一、選擇題
1．已知集合，，，則( )
A.B.C.D.
2．復(fù)數(shù)，則( )
A.B.C.2D.
3．某公司收集了某商品銷售收入y（萬元）與相應(yīng)的廣告支出x（萬元）共10組數(shù)據(jù)（，2，3，…，10），繪制出如下散點圖，并利用線性回歸模型進行擬合.
若將圖中10個點中去掉A點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法正確的是( )
A.決定系數(shù)變小B.殘差平方和變小
C.相關(guān)系數(shù)r的值變小D.解釋變量x與預(yù)報變量y相關(guān)性變?nèi)?br>4．已知D，E分別為的邊，的中點，若，，則點C的坐標為( )
A.B.C.D.
5．已知數(shù)列滿足，（），則( )
A.B.C.D.2
6．已知平面區(qū)域，則的最大值為( )
A.8B.4C.3D.2
7．在區(qū)間隨機取1個數(shù)x，則x使得的概率為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是( )
A.的最小值為
B.在區(qū)間上單調(diào)遞增
C.的最小正周期為
D.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到
9．如圖，菱形的對角線與交于點O，是的中位線，與交于點G，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形﹐且平面.給出下列結(jié)論：
①平面；
②平面平面；
③“直線直線”始終不成立.
其中所有正確結(jié)論的序號為( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
10．已知函數(shù)，給出下列4個圖象：
其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
11．已知，分別是雙曲線（，）的左右焦點，若過的直線與圓相切，與C在第一象限交于點P，且軸，則C的離心率為( )
A.B.3C.D.
12．已知a，b，c均為正數(shù)，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．已知函數(shù)，則的值為__________.
14．已知，則曲線在點處的切線方程為__________.
15．已知數(shù)列的前n項和為，且，，則__________.
16．一個圓錐的頂點和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為__________.
三、解答題
17．某校在課外活動期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動和體育鍛煉類活動，為了解學(xué)生對這兩類活動的參與情況，統(tǒng)計了如下數(shù)據(jù)：
（1）通過計算判斷，有沒有的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)系？
（2）為收集學(xué)生對課外活動建議，在參加文化藝術(shù)類活動的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取了6名同學(xué).若在這6名同學(xué)中隨機抽取2名，求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名女生的概率.
附表及公式：
其中，.
18．如圖，在三棱錐中，M為邊上的一點，，，，.
（1）證明：平面；
（2）設(shè)點Q為邊的中點，試判斷三棱錐的體積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由.
19．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求角C；
（2）若是的角平分線，，的面積為，求c的值.
20．在直角坐標系中，設(shè)F為拋物線（）的焦點，M為C上位于第一象限內(nèi)一點.當(dāng)時，的面積為1.
（1）求C的方程；
（2）當(dāng)時，如果直線l與拋物線C交于A，B兩點，直線，的斜率滿足.證明直線l是恒過定點，并求出定點坐標.
21．已知函數(shù).
（1）若存在極值，求a的取值范圍；
（2）若，，證明：.
22．在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.
（1）求C的普通方程和l的直角坐標方程；
（2）設(shè)直線l與x軸相交于點A，動點B在C上，點M滿足，點M的軌跡為E，試判斷曲線C與曲線E是否有公共點.若有公共點，求出其直角坐標；若沒有公共點，請說明理由.
23．已知a，b，c均為正數(shù)，且.
（1）是否存在a，b，c，使得，說明理由；
（2）證明：.
參考答案
1．答案：C
解析：由，，得，
而，所以.
故選：C.
2．答案：D
解析：因為，
所以，
故選：D.
3．答案：B
解析：從圖中可以看出A點較其他點，偏離直線遠，故去掉A點后，回歸效果更好，
故決定系數(shù)會變大，更接近于1，殘差平方和變小，
相關(guān)系數(shù)r的絕對值，即會更接近于1，由圖可得x與y正相關(guān)，故r會更接近于1，
即相關(guān)系數(shù)r的值變大，解釋變量x與預(yù)報變量y相關(guān)性變強，
故A、C、D錯誤，B正確.
故選：B.
4．答案：A
解析：因為D，E分別為，的中點，
所以，
設(shè)，又，所以，
即，解得.
故選：A.
5．答案：A
解析：因為，，
所以，，
，，……，
又，所以.
故選：A.
6．答案：B
解析：如下圖所示，不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分，
在直線方程中，令，解得，
得點A的坐標為，作直線，
直線l在y軸上的截距為，
當(dāng)直線l經(jīng)過區(qū)域中的點時，
直線l在y軸上的截距最小，此時z取最大值，
即.
故選：B.
7．答案：C
解析：因為，又，
所以，，，
即有時，成立，
.
在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，則x使得的概率為.
故選：C.
8．答案：D
解析：因為，
因為，所以，所以，故A錯誤；
當(dāng)時，因為在上不單調(diào)，
所以在區(qū)間上不單調(diào)，故B錯誤；
的最小正周期，故C錯誤；
將的圖象向右平移個單位得到
，故D正確.
故選：D.
9．答案：B
解析：菱形的對角線與交于點O，是的中位線，則，
而平面，平面，因此平面，①正確；
連接，由，得，，而，，平面，
則平面，又平面，因此平面平面，②正確；
顯然是二面角的平面角，由繞旋轉(zhuǎn)過程中，
從逐漸減小到（不包含和），當(dāng)時，，
，，平面，則平面，而平面，于是，③錯誤，
所以所有正確結(jié)論的序號為①②.
故選：B.
10．答案：D
解析：由題意知，定義域為R，
當(dāng)時，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)單調(diào)遞增，可對應(yīng)①；
當(dāng)時，，令可得：，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)先減后增，且當(dāng)時，，此時可對應(yīng)②；
當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)先增后減，
當(dāng)時，，且此時，所以可對應(yīng)③，
當(dāng)時，，此時，所以可對應(yīng)④.
故選：D.
11．答案：D
解析：如圖，設(shè)，圓的圓心為，半徑為c，
過點的直線與圓M相切于點D，則，，
，則，所以，
因為軸，所以易得，，
化簡得，即，解得，
.
故選：D.
12．答案：B
解析：可變形為：，可變形為：，可變形為：，
令，，，，且，
可知a，b，c分別為函數(shù)與，，的交點橫坐標，
當(dāng)時，單調(diào)遞增且，，
，，這三個函數(shù)全部單調(diào)遞減，且，，，，
由零點存在性定理可知：a，b，，所以只需判斷，，這三個函數(shù)的單調(diào)性，在范圍內(nèi)下降速度快的，交點橫坐標小，下降速度慢的交點橫坐標大，
由圖象可知，下降速度最慢，所以最大，
，，時，，所以交點，
故選：B.
13．答案：
解析：，
.
故答案為：.
14．答案：
解析：由求導(dǎo)得，則，而，
所以所求切線方程為，即.
故答案為：.
15．答案：
解析：數(shù)列中，由，得當(dāng)時，，
則，
顯然滿足上式，因此，
所以.
故答案為：.
16．答案：
解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則圓錐的體積為，
當(dāng)圓錐頂點與底面在球心O的同側(cè)時，有，，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，又，所以等號不成立.
當(dāng)圓錐頂點與底面在球心O的異側(cè)時，，，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
此時，即.
所以當(dāng)圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為.
故答案為：.
17．答案：（1）有的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)
（2）
解析：（1）由表格數(shù)據(jù)可得：，
有的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān).
（2）抽取的6名同學(xué)中，男生有人，女生有人，
記事件A為“抽取的2名同學(xué)中至少有1名女生”，
則，，
即抽取的2名同學(xué)中至少有1名女生的概率為.
18．答案：（1）詳見解析
（2）
解析：（1）因為，，，
所以，由射影定理得，
所以，由余弦定理得，
所以，則，即，
又因為，，
所以平面；
（2）因為點Q為邊的中點，
所以，又，
所以，
因為平面，所以平面平面，
所以點P到平面ABC的距離，即為點P到BM的距離，設(shè)為h，
因為為定值，
當(dāng)h最大時，所以三棱錐的體積最大，
而，則，
當(dāng)h=1時，.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由及正弦定理得，，
所以，因為，
所以，又，所以.
（2）由，得，
又，
，所以，
由余弦定理得，
所以.
20．答案：（1）
（2）恒過定點
解析：（1）由，所以，設(shè)，，
，
，解得，
所以拋物線C的方程為.
（2）如圖，設(shè)，，，，
，解得，
所以點M的坐標為.
由題意直線l的斜率不為0，設(shè)，，，
聯(lián)立，消去x整理得，
則，，，
因為，所以，
即，整理得，
將，代入上式，
，滿足，
所以直線l為，恒過定點.
21．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由，，得，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，不存在極值；
當(dāng)時，令，則，
當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞增.
所以是的極小值點，
所以當(dāng)時，存在極值，
綜上所述，存在極值時，a的取值范圍是.
（2）欲證不等式在時恒成立，
只需證明在時恒成立.
設(shè)，，
則，
令，，
則.
當(dāng)時，，所以，
所以即在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，所以，
故，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即當(dāng)，時，不等式恒成立.
22．答案：（1）C的普通方程為，l直角坐標方程為
（2）存在，坐標為，
解析：（1）由題設(shè)曲線C的參數(shù)方程，消參得，
由，，且得，，化簡得，
C的普通方程為，l直角坐標方程為.
（2）當(dāng)時，，易知，設(shè)，
可得，，，（a是參數(shù)），
消參得方程為，且，，，，
則圓心距離，得，
則兩圓相交，故兩圓存在公共點，聯(lián)立方程組，
解得或，故坐標為，.
23．答案：（1）不存在，理由見解析
（2）證明見解析
解析：（1）不存在a，b，c，使得.理由如下：
因為a，b，c都是正數(shù)，且，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
即的最小值為，
所以不存在a，b，c，使得.
（2）因為
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以.
文化藝術(shù)類
體育鍛煉類
合計
男
女
合計

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