高一數(shù)學(xué)
命題人：汪崢
說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分；第Ⅰ卷客觀題58分，第Ⅱ卷主觀題92分，共150分；第Ⅰ卷需用2B鉛筆填涂到答卷上，第Ⅱ卷用黑色的簽字筆或鋼筆于答卷上作答；考試時(shí)間120分鐘.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，從而得到其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.
故選：C
2. 已知是兩個(gè)不共線的向量，且，則（ ）
A. 三點(diǎn)共線B. 三點(diǎn)共線
C. 三點(diǎn)共線D. 三點(diǎn)共線
【答案】A
【解析】
【分析】借助向量運(yùn)算與共線定理即可得.
【詳解】，故，則，
又因?yàn)閮上蛄坑泄颤c(diǎn)，
故三點(diǎn)共線.
故選：A.
3. 如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′中，，則該平面圖形的面積為（ ）

A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直觀圖與原平面圖形的關(guān)系作出原平面圖形，求出相應(yīng)邊長(zhǎng)后計(jì)算面積．
【詳解】作出原來(lái)的平面圖形，如圖，，，
在題設(shè)等腰梯形中，，因此，
所以．
故選：D．

4. 以下四個(gè)結(jié)論：
①若，則為異面直線；
②若，則為異面直線；
③沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行直線；
④兩條不平行的直線就一定相交．
其中正確答案的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】分別根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合空間兩直線的位置關(guān)系的判定方法，以及異面直線的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解．
【詳解】對(duì)于①中，若滿足的直線可能是異面直線，可能是平行直線也可能是相交直線，所以①錯(cuò)誤．
對(duì)于②中，根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系可知，平面內(nèi)的直線和平面外的直線，可能是異面直線，可能是平行直線，也可能相交直線，所以②錯(cuò)誤．
對(duì)于③中，在空間中，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行直線或者是異面直線，所以③錯(cuò)誤．
對(duì)于④中，在空間中，兩條不平行的直線可能是異面直線，所以④錯(cuò)誤．
故選：A．
5. 若，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得和的值，結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求解.
詳解】由題意，可得，，
因?yàn)?，，可得，?br>則
.
故選：C.
6. 中，分別是角的對(duì)邊，且，則的形狀為（ ）
A. 直角三角形B. 鈍角三角形
C. 直角或鈍角三角形D. 銳角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式、正弦定理和和差公式化簡(jiǎn)可得，然后根據(jù)角的范圍判斷三角形形狀即可.
【詳解】由得，
即，
因?yàn)?，所以，則，
，
，
，
，
又，所以，，所以角為鈍角，為鈍角三角形.
故選：B.
7. 一艘游輪航行到處時(shí)看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時(shí)再看燈塔在其南偏東方向，則此時(shí)燈塔位于游輪的（ ）
A. 正西方向B. 南偏西方向C. 南偏西方向D. 南偏西方向
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正確答案.
【詳解】如圖，在中，，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因?yàn)?，所以解得?br>由正弦定理得，故或，
因?yàn)?，故為銳角，所以，
此時(shí)燈塔位于游輪的南偏西方向.
故選：C
8. 已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用可以求解的向量來(lái)表示.
【詳解】記圓心為，則，
因?yàn)榛橄喾聪蛄浚?br>所以，
因?yàn)檎呅蜛BCDEF的邊長(zhǎng)為2，為正六邊形的中心，
所以當(dāng)與正六邊形頂點(diǎn)重合時(shí)，有最大值2，
當(dāng)在正六邊形邊上的中點(diǎn)處時(shí)，有最小值，此時(shí).

所以.
故選：B
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 與的夾角為
C. D. 在上的投影向量為
【答案】BC
【解析】
【分析】求得的值判斷選項(xiàng)A；求得與的夾角判斷選項(xiàng)B；求得的值判斷選項(xiàng)C；求得在上的投影向量判斷選項(xiàng)D.
【詳解】選項(xiàng)A：由，，
可得，則，
則.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：，
又，則.判斷正確；
選項(xiàng)C：，
由，可得.判斷正確；
選項(xiàng)D：在上的投影向量為
.判斷錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 下列命題中正確的是（ ）
A. 用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為，則球的表面積為
B. 圓柱形容器底半徑為，兩直徑為的玻璃球都浸沒(méi)在容器的水中，若取出這兩個(gè)小球，則容器內(nèi)水面下降的高度為
C. 正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，其體積為
D. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐的體積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用球的截面小圓性質(zhì)計(jì)算判斷A；利用球及圓柱的體積公式計(jì)算判斷B；利用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算判斷C；求出圓錐的體積判斷D.
【詳解】對(duì)于A，截面小圓半徑為1，則球半徑，該球的表面積為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)容器內(nèi)水面下降的高度為，則，解得，B正確；
對(duì)于C，正四棱臺(tái)的高，體積為，C正確；
對(duì)于D，圓錐底面圓半徑，則，解得，圓錐的高，
體積為，D正確.
故選：BCD
11. 在三角形所在平面內(nèi)，點(diǎn)滿足，其中，，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，直線一定經(jīng)過(guò)三角形的重心
B. 當(dāng)時(shí)，直線一定經(jīng)過(guò)三角形的外心
C. 當(dāng)時(shí)，直線一定經(jīng)過(guò)三角形的垂心
D. 當(dāng)時(shí)，直線一定經(jīng)過(guò)三角形的內(nèi)心
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)于A，點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)重心的性質(zhì)和已知條件分析判斷，對(duì)于B，由向量的加法法則分析判斷，對(duì)于C，化簡(jiǎn)即可得結(jié)論，對(duì)于D，結(jié)合正弦定理得，進(jìn)一步由A選項(xiàng)分析可知.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以，所以直線一定經(jīng)過(guò)三角形的重心，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)闉榕c方向相同單位向量，為與方向相同的單位向量，
所以平分，即直線一定經(jīng)過(guò)三角形的內(nèi)心，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，所以直線一定經(jīng)過(guò)三角形的垂心，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
而由正弦定理有，即有，
結(jié)合A選項(xiàng)分析可知直線一定經(jīng)過(guò)三角形的重心，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷的C關(guān)鍵是得到等于0，由此即可順利得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知以為起點(diǎn)的向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示、網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則______.

【答案】2
【解析】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算即可得，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
設(shè)一小格為1單位，則，，，
則，

故答案為：2.
13. 在中，若，則____________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解即得.
【詳解】在中，由，得，
由余弦定理得，而，
所以.
故答案為：
14. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確的是 _____（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

①當(dāng)時(shí)，為等腰梯形.
②當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足.
③當(dāng)時(shí)，為四邊形.
④當(dāng)時(shí)，的面積為.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，由相關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】①如圖當(dāng)時(shí)，即為中點(diǎn)，此時(shí)可得，
，
故可得截面為等腰梯形，故①正確；

②當(dāng)時(shí)，如圖，
延長(zhǎng)至，使，連接交于，連接交于，
連接，可證，由，
可得，故可得，故②正確；

③由②可知當(dāng)時(shí)，只需點(diǎn)上移即可，
此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的，顯然為五邊形，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)時(shí)，與重合，取的中點(diǎn)，連接，
可證，且，
可知截面為為菱形，故其面積為，故④正確．

故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵．
確定截面的依據(jù)如下：（1）平面的四個(gè)公理及推論；（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì)；（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)；（4）球的截面的性質(zhì)．
四、解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.
15. 如圖，在四棱錐中，已知底面為平行四邊形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)平面平面，點(diǎn)在上，求證：為的中點(diǎn)．
【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（2）證明過(guò)程見(jiàn)詳解.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)線面平行的判定定理，直接證明，即可得出結(jié)果.
（2）先由線面平行的性質(zhì)定理，得到，進(jìn)而可得結(jié)論成立.
【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以?br>又平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得，，
因?yàn)?，所以?br>又點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，
所以為的一條中位線，因此為的中點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查證明線面平行，考查由線面平行判斷線線平行，解題的關(guān)鍵在于熟記線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，將第二問(wèn)要證明的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為證明即可，屬于基礎(chǔ)題.
16. 已知向量是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；
（2）若是單位向量，且，求與的夾角.
（3）若，求向量在向量上的投影向量（用坐標(biāo)表示）.
【答案】（1）或；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）借助共線向量定理表示出，再利用模的坐標(biāo)表示求解即得.
（2）利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量的運(yùn)算律求出夾角的余弦即得.
（3）利用投影向量的意義求出向量在向量上的投影向量.
【小問(wèn)1詳解】
由，，令，
由，得，
解得，所以或.
【小問(wèn)2詳解】
由，得，由，得，則，
而，則，又，
所以與的夾角.
【小問(wèn)3詳解】
向量，則，，
所以向量在向量上的投影向量.
17. 已知函數(shù)
（1）寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)，求的最值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；
（2）答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性分類求解即得.
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，分類求出的最值.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，函數(shù)
當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，在處取得最大值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)處取得最小值，在處取得最大值.
18. 中，為邊的中點(diǎn)，.
（1）若的面積為，且，求的值；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用面積公式求出，在中由余弦定理求出，再由正弦定理求出；
（2）設(shè)，，分別利用余弦定理表示出、，從而得到，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，
又，即，解得，
在中由余弦定理，
即，所以，
在中由正弦定理，即，解得.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
因?yàn)?，所以，則，
所以，
所以，
所以，即.
19. “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且
（1）求；
（2）若，設(shè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，求；
（3）設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡(jiǎn)可得，即可求得答案；
（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
（3）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
小問(wèn)2詳解】
由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，
設(shè)，由得：
，整理得，
則
.
【小問(wèn)3詳解】
點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實(shí)數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，從而結(jié)合（1）的結(jié)論可解答第二問(wèn)，解答第二問(wèn)的關(guān)鍵在于設(shè)，推出，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.

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廣東省廣州市第六十五中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
廣東省廣州市第六十五中學(xué)2024屆高三上學(xué)期8月摸底數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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