以G為圓心，為半徑的圓上，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，
，
．
（3）①當(dāng)E落在上時(shí)，如圖所示，連接、、，

由M是中點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)可知，，
又
，
，
又四邊形是菱形
和在同一直線，F(xiàn)在的延長(zhǎng)線上，
由（1）①可知（已證）
，
，
菱形中，，，如圖所示，
，，，
又，
，
在中，，，
，
和菱形等底等高
，
；
②當(dāng)落在上時(shí)，如圖所示，作交于點(diǎn)

由旋轉(zhuǎn)可知，，
四邊形是菱形
，
在對(duì)角線的中點(diǎn)上，即在和的交點(diǎn)上
是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)
，
，
由旋轉(zhuǎn)可知，
、、、四點(diǎn)共圓
如下圖所示，連接和

，
，
在中，，
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、圓周角定理的性質(zhì)與應(yīng)用、四點(diǎn)共圓等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟知以上定理并能作出相應(yīng)的圖形．
42．綜合與探究．
【特例感知】
（1）如圖（a），是正方形外一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：；
【類比遷移】
（2）如圖（b），在菱形中，，，是的中點(diǎn)，將線段，分別繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，交于點(diǎn)，連接，，求四邊形的面積；
【拓展提升】
（3）如圖（c），在平行四邊形中，，，為銳角且滿足．是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，同時(shí)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)詳解
（2）
（3）6或或或18
【分析】（1）證明，從而得出；
（2）連接，作，交的延長(zhǎng)線于，作于，可證得是等邊三角形，進(jìn)而求得，可證得，從而得出，從而求得，可證得，從而，進(jìn)而求得，根據(jù)得，求得，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立坐標(biāo)系，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于，作軸，過(guò)點(diǎn)作于，作于，可求得直線的解析式為，從而設(shè)，可證得，從而，，進(jìn)而表示出的坐標(biāo)，同樣得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出和，分三種情形列方程：當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理列出方程，求得的值，進(jìn)而得出，同樣方法得出當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)的情況．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
，
，
；
（2）如圖1，
連接，作，交的延長(zhǎng)線于，作于，
四邊形是菱形，
，，
，
是等邊三角形，
，
是的中點(diǎn)，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
由得，
，
，
，
；
（3）如圖2，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立坐標(biāo)系，
作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于，作軸，過(guò)點(diǎn)作于，作于，
，
直線的解析式為，設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，即：，
，，
，即，
，
同理可得：，，
，即：，
，
當(dāng)時(shí)，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，
，
，
，
綜上所述：或18或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
甲
乙
丙
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
盆栽種類
進(jìn)價(jià)（元/盆）
售價(jià)（元/盆）
種
55
種
80
…
1
2
3
4
…
…
…
x
…
2

1

0

1

2
…
y
…
3

0
m
1
n
0

3
…
思路一
思路二
第一步
如圖2，連接，，證明；
如圖3，將線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，證明；
第二步
利用相似三角形的性質(zhì)及線段與之間的關(guān)系，得到線段與之間的數(shù)量關(guān)系．
利用全等三角形的性質(zhì)及線段與之間的關(guān)系，得到線段與之間的數(shù)量關(guān)系．
圖形表達(dá)

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