1．?dāng)?shù)學(xué)試卷八大題，共23題，滿分150分，考試時(shí)間共120分鐘．
2．試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，每小題都給出、、、四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的．）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查的是相反數(shù)，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵．
根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)解答即可；
【詳解】解：的相反數(shù)是4．
故選：B．
2. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪相除，積的乘方，冪的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)合并同類項(xiàng)法則計(jì)算判定A，根據(jù)同底數(shù)冪相除的法則計(jì)算并判定B，根據(jù)積的乘方的法則計(jì)算并判定C，根據(jù)冪的乘方的法則計(jì)算并判定D．
【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
D、，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
3. 2024年合肥市政府工作報(bào)告中指出，2023年合肥市先進(jìn)光伏和新型儲(chǔ)能產(chǎn)值達(dá)1500億元，用科學(xué)記數(shù)法表示1500億，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查利用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，學(xué)握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解答本題的關(guān)鍵，這里還需要注?的取值．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)．理定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：1500億．
故選：A．
4. 一個(gè)幾何體由4個(gè)相同的小正方體搭成，主視圖和俯視圖如圖所示，則原立體圖形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了由三視圖還原幾何體，根據(jù)主視圖和俯視圖即可得出原立體圖形，考查了空間想象能力．
【詳解】解：由主視圖和俯視圖可得原立體圖形可能是，
故選：B．
5. 自2016年我國正式實(shí)施全面兩孩政策以來，合肥市學(xué)齡兒童人數(shù)逐年增長(zhǎng)，某校2021年新生入學(xué)人數(shù)是600人，2023年新生入學(xué)人數(shù)達(dá)到726人，若設(shè)入學(xué)人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為，則以下方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)2021年到2023年新生入學(xué)人數(shù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：依題意得：．
故選：B．
6. 將一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，如果，則度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用．
首先過點(diǎn)作交于，即可得，然后利用兩直線平行，同位角相等，即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，
根據(jù)題意得：，，
過點(diǎn)作交于，
∴，
，
，
，
故選：C．
7. 若實(shí)數(shù)、、滿足，且，那么的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查代數(shù)式求值．根據(jù)得，代入得，再把代入得，然后把整體代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
8. 化學(xué)實(shí)驗(yàn)室有四種溶液：分別是氫氧化鈉溶液，碳酸氫鈉溶液，稀鹽酸溶液和稀硫酸溶液，從中隨機(jī)取出兩種適量溶液，充分混合，有氣體生成的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】：此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
根據(jù)題意列出圖表得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案，
【詳解】解：氫氧化鈉溶液，碳酸氫鈉溶液，稀鹽酸溶液和稀硫酸溶液，分別用表示，
畫樹狀圖如圖：
四種溶液中隨機(jī)取出兩種溶液，共有12種可能，其中兩種溶液混合后產(chǎn)生氣體的有：（）碳酸氫鈉溶液和稀鹽酸溶液、（）碳酸氫鈉溶液和稀硫酸溶液4種情況，所以有氣體生成的概率是．
故選：C．
9. 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，以為底向外作等腰三角形，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)分別交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】過點(diǎn)H作于M，交延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)G作于P，先由等腰三角形的性質(zhì)求得，證明四邊形是矩形，得，再證明，得，求得，然后證明，得，求得，從而可求得，最后利用勾股定理可求解 ．
【詳解】解：過點(diǎn)H作于M，交延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)G作于P，如圖，
∵正方形的邊長(zhǎng)為4，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∵
∴
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
10. 已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象得出，，從而得出拋物線對(duì)稱軸為直線，由反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為得出，再求出對(duì)稱軸為直線，結(jié)合拋物線對(duì)稱軸的位置即可得出答案．
【詳解】解：反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，
，
一次函數(shù)交于軸于正半軸，
，
反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
，
，
解得：，
，
拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，
對(duì)稱軸為直線，
對(duì)稱軸在到之間，
函數(shù)的圖象可能為
故選：A．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【詳解】解：先提取公因式2后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案為：．
12. 如圖是直徑，C，D是上的兩點(diǎn)，若，則______．

【答案】##62度
【解析】
【分析】連接，根據(jù)是直徑，可知，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角可得，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互補(bǔ)可得
【詳解】連接，則，
∵，
∴．
∵如圖是的直徑，
∴．

故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及推論，直角三角形兩銳角互余；由圓周角定理得到相等角是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，橫坐標(biāo)分別是和，且，過點(diǎn)作軸平行線，過點(diǎn)作軸平行線，交于點(diǎn)，連接，若面積為2，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，根據(jù)點(diǎn)和的橫坐標(biāo)分別是和可得，然后根據(jù)面積為2列式即可求出k的值．
【詳解】解：∵點(diǎn)和的橫坐標(biāo)分別是和，
∴，．
∵面積為2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
14. 如圖，某校師生要在空地上修建一個(gè)矩形勞動(dòng)教育基地，該基地一邊靠墻（墻長(zhǎng)米），另三邊用總長(zhǎng)40米的柵欄圍成．
（1）當(dāng)時(shí)，勞動(dòng)教育基地的最大面積為___________；
（2）當(dāng)勞動(dòng)教育基地的最大面積為150平方米時(shí)，的值為___________．
【答案】 ①. ②. 30或10
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，實(shí)際問題往往是有限制條件的，列出的表達(dá)式需考慮自變量的取值范圍，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題時(shí)更要注意這點(diǎn)．
（1）已知矩形的長(zhǎng)和周長(zhǎng)可表示寬，運(yùn)用公式表示面積，根據(jù)墻寬得的取值范圍；
（2）求當(dāng)時(shí)的值，根據(jù)自變量的取值范圍回答問題；
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，另三邊總長(zhǎng)40米，
設(shè)，則，勞動(dòng)教育基地的面積為y，
根據(jù)題意得：，
∴；
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值．
（2）當(dāng)最大值時(shí)，即，
∴，
解得：，
∵，
∴或．
故答案為：200；30或10．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 計(jì)算：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序和相關(guān)運(yùn)算的法則．
先算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，去絕對(duì)值，平方根，合并即可；
【詳解】
．
16. 如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．
（1）將向下平移5個(gè)單位得到，畫出；
（2）將（1）中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出．
【答案】（1）見詳解 （2）見詳解
【解析】
【分析】本題主要考查了作圖-平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平移的性質(zhì)畫出圖形即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形即可．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求；
【小問2詳解】
如圖，即為所求．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 如圖，合肥市某畫家書畫作品裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為米，寬為米的矩形，對(duì)此畫四周加上寬度相同的邊襯進(jìn)行裝裱，裝裱后整幅圖畫長(zhǎng)與寬的比是，求邊襯的寬度．
【答案】邊襯的寬度為米
【解析】
【分析】本題考查分式方程解決實(shí)際問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．
設(shè)邊襯的寬度為米，根據(jù)題意可知，裝?后的長(zhǎng)為米，寬為米，再根據(jù)整幅圖畫長(zhǎng)與寬的比是，即可得到相應(yīng)的方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：設(shè)邊襯的寬度為米，則裝裱后的長(zhǎng)為米，寬為米，
由題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程解，
答：邊襯的寬度為米．
18. 類比是探索發(fā)展的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．閱讀材料：
設(shè)的兩個(gè)根為和，那么比較系數(shù)，可得，．
類比推廣，回答問題：設(shè)的三個(gè)根為，，，那么
（___________）（___________）．
比較系數(shù)，可以得到一元三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：
___________，___________，___________．
【答案】，，，，，r
【解析】
【分析】本題主要考查根據(jù)一元二次方程中根和系數(shù)之間的關(guān)系推理一元三次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
將一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解為，再將其按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方式展開，得到，最后得到根與系數(shù)關(guān)系，，即可；
【詳解】解：根據(jù)材料提示得，
，
，
，
，
，
，
，，；
故答案為：，，，，，r．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 如圖，已知，以為直徑作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．
（1）求證：是的中點(diǎn)；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】
【分析】本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．
（1）連接，首先證得，證出，即可求解；
（2）連接，根據(jù)圓周角定理得出，證明，得出，設(shè)的半徑為，再根據(jù)勾股定理得出，列出方程即可求解；
【小問1詳解】
解：連接，如圖，
∵是的切線，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中點(diǎn)；
【小問2詳解】
連接，如圖，
∵是的直徑；
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的半徑為，
，
，
∴，
解得：或（舍去）．
故半徑為．
20. 如圖①為我們常見的馬扎，馬扎上層是可以折疊但不能伸縮的帆布，圖②是馬扎撐開后的側(cè)面示意圖，其中腿和的長(zhǎng)度相等，是它們的中點(diǎn)，，，當(dāng)有人坐在馬扎上時(shí)，馬扎側(cè)面示意圖變成圖③（假設(shè)與都是線段），且，點(diǎn)離地面的距離即馬扎實(shí)際支撐的高度．若某人坐在馬扎上時(shí)測(cè)得，他要求實(shí)際支撐高度為，請(qǐng)問這款馬扎能否符合他的要求？（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】這款馬扎不能符合他的要求
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
連接，過作的垂線交于，交于，根據(jù)題意可得，，， ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，證明，從而得出，算出，，再根據(jù)勾股定理算出，從而算出，即可求解；
【詳解】解：連接，過作的垂線交于，交于，
根據(jù)題意可得，．，，
∴是的垂直平分線，
∵，
∴點(diǎn)E在上，
，
，
，
，
，
，
，
，
故這款馬扎不能符合他的要求．
21. 某校為了落實(shí)“雙減”工作，豐富學(xué)生的課外生活，開展“雅言頌經(jīng)典，真情詠中華”經(jīng)典誦讀活動(dòng)．為了了解學(xué)生的參與度，從學(xué)校隨機(jī)抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，表示每天誦讀時(shí)長(zhǎng)，把調(diào)查學(xué)生的誦讀時(shí)長(zhǎng)分為5個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)的范圍如下表所示，并繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息，解答下列問題：
（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中等級(jí)的圓心角度數(shù)；
（3）學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生積極參加該項(xiàng)活動(dòng)，準(zhǔn)備給誦讀時(shí)長(zhǎng)不低于20分鐘的同學(xué)給予“誦讀之星”稱號(hào)，該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)問獲得“誦讀之星”稱號(hào)的學(xué)生約有多少人？
【答案】（1）見解析 （2）
（3）1300人
【解析】
【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
（1）根據(jù)等級(jí)人數(shù)及其百分比可得總?cè)藬?shù)；總?cè)藬?shù)乘以等級(jí)百分比可得其人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）先求出“”等級(jí)對(duì)應(yīng)的人數(shù)，用乘以“”等級(jí)的百分比即可；
（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中等級(jí)學(xué)生的百分比之和即可求解．
【小問1詳解】
本次共抽查學(xué)生（人，
條形圖中“”等級(jí)對(duì)應(yīng)的人數(shù)為（人，補(bǔ)全圖形如下：
【小問2詳解】
“”等級(jí)對(duì)應(yīng)的人數(shù)為（人），
“”等級(jí)所在扇形的圓心角度數(shù)為．
【小問3詳解】
（人，
答：獲得“誦讀之星”稱號(hào)的學(xué)生約有1300人，
22. 如圖，二次函數(shù)的圖象過，，三點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，直線與軸交于點(diǎn)，且．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)，作直線于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，并交于點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②是否存在點(diǎn)，使最大？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）①；②當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)代入中得到關(guān)于的方程組，解方程組求出即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）先求出直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)表示出；①直接代入求解即可；②表示出，據(jù)此可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的最大值即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
【小問1詳解】
將點(diǎn)代入，
得：，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
【小問2詳解】
設(shè)直線的解析式為：，
將代入
得：，
解得：
∴直線的解析式為：，
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，直線與軸交于點(diǎn)，
∴，
則，，
①當(dāng)時(shí)，；
②根據(jù)題意得，
∴，
∴，
故當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，以及求函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，難點(diǎn)是方程思想在解題中的應(yīng)用，漏解是解答此題的易錯(cuò)點(diǎn)之一．
23. 已知矩形，，，把矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，連接，交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)落在邊上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，求證：；
（2）如圖2，若點(diǎn)在上方，連接交于點(diǎn)，連接，若，
①求證：；
②求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析
（2）①證明見解析；②
【解析】
【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，則，再由矩形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證明，則由角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，據(jù)即可利用
（2）①如圖所示，過點(diǎn)B作于H，證明，推出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則，可得或（舍去），則；再證明，得到；設(shè)，則，由勾股定理得，解得或（舍去）；則，即可由相似三角形的性質(zhì)得到；②同理可證明，進(jìn)而證明，則，求出，，則．
【小問1詳解】
證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
又∵，
∴；
【小問2詳解】
解：①如圖所示，過點(diǎn)B作于H，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∴或（舍去），
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
∴，
∵，
∴；

②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．等級(jí)
時(shí)長(zhǎng)范圍（分鐘）

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