八年級(jí)數(shù)學(xué)
一. 選擇題(共10小題)
1.《國(guó)家寶藏》節(jié)目立足于中華文化寶庫資源，通過對(duì)文物的梳理與總結(jié)，演繹文物背后的 故事與歷史，讓更多的觀眾走進(jìn)博物館，讓一個(gè)個(gè)館藏文物鮮活起來.下面四幅圖是我國(guó)一
些博物館的標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列等式，從左到右的變形，屬于因式分解的是()
A.6x2y3=2x2·3y3 B.a2-2a+1=(a-1)2
C.a(a+1)(a-1)=a3-a
3. 已知a>b, 則下列各式中一定成立的是( )
A.a-b-2 的解集
是( )
A.x>-1 B.x2 D.xx+2?
預(yù)備知識(shí)1:同學(xué)們學(xué)習(xí)了一元一次方程、 一元一次不等式和一次函數(shù)，利用這些一次模型
和函數(shù)的圖象，可以解決一系列問題.
圖①中給出了函數(shù)y=x+1 和y=2x+3 的圖象，觀察圖象，我們可以得到：
當(dāng)x>-2 時(shí)，函數(shù)y=2x+3 的圖象在y=x+1 圖象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1 的
解集為
預(yù)備知識(shí)2:函數(shù). 稱為分段函數(shù)，其圖象如圖②所示，實(shí)際上對(duì)帶有絕
對(duì)值的代數(shù)式的化簡(jiǎn)，通常采用“零點(diǎn)分段”的辦法，將帶有絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式在各“取
值段”化簡(jiǎn)，即可去掉絕對(duì)值符號(hào).比如化簡(jiǎn)|x-1|+|x-3| 時(shí)，可令x-1=0 和x-3=0,
分別求得x=1,x=3 (稱1,3分別是|x-1| 和|x-3| 的零點(diǎn)值),這樣可以就xb∴2a>2b∴2a-1>2b-1,
故A不合題意；
故 B 不合題意；
C 、當(dāng)c2=0 時(shí) ，ac2=bc2, 故 C 不合題意；
D 、a>b, 則： 故 D符合題意；
故選：D.
4. 滿足下列條件的AABC 不是直角三角形的是( )
A.AC=1,BC=√3,AB=2 B.AC:BC:AB=3:4:5
C. ∠A:∠B:∠C=1:2:3 D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
【解答】解： A、∵12+(√3)2=4,22=4,
∴12+( √3)2=22,
∴AC=1,BC=√3,AB=2 滿足AABC 是直角三角形；
B、∵32+42=25,52=25,
∴32+42=52,
∴AC:BC:AB=3:4:5 滿足AABC 是直角三角形；
C、∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A:∠B:∠C=1:2:3 滿足AABC 是直角三角形；
D、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A:∠B:∠C=3:4:5,AABC 不是直角三角形.
故選： D.
5. 如圖，AABC中，∠ACB=80°, 將△ABC繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△EDC. 當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)
D 恰好落在 AC 上時(shí)，∠CAE的度數(shù)是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【解答】解：∵將AABC繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得AEDC.
∴∠ACB=∠DCE=80°,AC=CE,
∴∠CAE=50°
故選： C.
6.用反證法證明“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行”時(shí)，應(yīng)先提出的假設(shè)是( )
A. 同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線平行
B. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩條直線不平行
C. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩條直線平行
D. 同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行
【解答】解：由題意可得，
反證法證明命題“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條
直線平行，
故 選 ：C.
7. 如圖，直線y=kx+b 經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),B(-1,-2), 則不等式kx+b>-2 的解集
是( )
A.x>-1 B.x2 D.x-2,
x>-1,
則不等式kx+b>-2 的解集是x>-1,
故選： A.
8. 下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A. 等邊三角形是等腰三角形
B. 等腰三角形的高線、中線和角平分線互相重合
C. 三角形的高、中線、角平分線都是線段
D. 鈍角三角形的三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)
【解答】故選： B.
9. 若不等式組無解，則m 的取值范圍是( )
A.m2
【解答】故選： C.
10. 如圖，∠ABC=∠ADB=90°,DA=DB,AB 與CD 交于點(diǎn)E, 若BC=2,AB=4,
則點(diǎn)D 到AC 的距離是( )
A.
B.
C.
D.
【解答】解：過點(diǎn)D 作DF⊥AC, 垂足為F, 過點(diǎn)D 作DG⊥CB, 交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
∵∠ABC=90°,BC=2,AB=4,
∴AC=√AB2+BC2=√42+22=2√5,
∵∠ADB=90°,DA=DB,
: ∠DBA=∠DAB=45°, ·
∵∠ABC=90°,
∴∠ABG=180?-∠ABC=90°,
∴∠DBG=90?-∠DBA=45°,
在 RtADBG 中 ，DB=2√2,
∴△ADC的面積=AABC 的面積+AADB的面積 -ADBC 的面積，
∴√5DF=4+4-2,
∴ 點(diǎn)D 到 AC 的距離是
故選： B.
二 . 填空題(共5小題)
11.因式分解： a2b+ab2=
【解答】故答案為： ab(a+b).
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P(2,6) 向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是_ (1,8)_.
【解答】解：將點(diǎn)P(2,6)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的點(diǎn)的坐
標(biāo)是(2-1,6+2),
即(1,8)
故答案為：(1,8) ·
13. 關(guān) 于x 的方程x-a=1-x 的解是一個(gè)非負(fù)數(shù)，則a 的取值范圍是∠a≥-1__.
【解答】解：由x-a=1-2x得，,
;
∵關(guān)于x 的方程x-a=1-x 的解是一個(gè)非負(fù)數(shù)，
解得a≥-1:
故答案為： a≥-1
14.如圖，在等腰三角形ABC中 ，AB=AC=√5,BC=2,AD
分AC 交AD于點(diǎn)F, 則 AF 的長(zhǎng)是
【解答】解：等腰三角形ABC中 ，AB=AC=√5,BC=2,AD
∴AD⊥BD,
∴AD=√AB2-BD2=√(√5F-F=2,
連接CE,
∵GE 垂直平分AC 交AD 于點(diǎn)F,
∴AF=CF,
設(shè)AF=x, 則DF=AD-x=2-x,CF=AF=x,
在RtACDF中， DF2+CD2=CF2,
即(2-x)2+12=x2,
解得：
故答案為：
平分∠BAC,GE 垂直平
平分∠BAC,
: ·
15. 如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC 中，射線BD⊥AC 于點(diǎn)D, 將△ABD 沿射線BD 平移，
得到AEGF, 連接CF 、CG, 則CF+CG 的最小值為_2 √ 7_
【解答】解連接AG 、AE 、AF, 作 點(diǎn)F 關(guān)于點(diǎn)E 的對(duì)稱點(diǎn)F', 連接AF'.
∵AE//BD,
則AF'=AF,
∵△ABC 為等邊三角形， BD⊥AC,
∴AG=CG,AF=CF,
∴AF'=CF.
∴CF+CG=AF'+AG,
當(dāng)G 、A 、F '三點(diǎn)在同一直線上時(shí)， AF'+AG 的最小值為GF'.
連接GF',
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,
,FF1=2EF=2AD=AC=4,
∴GF'=√GF2+FF12=√(2√3)2+42=2√ 7,
即AF'+AG 的最小值為2 √7.
故答案為：2 √7.
三 .解答題(共7小題)
16.(1)因式分解：8a3b2+12ab3c;
(2)(x-2)2-x+2
【解答】解：(1)原式=4ab2(2a2+3bc);
(2)原式=(x-2)2-x+2=(x-2)2-(x-2)=(x-2(x-3)
17. 解不等式組 并將其解集在數(shù)軸上表示.
【解答】解：
解不等式①得：x≤4,
解不等式②得：
∴原不等式組的解集為：
∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：
2
18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,0),C(4,4).
( 1 ) 若AABC經(jīng)過平移后得到△ABC, 已知A(-4,0).
①作出平移后的△A?B,C
②平移的距離為_ √26_個(gè)單位長(zhǎng)度；
(2)將AABC 繞點(diǎn)B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A?B?C?,
①作出旋轉(zhuǎn)后的△A?B?C?;
②求BA 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為
【解答】解：(1)①如圖，△A?BC? 為所作；
②平移的距離= √ (1+4)+F= √26,
故答案為 √26;
(2)①如圖，△A?B?C? 為所作；
19. 已知：如圖，在△ADC中 ，AD=CD, 且 AB/1DC,CB⊥AB 于 B,CE⊥AD 交AD
的延長(zhǎng)線于E, 連接BE ·
(1)求證： CE=CB;
(2)若∠CAE=30°,CE=2,
求BE 的長(zhǎng)度.
【解答】解：(1)證明：∵AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA,
∵AB/ICD,
∴∠DCA=∠CAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∴AC是∠EAB的角平分線，
又∵CE⊥AD,CB⊥AB,
∴CE=CB.
(2)∵AC 是∠EAB的角平分線，
∴∠EAB=2∠CAE=60°,
∵∠DCA=∠DAC=30°,
∴∠EDC=∠DCA+∠DAC=60°,
∵CE⊥AD,
∴∠CED=90°,
∴∠ECD=30°,
∵CB⊥AB,
∴∠CBA=90°
∵AB//CD,
∴∠CBA+∠DCB=180°,
∴∠DCB=90°,
∴∠ECB=∠ECD+∠DCB=120°,
∵CE=CB=2,
∴∠EBA=60°,
∴∠AEB=∠EAB=∠ABE=60°,
∴AAEB是等邊三角形，
∴BE=AB;
在RtAABC中，
∵BC⊥AB,∠CAB=30°,
∴AC=2BC=4,
∴AB=√AC2-BC2=√42-22=2√3,
∴BE=2√3.
20. 某文具商店購(gòu)買了兩種類型文具A 和文具B 銷售，若購(gòu)A 文具5個(gè)，B 文具3個(gè)，需
要105元：若購(gòu)進(jìn)A文具8個(gè)， B 文具6個(gè)，需要186元.
(1)求文具A, 文具B 的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)若每個(gè)文具A 的售價(jià)為20元，每個(gè)文具B 的售價(jià)為21元.結(jié)合市場(chǎng)需求，該商店決
定購(gòu)進(jìn)文具A 和文具B 共80個(gè)，且購(gòu)進(jìn)文具B 的數(shù)量不少于文具A 的數(shù)量的 且文具 A
和文具B 全部銷售完時(shí)，求銷售的最大利潤(rùn)及相應(yīng)的進(jìn)貨方案.
【解答】解：(1)設(shè)文具A, 文具B 的進(jìn)價(jià)分別是x 元 ，y 元，由題意，得：
解得：
答：文具A, 文具B 的進(jìn)價(jià)分別是12元和15元；
(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)文具A的數(shù)量為a 個(gè)，則購(gòu)進(jìn)文具B(80-a) 個(gè)，由題意，得：
解得： a≤48,
設(shè)總利潤(rùn)為w, 由題意，得：w=(20-12)a+(21-15)(80-a)=2a+480,
∴w隨a 的增大而增大，
∵a≤48,
∴當(dāng)a=48 時(shí)，此時(shí)80-a=32,w 有最大值為576;
答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)文具A的數(shù)量為48個(gè)，文具B 的數(shù)量為32個(gè)時(shí)，利潤(rùn)最大為576元.
21.【問題提出]:如何解不等式|x-1|+|x-3>x+2?
預(yù)備知識(shí)1:同學(xué)們學(xué)習(xí)了一元一次方程、 一元一次不等式和一次函數(shù)，利用這些一次模型
和函數(shù)的圖象，可以解決一系列問題.
圖①中給出了函數(shù)y=x+1 和y=2x+3 的圖象，觀察圖象，我們可以得到：
當(dāng)x>-2 時(shí)，函數(shù)y=2x+3 的圖象在y=x+1 圖象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1 的
解集為
預(yù)備知識(shí)2:函數(shù). 稱為分段函數(shù)，其圖象如圖②所示，實(shí)際上對(duì)帶有絕
對(duì)值的代數(shù)式的化簡(jiǎn)，通常采用“零點(diǎn)分段”的辦法，將帶有絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式在各“取
值段”化簡(jiǎn)，即可去掉絕對(duì)值符號(hào).比如化簡(jiǎn)|x-1|+|x-3| 時(shí)，可令x-1=0 和x-3=0,
分別求得x=1,x=3 (稱1,3分別是|x-1| 和 |x-3| 的零點(diǎn)值),這樣可以就xx+1 的解集為： x>-2,
故答案為： x>-2;
[知識(shí)遷移],如圖，
圖④
∵點(diǎn)A(m,3)在 y=x+1 上，
∴m+1=3,
解得： m=2,
∴A(2,3)
∵當(dāng)x≤2 時(shí)，直線y=ax+b 的圖象在y=x+1
∴不等式ax+b≥x+1,
即x+l≤ax+b 的解集為：x≤2
故答案為： x≤2;
[問題解決],如圖，
根據(jù)題意得：
圖⑤
故圖像為
時(shí)， y=|x-1|+|x-3|
的圖象在y=x+2
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)
當(dāng)x>6 時(shí)， y=|x-1|+|x-3|
的圖象的上方，
圖⑥
的圖象在y=x+2 的上方，
的上方，
故不等式|x-1|+|x-3>x+2 的解集為： 或x>6,
故答案為： 或x>6.
22.(1)問題提出：如圖1,點(diǎn)E 為等腰△ABC內(nèi)一點(diǎn)， AB=AC,∠BAC=α, 將AE繞
著點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到AD, 求證：AABE=AACD.
(2)嘗試應(yīng)用：如圖2,點(diǎn)D 為等腰RtAABC外一點(diǎn)， AB=AC,BD⊥CD, 過點(diǎn)A的直 線分別交 DB的延長(zhǎng)線和CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,M, 若∠M=60°, 求證： MC+NB=2AM.
(3)問題拓展：如圖3,△ABC 中 ，AB=AC, 點(diǎn) D,E 分別在邊 AC,BC 上，
∠BDA=∠BEA=60°,AE,BD 交于點(diǎn)H. 若CE=5,AH=3, 求BE 的長(zhǎng)度.
圖1
圖3
【解答】(1)證明：∵將AE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到AD,
∴∠EAD=a,AE=AD,
· ∠BAC=α,
∴∠BAC=∠EAD,
∴∠BAE=∠CAD,
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE=△ACD(SAS);
(2)證明：延長(zhǎng)MC 至G, 使 CG=BN, 連 接AG, 設(shè) BD交AC 于K, 如圖：
G
∵∠BAK=90°=∠CDK,∠AKB=∠DKC,
∴∠ABK=∠DCK,
∴∠ABN =∠ACG,
在△ABN 和AACG中，
∴△ABN=△ACG(SAS),
∴∠BAN =∠CAG,
∵∠CAG+∠BAG=90°,
∴∠BAN+∠BAG=90°, 即∠NAG=90°,
∴∠MAG=90°
∵∠M=60°
∴∠G=30°,
∴MG=2AM,
∵M(jìn)G=MC+CG=MC+NB,
∴MC+NB=2AM;
(3)解：將AB 繞 點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AF, 作 AM⊥BC 交 BC 于 M, 連 接BF,EF,
如圖：
B
∵將AB繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AF,
∴AB=AF,∠BAF=60°,
∴△ABF為等邊三角形，
∴BF=AF=AB=AC,∠AFB=∠ABF=60?=∠BDA=∠BEA,
∵∠AHD=∠BHE,
∴∠3=∠2,
∵∠AKE=∠BKF,
∴∠4=∠1,
∵∠AEB=60?=∠C+∠2,∠ABF=60?=∠ABD+∠3+∠4,
∴∠C+∠2=∠ABD+∠3+∠4,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABD+∠3,
∴∠2=∠4,
∴∠1=∠2=∠3=∠4;
在△ACE 和 AAFE 中，
∴△ACE=△AFE(SAS),
∴CE=EF=5,∠AEC=∠AEF,
∵∠AEB=60°,
∴∠AEC=∠AEF=120°,
∴∠BEF=∠AEF-∠AEB=60?=∠AEB,
∵∠3=∠4,BE=BE,
∴△BEH=△BEF(ASA),
∴EH=EF=5,
∴AE=AH+EH=3+5=8,
∵AM⊥BC,∠AEM=60°,
∴∠MAE=30°,
∴CM=EM+CE=4+5=9,
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BM=CM=9,
∴BE=BM+EM=9+4=13;
∴BE的長(zhǎng)度為13.

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