2024年安徽省淮南市潘集區(qū)中考四模數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網

一、選擇題（每小題4分，共40分）
1. 在2，，，3這四個數(shù)中，比小的數(shù)是（）．
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，負數(shù)的絕對值越大的數(shù)反而小，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：是正數(shù)比負數(shù)大，
則，
∴比小的數(shù)是，
故選：C．
2. 今年“清明節(jié)”假日期間，我省銀聯(lián)網絡交易總金額接近282億元．其中282億用科學記數(shù)法表示為（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法的知識，正確確定和的值是解題關鍵．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)．
【詳解】解：282億．
故選：B．
3. 下列運算正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項法則、完全平方公式、同底數(shù)冪乘法法則、積的乘方法則逐一進行計算即可得.
【詳解】A. ，故A選項錯誤；
B. ，故B選項錯誤；
C. ，故C選項錯誤；
D. ，正確，
故選D.
【點睛】本題考查了整式的運算，涉及了合并同類項、完全平方公式、積的乘方等運算，熟練掌握各運算的運算法則是解題的關鍵.
4. 一個由圓柱和長方體組成的幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中．
【詳解】解：從上面看，一個正方形里面有一個圓且是實線．
故選C．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
5. 若關于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值為（）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】整理成一般式后，根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，可得△=0，得到關于a的方程，解方程即可得．
【詳解】解：x(x+1)+ax=0，
∴x2+(a+1)x=0，
由方程有兩個相等的實數(shù)根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故選A．
【點睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
6. 如圖，正六邊形內接于，連接，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，等邊對等角，先根據(jù)正六邊形的性質得到，，再由等邊對等角得到，則，由此可得．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
7. 如圖，在中，，，過點作，連接交于點，若，，則的長為（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解直角三角形可得、；如圖：過E作垂足為F，則，由此可得，繼而可得，設，則，，然后代入可得，，最后運用勾股定理即可解答．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
如圖：過E作垂足為F，則，
∴，
∴．
設，則，，
∴，
解得：，，
∴．
故選B．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形、平行線分線段成比例、勾股定理等知識點，靈活運用三角函數(shù)和勾股定理解直角三角形是解答本題的關鍵．
8. 我們把十位上的數(shù)字比個位、百位上的數(shù)字都要大的三位數(shù)叫做“凸數(shù)”，如：571就是一個“凸數(shù)”．若十位上的數(shù)字為4，則從2，3，5，6 中任取兩個不同的數(shù)，能與4組成“凸數(shù)”的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查運用列舉法求概率，直接列出所有的可能結果，得到符合要求的數(shù)量，利用概率公式計算即可．
【詳解】解：本題考查古典概型.由題意，從中任取兩個不同的數(shù)，有，共種情況，其中能與組成“凸數(shù)”的有，共種情況，所以所求概率為，
故選A．
9. 如圖，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象相交于，兩點，則函數(shù)的大致圖象可能是（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合，由圖象知點P，Q的橫坐標均為負數(shù)，進而可得的圖象與x軸交點的橫坐標為一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標，均為負值，即可求解．
【詳解】由圖象知點P，Q的橫坐標均為負數(shù)，
一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標均為負數(shù)，
又，
函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標為一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標，均為負值，
只有選項C符合條件．
10. 如圖，E是線段上一點，在線段的同側分別以為斜邊作等腰和等腰，，分別是，的中點．若，則下列結論錯誤的是（）．
A. 的最小值為B. 四邊形面積的最小值為
C. 周長的最小值為D. 的最小值為3
【答案】B
【解析】
【分析】A、如圖，延長交于點P，過點F作直線，可證四邊形是矩形，直線是的中位線，且點在直線上運動，作點A關于直線的對稱點，連接，由“將軍飲馬”模型可求；
B、設，，進而即可判斷．
C、由四邊形是矩形，結合的最小值為3，可求周長的最小值；
D、連接，當時，即點與點重合時，最?。堑妊苯侨切?，，故本選項不符合題意；
【詳解】解：A、如圖，延長交于點P，過點F作直線．
和分別是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
四邊形是矩形．
是的中點，
是的中點．
直線，
直線是的中位線，且點在直線上運動．作點A關于直線的對稱點，連接，則．當，，三點共線時，最小．
，，
．
在中，，故本選項不符合題意；
B、設，則．
，
．當時，有最大值，最大值為，
∵，
∴四邊形面積的最小值為，故本選項符合題意．
C、四邊形是矩形，
，
的周長為．
的最小值為3，，
的周長的最小值為，故本選項不符合題意；
D、連接，當時，即點與點重合時，最?。堑妊苯侨切?，
，故本選項不符合題意；
【點睛】本題考查軸對稱最短路徑問題，涉及等邊三角形的性質及應用，三角形面積等知識，解題的關鍵是求出的運動軌跡是直線．
二、填空題（每小題5分，共20分）
11. 不等式的解集為__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式的解法，按照解不等式的方法和步驟求解即可．
【詳解】解：
去分母得，，
移項、合并同類項得，，
系數(shù)化為1得，，
故答案為：．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式b，進而利用平方差公式分解因式得出即可．
【詳解】解：4a2b-b=b（4a2-1）=b（2a-1）（2a+1）．
故答案為：b（2a-1）（2a+1）．
【點睛】本題考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用平方差公式是解題的關鍵．
13. 如圖，P為平行四邊形邊上一點，E、F分別為的中點，若的面積分別為2，則平行四邊形的面積為__________．
【答案】16
【解析】
【分析】利用三角形中位線定理得出，，再利用相似三角形的判定與性質得出，進而利用平行四邊形的面積求法得出答案．此題主要考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質以及三角形中位線定理等知識，得出是解題關鍵．
【詳解】解：，分別為，的中點，
∴是的中位線
，，
，
，
，
∵的面積分別為2，
，
四邊形是平行四邊形，
．
故答案為：16．
14. 如圖，已知與中，，點的坐標為，反比例函數(shù)的圖象恰好經過的中點及點．
（1）_______；
（2）若，則的值為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）如圖，過點作軸于，得出軸，可證明，根據(jù)相似三角形的性質可得出，根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征可得值；
（2）設，根據(jù)點坐標表示出、的長，根據(jù)得出是等腰直角三角形，即可得出，可得，利用勾股定理即可得答案．
【詳解】解：（1）如圖，過點作軸于，
∴軸，
∴，
∴，
∵點的坐標為，
∴，，
∵點為的中點，
∴，，即，
∵反比例函數(shù)的圖象恰好經過的中點，
∴．
故答案為：
（2）設，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
整理得：
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征、等腰三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握相關性質及判定定理是解題關鍵．
三、解答題（本題共90分）
15. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質化簡是解題的關鍵．
根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質化簡，進行計算即可求解．
【詳解】解：
．
16. 春節(jié)期間，聰聰兩次去超市購買A，B兩種不同單價的堅果，第一次購買A種堅果的質量比B種堅果的質量多，第二次購買B種堅果的質量是A種堅果質量的4倍，第二次購買堅果的總質量比第一次購買堅果的總質量多．
（1）設第一次購買B種堅果的質量為x克，請用含x的代數(shù)式填表：
（2）若第二次購買堅果的總費用比第一次購買堅果的總費用少（兩次購買A，B兩種堅果的單價不變），求B種堅果與A種堅果單價的比值．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】本題考查列代數(shù)式.
（1）先求出第二次購買堅果的總質量，再根據(jù)第二次購買B種堅果的質量是A種堅果質量的4倍，可得出B種堅果質量和A種堅果質量．
（2）令A，B兩種堅果的單價分別為a元和b根據(jù)題意建立關于a，b的等式即可解決問元題．
【小問1詳解】
解：∵第二次購買堅果的總質量比第一次購買堅果的總質量多，
∴第二次購買的堅果質量為∶(克)；
又∵第二次購買B種堅果的質量是A種堅果質量的4倍，
∴第二次購買的A種堅果質量為∶ (克)，
第二次購買的B種堅果質量為∶(克)，
故答案為∶ ；；
【小問2詳解】
設A種堅果的單價為a元，B種堅果的單價為b元，
則，
整理得：，
故B種堅果與A種堅果單價的比值是．
17. 如圖，在平面直角坐標系中，ΔABC三個頂點的坐標分別為A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．
（1）請畫出△ABC關于x軸的對稱圖形ΔA1B1C1；
（2）以O為位似中心，在第三象限內畫出ΔABC的位似圖形ΔA2B2C2，且位似比為1；
（3）借助網格，利用無刻度直尺畫出線段CD，使CD平分ΔABC的面積．（保留確定點D的痕跡）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標變化作圖；
（2）根據(jù)位似圖形的性質及坐標變化作圖；
（3）利用格點特征以及矩形對角線互相平分且相等的性質取AB的中點D，從而求解
【詳解】解：（1）ΔA1B1C1即所求；
（2）ΔA2B2C2即為所求；
（3）連接格點MN，交AB于點D，連接CD
根據(jù)矩形性質可得點D即為AB的中點，
∴CD即為所求
【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換，位似變換，矩形性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
18. 【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空：
（1）第n個圖案中黑色方塊的個數(shù)為__________．
（2）第n個圖案中黑、白兩種方塊總個數(shù)為__________．
【規(guī)律應用】
（3）白色方塊的個數(shù)能比黑色方塊的個數(shù)多2024嗎？若能，求出是第幾個圖案；若不能，請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由見解析
【解析】
【分析】（1）依次求出圖形中黑色方塊及黑、白兩種方塊的總數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題；
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)黑、白兩種顏色地磚個數(shù)變化的規(guī)律是解題的關鍵．
【詳解】解：（1）（2）由所給圖形可知。
第1個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：；
第2個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：
第3個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：
…..
∴第n個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：；
（2）由（1）得：第n個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：
如果白色方塊的個數(shù)能比黑色方塊的個數(shù)多2024
則
解得：
因為n為正整數(shù)，
所以白色方塊的個數(shù)不能比黑色方塊的個數(shù)多2024
19. 杜甫江閣位于長沙市河東城區(qū)西湖橋，與岳麓山隔江相望，屬于園林仿古建筑，為紀念唐朝詩人杜甫所建．
某數(shù)學小組為了測量杜甫江閣高度，進行了如下操作：用一架無人機在樓基A處起飛，沿直線飛行60米至點B，在此處測得樓基A的俯角為，再將無人機沿水平方向向右飛行36米至點C，在此處測得樓頂D的俯角為，請計算杜甫江閣AD的高度．（結果保留整數(shù)，，，，，，）
【答案】杜甫江閣AD的高度約為米
【解析】
【分析】在和中，通過解直角三角形分別求出長度，繼而求解即可．
【詳解】在中，，
∵，即，
∴，，
在中，，
∴，
∵，即，
∴，
米，
所以，杜甫江閣AD的高度約為米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—仰角俯角問題，準確理解題意，熟練掌握解直角三角形的方法是解題的關鍵．
20. 如圖，中兩條互相垂直的弦交于點P，經過點O，E是的中點，連接，延長交于點F．

（1）若，，求的長；
（2）求證：．
【答案】（1）的長為
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，從而可得，然后在中，利用勾股定理求出的長，進行計算即可解答；
（2）根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質可得，從而可得，再利用對頂角相等，以及同弧所對的圓周角相等可得，最后利用等量代換可得，從而利用三角形內角和定理進行計算可得，即可解答．
【小問1詳解】
解：∵E是的中點，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的長為；
【小問2詳解】
證明：∵，
∴，
∴，
∵E是的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握圓周角定理，以及垂徑定理是解題的關鍵．
21. 某校開展了“預防溺水、珍愛生命”的安全知識競賽．先從該校七、八年級中各隨機抽取10名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，共分成四組，A．，B．，C．，D．）．
部分信息如下：
七年級10名學生競賽成績：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99；
八年級10名學生競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)：94，94，91．
七、八年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表
八年級抽取的學生競賽成績扇形統(tǒng)計圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）__________，__________，__________，__________；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學生安全知識競賽成績更好？請說明理由；
（3）若該校七、八年級共2160人參加了此次競賽活動，估計參加此次競賽活動獲得優(yōu)秀成績的學生有多少人．
【答案】（1），，，
（2）八年級學生成績更好，理由見解析
（3）864人
【解析】
【分析】本題考查讀扇形統(tǒng)計圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可得到結論；
（2）根據(jù)八年級的中位數(shù)和眾數(shù)均高于七年級，于是得到八年級學生掌握防溺水安全知識較好；
（3）利用樣本估計總體思想求解可得．
【小問1詳解】
解：，
（分），
∵八年級10名學生的競賽成績的中位數(shù)是第5和第6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
A、B兩組共有（人），
（分）；
∵在七年級10名學生的競賽成績中99出現(xiàn)的次數(shù)最多，
；
故答案為：，，，．
【小問2詳解】
解：八年級學生成績更好，理由如下：八年級學生成績的中位數(shù)、眾數(shù)都比七年級的高，而方差比七年級的小，成績比七年級穩(wěn)定；
【小問3詳解】
解：（人），
答：估計參加此次競賽活動獲得優(yōu)秀成績的學生約有864人．
22. 在中，，是斜邊上的一點，將線段繞點旋轉至位置，點在直線外，連接，，且．

（1）如圖1，求證：；
（2）已知點和邊上的點滿足，連接，，．
①如圖2，求證：四邊形是菱形；
②如圖3，連接，若，，求的值．
【答案】（1）見解析（2）①見解析②
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)旋轉的性質可得，進而可得，再證明，易得，即可證明結論；
（2）①連接，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，結合，易知是的垂直平分線，進而可得，可知，再證明，是的垂直平分線，，可得，，進而可得，即可證明結論；②過點作于點，則，利用勾股定理解得的值，結合菱形的性質可得，再利用三角形函數(shù)解得的值，由勾股定理解得的值，進而可得，然后由勾股定理求得的長度，由求解即可．
小問1詳解】
證明：由旋轉的性質得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
①證明：如圖，連接，

∵，是的中點，
∴，
∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，是的中點，
∴，
∵，
∴是的垂直平分線，，
∴，，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
②解：如圖，過點作于點，則，

在中，，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、垂直平分線的性質、勾股定理、解直角三角形、菱形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線的性質等知識，綜合性強，難度較大，熟練掌握菱形的判定與性質、三角函數(shù)的應用是解題關鍵．
23. 拋物線的圖象經過點A( 1，0)，B(0，5)．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出的面積；
（3）是線段上的一點，過點作軸，與拋物線交于點，若直線把分成面積之比為的兩部分，請求出點的坐標．

【答案】（1）（2）15（3）或
【解析】
【分析】（1）將A、B兩點的坐標值代入拋物線的解析式中，聯(lián)立二元一次方程組，求出的b、c值，寫出拋物線的解析式即可．
（2）過D點作x軸垂線交BC于點F，S△BCD=S△DFC+S△DFB，△DFC與△DFB有共同底邊DF，△DFC與△DFB高之和是OC，，代入計算得解．
（3）PH交BC于點E，△PCE與△HCE可看作高都是PC，則兩個三角形面積之比就是PE∶HE，分情況討論計算出P點坐標．
【詳解】解：（1）∵將點A( 1，0)，B(0，5)代入拋物線可得：
∴解得：
∴拋物線的解析式為：．
（2）DG垂直x軸于點G，交BC于點F，如圖：

∵拋物線的頂點為D，可得點D坐標(-2，9)，
∵拋物線交x軸于點A、C，可得點C坐標(-5，0)，
將B、C兩點坐標代入一次函數(shù)，，
可得直線BC的解析式為：；
∵當時，點F坐標(-2，3)，
∴DF=9-3=6,
∵S△BCD=S△DFC+S△DFB，△DFC與△DFB有共同底邊DF，
△DFC的高=CG，△DFB的高=OG，
∵CG+OG=OC=5，
∴
∴的面積是15．
（3）PH交拋物線于點H，交BC于點E，如圖：

直線把分成△PCE和△HCE，兩個三角形高都是PC，面積之比是PE∶HE，
∵H是拋物線上的點，E是直線上的點，
∴HE=，整理得：，
EP=，整理得：，
根據(jù)題意可列等式：或
是線段上的一點，解得：或
∴點P坐標為或．
【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)圖形問題，運用數(shù)形結合的方法是解題關鍵．A種堅果質量/克
B種堅果質量/克
總質量/克
第一次
x
第二次
___________
___________
___________
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級
b
92.5
d
49
八年級
92
c
100
46.8

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