【沖刺2024】中考真題及變式題強化訓(xùn)練-解答題部分（廣東統(tǒng)考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2023廣東中考數(shù)學(xué)整體上難度偏簡單，注重基礎(chǔ)，同時又有所創(chuàng)新，靈活性相對較高。試卷內(nèi)容涵蓋了負(fù)數(shù)、軸對稱圖形、科學(xué)記數(shù)法、不等式組、一元一次方程、概率、統(tǒng)計、函數(shù)、圓周角計算、二次函數(shù)與正方形結(jié)合、平方差公式、根式乘法、反比例函數(shù)運算、相似與正方形結(jié)合、三角函數(shù)實際應(yīng)用、作邊的高（尺規(guī)作圖）、正方形的折疊、概率的實際意義
矩形和圓的綜合、正方形與一次函數(shù)結(jié)合（含四點共圓）等知識點，基礎(chǔ)占比比較合理，難度區(qū)分度又明顯，90分以上的難度不低，要求考生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和較強的解題能力。
【2024中考考情預(yù)測】
針對2023廣東真題，再結(jié)合近三年的考情，2024屆考生需多加注重基礎(chǔ)，前面6道大題盡量不丟分，注重細節(jié)，減少計算小錯誤。在此基礎(chǔ)上，提高數(shù)學(xué)分析能力，活躍數(shù)學(xué)思維，多加重視四邊形類的幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)，提高四邊形的綜合分析能力。
一、2023廣東真題第16
1．（1）計算：；
（2）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點與點，求該一次函數(shù)的表達式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先求出立方根及有理數(shù)的乘方運算，絕對值的化簡，然后計算加減法即可；
（2）將兩個點代入解析式求解即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點與點，
∴代入解析式得：，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為：．
【點睛】題目主要考查實數(shù)的混合運算及待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．
二、變式題16
2．（1）計算：；
（2）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，6）和（-4，-9），求這個函數(shù)的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)根據(jù)實數(shù)的運算法則，先算乘除，在算加減，要合并同類二次根式，計算即可，
(2)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式．
【詳解】原式
；
設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
則，
解得．
所以一次函數(shù)的解析式為．
【點睛】本題考查的是實數(shù)的運算，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟記用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
3．（1）計算：；
（2）一次函數(shù)的圖像與平行且與x軸交于點（-2,0）求解析式
【答案】（1）；（2）y=2x+4.
【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法、二次根式的化簡、零指數(shù)冪的運算性質(zhì)分別計算，再合并同類二次根式即可；
（2）由于一次函數(shù)的圖象與平行，可設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=2x+b，再把（－2,0）代入解析式可求得b的值，問題即得解決.
【詳解】解：（1）
=
=
=
=；
（2）∵一次函數(shù)的圖象與平行，
∴設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=2x+b，
把（－2,0）代入y=2x+b，得0=2×（－2）+b，解得b=4，
∴一次函數(shù)的解析式為y=2x+4.
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次根式的混合運算法則和待定系數(shù)法求解的方法是解題的關(guān)鍵.
4．（1）計算：（＋）×﹣＋；
（2）已知直線y＝kx＋b經(jīng)過（1，0），（2，3），求直線的解析式．
【答案】（1）2+4；（2）y＝3x﹣3
【分析】（1）先根據(jù)二次根式的乘法法則算乘法，再根據(jù)二次根式的加減法則算加減即可；
（2）把點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得出關(guān)于k、b的方程組，求出方程組的解即可．
【詳解】解：（1）（＋）×﹣＋
＝4+3﹣2＋
＝2+4；
（2）∵直線y＝kx＋b經(jīng)過點（1，0），（2，3），
∴代入得：，
解得：k＝3，b＝﹣3，
∴直線的解析式是y＝3x﹣3．
【點睛】本題考查二次根式的混合運算，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．（1）中熟練掌握二次根式的混合運算的運算順序和每一步的運算法則是解題關(guān)鍵；（2）中能根據(jù)題意列出二元一次方程組并正確求解是解題關(guān)鍵．
5．（1）計算：；
（2）已知一個正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點，點縱坐標(biāo)為2，求這個正比例函數(shù)的解析式．
【答案】（1）-1；（2）．
【分析】（1）利用多項式除以單項式法則和二次根式除法法則計算前半部分，將最后一個括號內(nèi)的二次根式化簡，提出公因式2，再利用平方差公式計算，最后相加即可；
（2）把P點的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出P點的橫坐標(biāo)，再把P點的坐標(biāo)代入設(shè)出的正比例函數(shù)解析式即可得出答案.
【詳解】解：（1）原式
．
（2）∵正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點，點的縱坐標(biāo)為2，
∴，解得．
∴點的坐標(biāo)為．
設(shè)正比例函數(shù)的解析式為．
∴，解得．
∴正比例函數(shù)的解析式為．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算和利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟記二次根式的運算法則和整式除法法則及平方差公式是解決（1）的關(guān)鍵，求出點P的坐標(biāo)是解決（2）的關(guān)鍵.
6．完成下列各題：
(1)計算：
(2)解方程：
(3)已知：與成正比例，且當(dāng)時，．①寫出y與x之間的函數(shù)表達式；②計算當(dāng)時，x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）先計算立方根，絕對值，零次冪，再計算加減法；
（2）先除以8，再根據(jù)立方根定義解方程即可；
（3）①設(shè)，將，代入計算求出k，即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；②將代入計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
（3）①設(shè)，
∵當(dāng)時，，
∴，
解得，，
∴，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
②當(dāng)時，，
解得．
【點睛】此題考查了學(xué)生的綜合能力，實數(shù)的混合運算，利用立方根解方程，求函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量的值，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
三、2023廣東真題第17
7．某學(xué)校開展了社會實踐活動，活動地點距離學(xué)校，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的倍，結(jié)果甲比乙早到，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
【答案】乙同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘．
【分析】設(shè)乙同學(xué)騎自行車的速度為x千米/分鐘，則甲同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘，根據(jù)時間=路程÷速度結(jié)合甲車比乙車提前10分鐘到達，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)乙同學(xué)騎自行車的速度為x千米/分鐘，則甲同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘，
根據(jù)題意得：，
解得：．
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：乙同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘．
【點睛】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，理解題意列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
四、變式題17
8．為保護耕地，某地需要退林還耕1500畝．已知甲施工隊每天退林還耕的畝數(shù)是乙施工隊的1.2倍；若單獨完成退林還耕任務(wù)，甲施工隊會比乙施工隊少用5天．求甲、乙兩隊每天完成退林還耕多少畝．
【答案】甲隊每天退林還耕60畝，乙隊每天退林還耕50畝
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意“單獨完成退林還耕任務(wù)，甲施工隊會比乙施工隊少用5天”列出方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)乙隊每天退林還耕x畝，根據(jù)題意得
．
解得．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
甲隊每天退林還耕的畝數(shù)是（畝）．
答：甲隊每天退林還耕60畝，乙隊每天退林還耕50畝．
9．某學(xué)校為鼓勵學(xué)生積極參加體育鍛煉，派王老師和李老師去購買一些籃球和排球．回校后，王老師和李老師編寫了一道題：

同學(xué)們，請求出籃球和排球的單價各是多少元？
【答案】籃球的單價為元，排球的單價為元．
【分析】設(shè)排球的單價為x元，則籃球的單價為元，根據(jù)“用元購買的排球個和用元購買的籃球個數(shù)相等”列方程，解方程并檢驗即可．
【詳解】設(shè)排球的單價為x元，則籃球的單價為元，根據(jù)題意，列方程得：
．
解得：．
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
當(dāng)時，．
答：籃球的單價為元，排球的單價為元．
【點睛】本題考查了列分式方程解決實際問題，分式方程的解法的運用，解答時根據(jù)排球和籃球的數(shù)量相等建立方程是解題的關(guān)鍵．
10．劉芳和李婷進行跳繩比賽．已知劉芳每分鐘比李婷多跳20個，劉芳跳135個所用的時間與李婷跳120個所用的時間相等．求李婷每分鐘跳繩的個數(shù)．
【答案】160個
【分析】設(shè)李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為個，則劉芳每分鐘跳繩的個數(shù)為個，根據(jù)“劉芳跳135個所用的時間與李婷跳120個所用的時間相等”建立方程，解方程即可得．
【詳解】解：設(shè)李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為個，則劉芳每分鐘跳繩的個數(shù)為個，
由題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，且符合題意，
答：李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為160個．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，并建立方程是解題關(guān)鍵．
11．小亮到某水果店買草莓．第一次花了60元．幾天后水果店搞促銷，草莓每千克降價4元，小亮花48元買到了和第一次一樣多的草莓．求小明第一次購買時草莓的單價．
【答案】20元/千克
【分析】設(shè)小明第一次購買時草莓的單價為元/千克．根據(jù)小亮花48元買到了和第一次一樣多的草莓，列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設(shè)小明第一次購買時草莓的單價為元/千克．
由題意，得．解得．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
答：小明第一次購買時草莓的單價為20元/千克．
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．
12．為有效落實雙減工作，切實做到減負(fù)提質(zhì)，很多學(xué)校決定在課后看護中增加乒乓球項目．體育用品商店得知后，第一次用600元購進乒乓球若干盒，第二次又用600元購進該款乒乓球，但這次每盒的進價是第一次進價的倍，購進數(shù)量比第一次少了30盒，求第一次每盒乒乓球的進價是多少元？
【答案】4元
【分析】設(shè)第一次每盒乒乓球的進價是x元，則第二次每盒乒乓球的進價是元，根據(jù)“第一次用600元購進乒乓球若干盒，第二次又用600元購進該款乒乓球，購進數(shù)量比第一次少了30盒，”列出方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)第一次每盒乒乓球的進價是x元，則第二次每盒乒乓球的進價是元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原分式方程的解，且符合題意，
答：第一次每盒乒乓球的進價是4元．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
五、2023廣東真題第18
13．2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂，兩臂夾角時，求A，B兩點間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)

【答案】
【分析】連接，作作于D，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知，，，在中利用求出，繼而求出即可．
【詳解】解：連接，作于D，

∵，，
∴是邊邊上的中線，也是的角平分線，
∴，，
在中，，，
∴，
∴
∴
答：A，B兩點間的距離為．
【點睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
六、變式題18
14．如圖，為了測量河流某一段的寬度，在河北岸選了一點，在河南岸選了相距100m的，兩點．現(xiàn)測得，，求這段河流的寬度（結(jié)果精確到0.1m）．
【答案】63.4m
【分析】過A作AD⊥BC于D，根據(jù)∠ABC＝60°，∠ACB＝45°即可求出BD、CD與AD關(guān)系，根據(jù)BC＝100m，可以求得AD的長度．
【詳解】解：過A作AD⊥BC于D，

在Rt△ADB中，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD?tan30°＝AD，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD＝AD，又BC＝100m，
∴BD+CD＝AD+AD＝100．
解得AD≈63.4m．
答：這段河的寬約為63.4米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)建直角三角形，利用三角函數(shù)求解．
15．已知：如圖，AB＝52m，∠DAB＝43°，∠CAB＝40°，求大樓上的避雷針CD的長．(精確到0.01m)
【答案】大樓上的避雷針CD的長約是4.86m．
【分析】在直角△ABC中，利用正切函數(shù)即可求得BC，同理可以求得BD的長，然后根據(jù)CD=BD-BC即可求解．
【詳解】在Rt△ABC中，tan∠CAB=，
∴BC=AB?tan∠CAB=52?tan40°，
同理，BD=AB?tan∠DAB=52?tan43°，
∴CD=BD-BC=52（tan43°-tan40°）≈4.86 m，
答：大樓上的避雷針CD的長約是4.86m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確利用三角函數(shù)求得BC，BD的長是關(guān)鍵．
16．圖1是一種三角車位鎖，其主體部分是由兩條長度相等的鋼條組成．當(dāng)位于頂端的小掛鎖打開時，鋼條可放入底盒中（底盒固定在地面下），此時汽車可以進入車位；當(dāng)車位鎖上鎖后，鋼條按圖1的方式立在地面上，以阻止底盤高度低于車位鎖高度的汽車進入車位．圖2是其示意圖，經(jīng)測量，鋼條，，．
(1)求車位鎖的底盒長；
(2)若一輛汽車的底盤高度為，當(dāng)車位鎖上鎖時，問這輛汽車能否進入該車位？通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】(1)的長為；
(2)不能，理由見解析．
【分析】（1）過點作于點，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出的長度即可判斷．
【詳解】（1）解：過點作于點，如下圖：
∵，
∴，
在中，，，
∴(cm)，
∴；
（2）解：在中，
∴(cm)，
∴，
∴當(dāng)車位鎖上鎖時，這輛汽車不能進入該車位．
【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
17．某縣消防大隊到某小區(qū)進行消防演習(xí)已知，圖是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖是其工作示意圖，起重臂可伸縮，且起重臂可繞點在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為轉(zhuǎn)動點A距離地面的高度為．

(1)當(dāng)起重臂長度為，張角，求云梯消防車最高點距離地面的高度；
(2)已知該小區(qū)層高為，若某居民家突發(fā)險情，請問該消防車有效救援能達到幾層？請說明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】(1)云梯消防車最高點距離地面的高度為
(2)該消防車能有效救援層
【分析】如圖所示，過點作，垂足為，可求出，在中，根據(jù)余弦的計算方法即可求出的長，由此即可求解；
當(dāng)，時，能達到最高高度，可求出的度數(shù)，在中，根據(jù)正弦的計算方法即可求出的長，由此即可求解．
【詳解】（1）如圖所示，過點作，垂足為，過點A作，垂足為，

則，，
，
，
在中，，，
，
，
云梯消防車最高點距離地面的高度為．
（2）該消防車能有效救援層，理由如下，
當(dāng)，時，能達到最高高度，
，
，
在中，，
，
，
，
該消防車能有效救援層．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
18．如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2，梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【答案】梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．
【分析】根據(jù)豎直的墻與梯子形成直角三角形，利用銳角三角函數(shù)即可求出AC的長．
【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，
∴BC=AB?sin75°
≈3×0.97=2.91
≈2.9(m)．
答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)．
七、2023廣東真題第19
19．如圖，在中，．

(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點作邊上的高；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法作圖即可，可用圓規(guī)以點D為圓心，在上找到兩個點到點D的距離相等，再分別以這兩個點為圓心，相等且大于這兩點距離的一半為半徑畫弧，再找到一個到這兩個點的距離相等的點，連接最后得到的點與點D所得線段所在的直線就是高所在的直線，據(jù)此畫圖即可；
（2）先利用度角的余弦值求出，再由計算即可．
【詳解】（1）解：依題意作圖如下，則即為所求作的高：

（2）∵，，是邊上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的長為．
【點睛】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，度角的余弦值，掌握過直線外一點作垂線的方法和度角的余弦值是解題的關(guān)鍵．
八、變式題19
20．如圖，已知鈍角△ABC．
(1)過鈍角頂點B作BD⊥AC，交AC于點D（使用直尺和圓規(guī)，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)若BC＝8，∠C＝30°，，求AB的長．
【答案】(1)圖形見解析；
(2)AB＝10．
【分析】(1)以B為圓心，任意長度為半徑作弧，交A，C于M，N兩點；然后分別以M，N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點E，連接BE交AC于D，由作圖可知，；
(2)利用銳角三角函數(shù)即可求出，再利用銳角三角函數(shù)可求出AB．
【詳解】（1）如圖，線段BD即為所求．
（2）在中，
∵BC＝8，∠C＝30°，
∴BD＝BC?sin30°＝4，
在中，，
故答案為：10．
【點睛】本題考查的是利用尺規(guī)作圖作垂線和解直角三角形，掌握垂直平分線的作法以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，在中，∠ACB為鈍角．
(1)尺規(guī)作圖：在邊AB上確定一點D，使∠ADC＝2∠B（不寫作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明字母）；
(2)在（1）的條件下，若∠B＝15°，∠ACB＝105°，CD＝3，AC＝，求的面積．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】（1）作線段BC的垂直平分線交AB于點D，連接CD，點D即為所求；
（2）根點C作CH⊥AB于點H，求出AB，CH可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，點D即為所求；
（2）解：過點C作CH⊥AB于點H．
∵點D在BC的垂直平分線上，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝30°，
∵∠ACB＝105°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝CD?tan30°＝1，
∴AD＝2AC＝2，CH＝CD＝，
∵AB＝AD+BD＝2+，
∴S△ABC＝?AB?CH＝×（2+）×＝．
【點睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解直角三角形，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
22．如圖，已知，為對角線．
（1）請用尺規(guī)作圖法，過點D作的垂線，交于點E；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若，，求點D到線段的距離．
【答案】（1）見解析；（2）點D到線段的距離是2，見解析.
【詳解】（1）解：過點D作的垂線如圖；
①任意取一點P，使該點和點D在對角線的兩側(cè)；②以點D為圓心，的長為半徑作弧，交對角線于F，G兩點；③分別以點F，G為圓心，大于的長為半徑作弧，在點P的同側(cè)交于點H；④過點D、H作直線，交于點E，直線即為所求作的垂線．
（2）解答的關(guān)鍵是：①理解點D到線段的距離是點D到線段的垂線段的長度，即為線段的長度；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出；③利用銳角三角函數(shù)求解．
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴.
由（1）知，
∴在中，，
即點D到線段的距離是2.
23．如圖，在中，已知，，．
(1)用沒有刻度的直尺和圓規(guī)過點作交的延長線于點保留作圖痕跡，不寫作法
(2)求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)過直線外的一點作直線的垂線的方法作圖即可；
（2）解直角三角形求出，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作的圖形；
（2）在中，，，
，
的面積．
【點睛】本題主要考查了基本作圖，解直角三角形，三角形面積公式，熟練掌握過直線外的一點作直線的垂線的方法是解決問題的關(guān)鍵．
24．如圖，已知，B為邊上一點．

(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：
①過點B作交邊于點C；
②以為邊作，且交于點D．
(2)若，，請利用（1）中所作的圖形求的值．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)
【分析】（1）①根據(jù)作垂線的方法進行畫圖即可；②根據(jù)線段垂直平分線的作法畫圖即可．
（2）解直角三角形求出，可得結(jié)論．
【詳解】（1）①如圖，直線即為所求作．

②如圖，射線即為所求作．

（2）由作圖可知，垂直平分線段，
∴，
∵，,
∴，，
在中，，
∴．
【點睛】本題考查作圖-基本作圖、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
九、2023廣東真題第20
25．綜合與實踐
主題：制作無蓋正方體形紙盒
素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；
步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；
(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）證明是等腰直角三角形即可.
【詳解】（1）解：
（2）證明：連接，

設(shè)小正方形邊長為1，則，，
，
為等腰直角三角形，
∵，
∴為等腰直角三角形，
，
故
【點睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
十、變式題20
26．綜合與實踐
主題：探究角，制作無蓋正方體形紙盒．
素材：兩張邊長為的正方形紙板．
步驟1：如圖1，分別將兩張正方形紙板的邊長三等分，畫出九個小方格；
步驟2：如圖2，利用第一張紙板上的格點，畫；
步驟3：如圖3，利用第二張紙板，剪去四個角上的小正方形，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．
猜想與說理：
(1)三條邊中，有______條的長度是無理數(shù)；
(2)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系：______；
(3)說明（2）中你判斷的理由．
【答案】(1)3
(2)
(3)見解析
【分析】
本題考查了無理數(shù)的定義，勾股定理，勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方；兩邊平方和等于斜邊平方的三角形是直角三角形．
（1）根據(jù)勾股定理分別求出，即可解答；
（2）根據(jù)勾股定理逆定理，得出，根據(jù)正方體的性質(zhì)，得出，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理逆定理，得出，根據(jù)正方體的性質(zhì)，得出，即說明．
【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理可得：
，
∴三條邊中，有3條的長度是無理數(shù)，
故答案為：3．
（2）解：∵，
∴，
∵該幾何體為正方體，
∴，
∴，
故答案為：．
（3）解：∵，
∴，
∵該幾何體為正方體，
∴，
∴．
27．綜合與實踐
主題：折一個長方體盒子．

素材：如圖（1）所示，一張長為，寬為的矩形硬紙板．
步驟：如圖（2）所示，把矩形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個長方體無蓋紙盒；
問題：小明設(shè)計了如圖（3）所示的裁剪方案，空白部分為裁剪下來的邊角料，其中左側(cè)兩個空白部分為正方形，右側(cè)兩個空白部分為矩形，問能否折出底面積為的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀完全相同）?如果能，請求出盒子的體積；如果不能，請說明理由．
【答案】能，
【分析】設(shè)切去的正方形的邊長為，則折成的方盒的底面為長，寬為的矩形，根據(jù)矩形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此問得解．
【詳解】解:設(shè)切去的正方形的邊長為，則折成的長方體盒子的底面長為，寬為的矩形.
由題意得：，
整理得：，
解得，）（不合題意，舍去），
，
∴盒子的體積為，
答：能折出底面積為的有蓋盒子，盒子的體積為．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
28．綜合實踐．
【問題情境】某綜合實踐小組進行廢物再利用的環(huán)保小衛(wèi)士行動．他們準(zhǔn)備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾的無蓋紙盒．
【操作探究】
（1）若準(zhǔn)備制作一個無蓋的正方體形紙盒，如圖，圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體形紙盒？
（2）如圖是小明的設(shè)計圖，把它折成無蓋正方體形紙盒后與“?！弊窒鄬Φ氖悄膫€字？
（3）如圖，有一張邊長為的正方形廢棄宣傳單，小華準(zhǔn)備將其四個角各剪去一個小正方形，折成無蓋長方體形紙盒．
①請你在圖中畫出示意圖，用實線表示剪切線，虛線表示折痕．
②若四個角各剪去了一個邊長為的小正方形，求這個紙盒的底面積和容積分別為多少？
【答案】（1）C；（2）衛(wèi)；（3）①見解析；②紙盒的底面積為，紙盒的容積為
【分析】（1）由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解答本題；
（2）正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，據(jù)此作答；
（3）①根據(jù)題意，畫出圖形即可；
②根據(jù)正方體底面積、體積，即可解答．
【詳解】解：（1）A．有田字，故A不能折疊成無蓋正方體；
B．只有4個小正方形，無蓋的應(yīng)該有5個小正方形，不能折疊成無蓋正方體；
C．可以折疊成無蓋正方體；
D．有6個小正方形，無蓋的應(yīng)該有5個小正方形，不能折疊成無蓋正方體．
故選C．
（2）正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，所以與“?！弊窒鄬Φ淖质恰靶l(wèi)”．
（3）①如圖，
②當(dāng)小正方形邊長為時，
紙盒的底面積為，
紙盒的容積為
答：紙盒的底面積為，紙盒的容積為
【點睛】本題考查了展開圖折疊成幾何體，每一個面都有唯一的一個對面的展開圖才能折疊成正方體．還考查了列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意．
29．【問題情境】
樂樂所在的數(shù)學(xué)實踐小組準(zhǔn)備制作一些無蓋紙盒收納班級講臺上的粉筆．
【操作探究】
(1)樂樂準(zhǔn)備制作一個無蓋的正方體形紙盒，圖1中的哪些圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體形紙盒？______（填序號）；
(2)圖2是樂樂的設(shè)計圖，把它折成無蓋正方體形紙盒后與“?！弊窒鄬Φ淖质莀_____；
(3)樂樂把一張邊長為10cm的正方形硬紙板的四個角各剪去一個邊長為a cm（a

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