2024.4
本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第一部分（共40分）
一、選擇題，本部分共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個選項中，選出最符合題目要求的一項.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函數(shù)，則函數(shù)的極小值點為（ ）
A. 或B. C. D.
4. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點E為中點，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（ ）
A. B. C. 2D.
6. 已知函數(shù)若對于任意都有，則實數(shù)的范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直線與圓交于A，B兩點，且為等邊三角形，則m的值為（ ）
A. B. C. D.
8. 一個小球作簡諧振動，其運動方程為，其中(單位：是小球相對于平衡點的位移，(單位：)為運動時間，則小球的瞬時速度首次達(dá)到最大時，（ ）
A. 1B. C. D.
9. 已知等比數(shù)列滿足，記，則數(shù)列（ ）
A. 有最大項，有最小項B. 有最大項，無最小項
C. 無最大項，有最小項D. 無最大項，無最小項
10. 已知數(shù)列滿足，.給出下列四個結(jié)論：
①數(shù)列每一項都滿足；
②數(shù)列的前n項和；
③數(shù)列每一項都滿足成立；
④數(shù)列每一項都滿足.
其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②④
第二部分（共110分）
二、填空題，本題共5小題，每題5分，共25分．
11. 雙曲線的實軸長為______，漸近線方程為______．
12. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，則的虛部為__________,______．
13. 已知數(shù)列的前項和為，若，則______，數(shù)列的前項和______．
14. 已知等邊的邊長為，分別是的中點，則_______；若是線段上的動點，且，則的最小值為_______．
15. 已知函數(shù)的部分圖像如圖所示．
（1）函數(shù)的最小正周期為______．
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是______．
三、解答題，本題共6小題，共85分，請將答案寫在答題卡相應(yīng)位置．
16. 已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
（1）若成等比數(shù)列，求的值；
（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和．
（3）設(shè)，直接寫出數(shù)列的最小項．
17. 在中，．
（1）求角的大?。?br>（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
18. 如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.
（1）求證：；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.
19. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值；
（3）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（4）證明：當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點．
20. 已知橢圓：的一個焦點為，且過點.
（1）求橢圓的方程和離心率；
（2）過點且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點，與直線交于點，點滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.
21. 集合，集合，若集合中元素個數(shù)為，且所有元素從小到大排列后是等差數(shù)列，則稱集合為“好集合”．
（1）判斷集合是否為“好集合”；
（2）若集合是“好集合”，求的值．
參考答案
第一部分（共40分）
一、選擇題，本部分共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個選項中，選出最符合題目要求的一項.
1. 【答案】C
【分析】分別求解不等式和，得到集合,再求其并集即得.
【詳解】由可得，則得；
由可得，則得,
故
故選：C.
2. 【答案】B
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可對選項一一判斷即得.
【詳解】對于A項，因，故A項錯誤；
對于B項，，故B項正確；
對于C項，，故C項錯誤；
對于D項，，故D項錯誤.
故選：B.
3. 【答案】D
【分析】由原函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，即可分析得出其極小值點.
【詳解】由求導(dǎo)得，，因，由可得或，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
故在處取得極大值,在處取得極小值.
即函數(shù)的極小值點為.
故選:D.
4. 【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點可排除AD,再由時函數(shù)恒正排除C即可得解.
【詳解】因為，
令，解得或；令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的兩個極值點為，故排除選項A和選項D，
當(dāng)時，，所以恒為正，排除選項C，
即只有選項B符合要求.
故選：B．
5. 【答案】D
【分析】由題意可證平面，取BD的中點F，連接EF，則為直線與所成的角，利用余弦定理求出，根據(jù)三棱錐體積公式即可求得體積．
【詳解】如圖，
∵，點為的中點，
∴，，
∵，，兩兩垂直，，
∴平面，取BD的中點F，連接EF，
∴為直線與所成的角，且，
由題意可知，，設(shè)，連接AF，
則，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，即
∴三棱錐的體積．
故選：．
6. 【答案】B
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由在定義域內(nèi)恒成立即可得．
【詳解】對于任意都有，則在定義域內(nèi)是減函數(shù)，
，所以在時恒成立，即，而，
所以．
故選：B．
7. 【答案】D
【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)以及半徑，由等邊三角形的性質(zhì)可得到圓心到直線的距離，結(jié)合點到直線的距離公式列出方程求出的值即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
若直線與圓交于A，B兩點，且為等邊三角形，
則圓心到直線的距離，
又由點到直線的距離公式可得，解得，
故選：D.
8. 【答案】D
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)后，由余弦函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．
【詳解】小球的瞬時速度為，，，
因此首次達(dá)到最大值時，．
故選：D．
9. 【答案】A
【分析】求出等比數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求出，再由數(shù)列最大項、最小項的意義判斷作答.
【詳解】依題意，等比數(shù)列的通項公式，
，，
由知，時，數(shù)列是遞增的，時，數(shù)列是遞減的，
于是得數(shù)列的最大項為，而n為奇數(shù)時，，n偶數(shù)時，，
所以和分別是數(shù)列的最大項和最小項.
故選：A
10. 【答案】C
【分析】由遞推公式，判斷每個命題的正誤.
【詳解】①，，，所以，由遞推關(guān)系得，①正確；
②，，，，則，所以②不正確；
③，所以，
累加得，，所以，，所以（，），，故成立，③正確；
④，，累乘得，，所以，④正確.
故選：C.
【點睛】將遞推公式變形為和分別進(jìn)行累加和累乘，得的取值范圍.
第二部分（共110分）
二、填空題，本題共5小題，每題5分，共25分．
11. 【答案】 ①. 10 ②.
【分析】由雙曲線方程得到，.再利用雙曲線漸近線方程的公式加以計算，可得到答案.
【詳解】由雙曲線方程為可得，，，即，.
∴實軸長為.
∴漸近線方程為.
故答案為：10；.
12. 【答案】 ①. ②.
【分析】根據(jù)點寫出復(fù)數(shù)，求出即得其虛部；先求得，再求其模長即得.
【詳解】依題意，，則，故的虛部為；
因，則.
故答案為：；.
13. 【答案】 ①. ②.
【分析】根據(jù)已知條件先求出首項，再利用即可求解；再結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式即可求解.
【詳解】因為，即，
所以當(dāng)，，
當(dāng)，，
整理得，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
故，
所以數(shù)列的前項和為：
.
故答案為：；.
14. 【答案】 ①. ②. ##
【分析】第一空：通過展開整理，帶入數(shù)據(jù)計算即可；第二空：設(shè)，通過展開整理，帶入數(shù)據(jù)然后配方求最值.
【詳解】
;
若是線段上的動點，且，不妨設(shè)點相對更靠近點，
設(shè)，
，
當(dāng)時，取最小值，且為.
故答案為：；.
15. 【答案】 ①. . ②. .
【分析】空1：由函數(shù)圖像可以直接讀，進(jìn)一步計算出；
空2：通過周期及函數(shù)上的點代入函數(shù)解析式求出的值，可得解析式，然后進(jìn)行平移得到，利用函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)取最值即可.
【詳解】空1：由圖像可知，，即.
空2：，即，
∴,又過點,
∴，即,
又在原圖增區(qū)間上，
∴，
向右平移個單位可得,
又為偶函數(shù)，
∴，即，
∵，
∴.
故答案為：；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是通過周期的大小和函數(shù)上的點，可求出的解析式，再平移得到，然后根據(jù)奇偶性求參.
三、解答題，本題共6小題，共85分，請將答案寫在答題卡相應(yīng)位置．
16. 【答案】（1）9 （2）
（3）
【分析】（1）由題設(shè)易得，利用成等比數(shù)列列出方程解之即得；
（2）由（1）的結(jié)論和數(shù)列為等比數(shù)列可求出該數(shù)列的通項，繼而求出，利用分組求和法即可求得；
（3）將（1）的結(jié)論代入，化簡得，因是奇數(shù)，不妨設(shè)將右式化成雙勾函數(shù)形式，利用其單調(diào)性即可求得的最小項.
【小問1詳解】
由可得，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為2，
又，則得，解得，故.
因成等比數(shù)列，，即，解得.
【小問2詳解】
數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，因，
則數(shù)列的首項為4，公比，則，
故，
于是
.
【小問3詳解】
，
記，則且是奇數(shù)，設(shè)，
易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因是奇數(shù)，，
故時，即時，，此時數(shù)列的最小項為.
17. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角形內(nèi)角關(guān)系即可求得；
（2）考查①②組合或者①③組合，均因得出，推得三角形不存在；考查②③組合時，先由求出，由正弦定理求得，再用和角公式求得的值，即可利用三角形面積公式求得.
【小問1詳解】
由和正弦定理可得，，
因，
則得，因，，則得，解得；
【小問2詳解】
若選 ①②，由，，和正弦定理，可得，
故值不存在，不存在，與題意不符；
若選 ②③，，，，則，
由正弦定理，，解得，
又,
于是，的面積為.
若選 ①③，，，，由正弦定理，，
故值不存在，不存在，與題意不符.
18. 【答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）取的中點，連接，證明出平面，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可求得棱的長.
【小問1詳解】
證明：因為四邊形為正方形，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，所以，.
【小問2詳解】
解：取的中點，連接，
，為的中點，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，
則、、、、，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，則，
由題意可得，
，解得，則.
19. 【答案】（1）
（2）
（3）答案見解析 （4）證明見解析
【分析】（1）分別求出切點坐標(biāo)和切線斜率，寫出切線方程即得；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)在的極大值，與端點函數(shù)值比較，取其中較大值即為函數(shù)最大值；
（3）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（4）根據(jù)（3）得到的單調(diào)性，可推知在上沒有零點，而在上至多有一個零點，從而得到至多有一個零點，再用零點存在定理說明的確存在零點即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，，故，.
從而所求切線經(jīng)過點且斜率為，故曲線在點處的切線方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)時，，故.
從而當(dāng)或時；當(dāng)時.
故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
根據(jù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時有，而當(dāng)時有.
所以對任意都有，而，故在上的最大值是；
【小問3詳解】
設(shè)，由于，故
①當(dāng)時，，從而對和均有，故在和上單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，有，，從而當(dāng)或時；當(dāng)時.
故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時，對任意都有，從而當(dāng)時；當(dāng)時.
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問4詳解】
當(dāng)時，由（3）可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
一方面，對，有，這表明在上沒有零點.
而在上單調(diào)遞增，所以在上至多有一個零點.
二者結(jié)合，就可得到至多有一個零點；
另一方面，我們又有，，以及
.
故由零點存在定理可知，必有一個上的零點.
綜上，當(dāng)時，有且僅有一個零點.
20. 【答案】（1），
（2）2
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出后可得橢圓方程并可求離心率.
（2）設(shè)，，則可用諸參數(shù)表示，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，并利用韋達(dá)定理化簡后可得斜率的比值.
【小問1詳解】
由題設(shè)有，故，故橢圓的方程為，
故離心率為.
【小問2詳解】
由題設(shè)可得的斜率必存在且不為零，
設(shè)，，則，
由可得，
故，
，
由可得，
故即，且，
又，
故
，
21. 【答案】（1）為“好集合”； 不是“好集合”
（2）
【分析】（1）先由集合求出，再由“好集合”定義進(jìn)行判斷即可.
（2）由先求，再結(jié)合和中元素結(jié)構(gòu)特征即可推導(dǎo)求解.
【小問1詳解】
因為，
所以由，
得，顯然中的元素從小到大排列后是等差數(shù)列，
又由集合中元素個數(shù)為可知中元素個數(shù)應(yīng)分別為，
故根據(jù)“好集合”定義可知為“好集合”， 不是“好集合”.
【小問2詳解】
因為集合是“好集合”，
所以集合中元素個數(shù)為，且和是它的最小的兩個元素，
所以集合接下來的四個元素從小到大排列應(yīng)為，
所以，.

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