【二輪復(fù)習(xí)】中考數(shù)學(xué) 題型9 二次函數(shù)綜合題類型11 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問(wèn)題（專題訓(xùn)練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．
(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，；(2)滿足條件的E、F兩點(diǎn)存在，，，；(3)當(dāng)時(shí)，的最大值為
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，在中，，解得或4，進(jìn)而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為得出，進(jìn)而可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）滿足條件的、兩點(diǎn)存在，，，
解：①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、.

過(guò)點(diǎn)作軸于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)故舍去；
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述：，，
（3）∵向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線
當(dāng)，即
解得：
∴，
∵過(guò)，，三點(diǎn)
∴
在直線下方的拋物線上任取一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為．直線過(guò)點(diǎn)，且平行于軸，與拋物線交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)連接，若為直角三角形，求此時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長(zhǎng)度的最小值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)，見解析
【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性，即可求解．
（2）由題意得，的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，則拋物線．進(jìn)而得出可得，①當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當(dāng)時(shí)，此情況不存在．
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積為3，符合題意．由題意可求得．取的中點(diǎn)，在中可求得．在中可求得．易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為．
【詳解】（1）∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
∵，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．
∴．
（2）由題意得，的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，拋物線．
∴當(dāng)時(shí)，可得．
①當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)作軸，垂足為．
∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵，
∴．
∵直線軸，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵點(diǎn)在圖像上，
∴．
解得或．
∵當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)重合，舍去．當(dāng)時(shí)，符合題意．
將代入，
得．

②當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
同理可得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵點(diǎn)在圖像上，
∴．解得或．
∵，
∴．此時(shí)符合題意．
將代入，得．
③當(dāng)時(shí)，此情況不存在．
綜上，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或．
（3）如圖3，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)
則，，則的面積為1，不合題意舍去．
當(dāng)時(shí)，，
則，
∴，此時(shí)的面積為3，符合題意
∴．
依題意，四邊形是正方形，
∴．
取的中點(diǎn)，在中可求得．
在中可求得．
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊三角形問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，面積問(wèn)題，分類討論是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．

(1)如果四個(gè)點(diǎn)中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．
①________；
②如圖1，已知菱形的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長(zhǎng)；
③如圖2，已知正方形的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)已知正方形的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．
【答案】(1)①1；②；③是，值為1；(2)或
【分析】（1）①當(dāng)，，可知不在二次函數(shù)圖象上，將代入，求解值即可；②由①知，二次函數(shù)解析式為，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，由菱形的性質(zhì)得，，，則軸，，根據(jù)，即，計(jì)算求出滿足要求的解即可；③如圖2，連接、交點(diǎn)為，過(guò)作軸于，過(guò)作于，由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點(diǎn)，，，則，證明，則，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，計(jì)算求解即可1；
（2）由題意知，分①當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，三種情況求解；①當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，解得；②當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，求解過(guò)程同（2）①；③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，且不垂直于軸時(shí)，同理可求，當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，且垂直于軸時(shí)，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，．
【詳解】（1）①解：當(dāng)，，
∴不在二次函數(shù)圖象上，
將代入，解得，
故答案為：1；
②解：由①知，二次函數(shù)解析式為，
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，
由菱形的性質(zhì)得，，，
∴軸，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的邊長(zhǎng)為；
③解：如圖2，連接、交點(diǎn)為，過(guò)作軸于，過(guò)作于，

由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點(diǎn)，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由題意知，，，，則，，
設(shè)，則，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，
∴，
∴，
∴是定值，值為1；
（2）解：由題意知，分①當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，三種情況求解；
①當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，
∵，
同理（1）③，，，
由題意知，，，，則，，
設(shè)，則，，
∴，，，，
∴，，
∴，
化簡(jiǎn)得，
∵
∴；
②當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，
同理可求；
③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，且不垂直于軸時(shí)，
同理可求，
當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，且垂直于軸時(shí)，
由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，；
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，正方形、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
4．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，_______．
②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．
(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長(zhǎng)．
(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．
①_______；
②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．
【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照（1）①先求出，進(jìn)而求出，則；
（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，由此求出當(dāng)時(shí)，，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出，進(jìn)而求出當(dāng)時(shí)，求得t的值即可得答案；
（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點(diǎn)，則，是函數(shù)上的兩點(diǎn)，由此可得，則，根據(jù)題意可以看作，則；②由（3）①可得，再由，得到，繼而得答案．
【詳解】（1）解：∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：3；
②∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在勻速運(yùn)動(dòng)，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由圖2可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，
∴，
解得，
∴當(dāng)時(shí)，，
由圖2可知，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，
把代入中得：，
解得，
∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，
在中，當(dāng)時(shí)，解得或，
∴；
（3）解：①∵點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∴可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個(gè)單位得到的，
設(shè)是函數(shù)上的兩點(diǎn)，則，是函數(shù)上的兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∵存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案為：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，直線交于點(diǎn)，求的最大值；
(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式坐標(biāo)公式和待定系數(shù)法分別求出，，值，即可求出拋物線解析式．
（2）利用拋物線的解析式可知道點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線的解析式，從而設(shè)，根據(jù)直線的解析式可推出，從而可以用表達(dá)長(zhǎng)度，在觀察圖形可知，將其和長(zhǎng)度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，根據(jù)橫坐標(biāo)取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出的最大值．
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和可求出，再利用相似和可推出，設(shè)，即可求出直線的解析式，用表達(dá)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，最后代入拋物線解析式，求出的值即可求出點(diǎn)橫坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，，
，
，
拋物線的解析式為：．
故答案為：．
（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示，

拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點(diǎn)，
，
，
設(shè)直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
在直線上，，
在直線上，的解析式為：，
，
．
，
．
，
．
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為：．
故答案為：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，
拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點(diǎn)，
．
設(shè)直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
，在直線上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵在于能否將面積問(wèn)題和二次函數(shù)有效結(jié)合．
6.（2022·浙江湖州）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．
(1)①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
②求b，c的值．
(2)若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．
【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②
(2)；
【分析】（1）①根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)即可求解；②利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）證明Rt△ABP∽R(shí)t△PCM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到n關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
(1)
解：①∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為3，
∴點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；
②把點(diǎn)A(3，0)，C(0，3)的坐標(biāo)分別代入y=?x2+bx+c，
得，解得；
(2)
解：由題意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，
∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCM，
∴，即．
整理，得，即．
∴當(dāng)時(shí)，n的值最大，最大值是．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對(duì)稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若以的切線長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)；(2)或或
【分析】（1）令求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可解答；
（2）由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進(jìn)而可得切線長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積為；過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方和下方兩種情況解答即可．
【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，
∴．
（2）解：∵拋物線過(guò)
∴拋物線的對(duì)稱軸為，
設(shè)，
∵，
∴,
如圖：連接，則，
∴，
∴切線為邊長(zhǎng)的正方形的面積為，
過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為H，則：，
∴
∵，
∴，

假設(shè)過(guò)點(diǎn),則有以下兩種情況：
①如圖1：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即

∴，解得：或，
∵
∴；
②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即

∴，解得：，
∵
∴；
綜上，或．
∴當(dāng)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．
8.（2022·山東泰安）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線，與x軸的另一交點(diǎn)為C．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M在直線上，且在第四象限，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N．
①若點(diǎn)N在線段上，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②以為對(duì)角線作正方形（點(diǎn)P在右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1) (2)①；②
【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；
（2）①先求出直線的表達(dá)式為，然后設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．可得．可得到，．再由，即可求解；②連接與交與點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為
根據(jù)正方形的性質(zhì)可得E的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)．再由點(diǎn)P在拋物線上，即可求解．
(1)解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
．
又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
解得∶
拋物線的表達(dá)式為．
(2)
解∶①設(shè)直線的表達(dá)式為．
點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，，
∴，解得∶ ，
直線的表達(dá)式為．
根據(jù)題意得∶點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，
．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
軸，
．
∴
．
，
解，得．
點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②連接與交與點(diǎn)E．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為
四邊形是正方形，
，，．
∵M(jìn)N⊥x軸，
軸．
E的坐標(biāo)為．
．
．
∴P的坐標(biāo)．
點(diǎn)P在拋物線上，
．
解，得，．
點(diǎn)P在第四象限，
舍去．
即．
點(diǎn)M坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線．是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)；是直線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，以，為邊作矩形．
（1）求的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值．
（3）當(dāng)矩形是正方形，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求的值．
（4）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．
【解析】
【分析】
（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得b的值；
（2）分別表示出P、Q、M的坐標(biāo)，根據(jù)Q、M的橫坐標(biāo)相同，它們重合時(shí)縱坐標(biāo)也相同，列出方程求解即可；
（3）分別表示出PQ和MQ的長(zhǎng)度，根據(jù)矩形是正方形時(shí)，即可求得m的值，再根據(jù)頂點(diǎn)在正方形內(nèi)部，排除不符合條件的m的值；
（4）分，，，四種情況討論，結(jié)合圖形分析即可．
【詳解】
解：（1）將點(diǎn)代入
得，
解得b=1,；
（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，
∴,
∵于點(diǎn)，
∴,
∵是直線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，
∴，
若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則
，
解得；
（3）由（2）可得，，
當(dāng)矩形是正方形時(shí)，
即，
即或，
解得，
解得，
又，
∴拋物線的頂點(diǎn)為(1，2)，
∵拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部，
∴P點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，即，且M點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即，
解得，故m的值為；
（4）①如下圖
當(dāng)時(shí)，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，
則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該小于P點(diǎn)縱坐標(biāo)，且P點(diǎn)應(yīng)該在x軸上側(cè)，
即且，
解得，
解得，
∴，
②如下圖
當(dāng)時(shí)，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，
則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該小于P點(diǎn)縱坐標(biāo)，
即，解得，
∴；
③當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)和M點(diǎn)都在直線x=3上不構(gòu)成矩形，不符合題意；
④如下圖
當(dāng)時(shí)，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，
則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該大于P點(diǎn)縱坐標(biāo)，
即，解得或，
故，
綜上所述或．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)綜合，正方形的性質(zhì)定理，求二次函數(shù)解析式．能分別表示出M、P、Q的坐標(biāo)并結(jié)合圖形分析是解決此題的關(guān)鍵，注意分類討論．
10.如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）在射線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，或．
【解析】
【分析】
（1）直接將和點(diǎn)代入，解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過(guò)點(diǎn)P作PG軸，交軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，根據(jù)三角形PBC的面積列關(guān)于t的方程，解出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關(guān)系，即可得出答案．
【詳解】
（1）拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)
拋物線解析式為：
（2）當(dāng)時(shí)，
直線BC解析式為：
過(guò)點(diǎn)P作PG軸，交軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F
設(shè)
即
（3）
為等腰直角三角形
拋物線的對(duì)稱軸為
點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3
又點(diǎn)E在直線BC上
點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5
設(shè)
①當(dāng)MN=EM，,時(shí)
解得或（舍去）
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為
②當(dāng)ME=EN，時(shí)
解得：或（舍去）
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為
③當(dāng)MN=EN，時(shí)
連接CM，易知當(dāng)N為C關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，，
此時(shí)四邊形CMNE為正方形
解得：（舍去）
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為
在射線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，或．
【點(diǎn)睛】
本題是一道綜合題，涉及到二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，解答類似題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線．
11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-23x2+bx+c，經(jīng)過(guò)A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三點(diǎn)，且|x2-x1|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）b=-143，c=-4；（2）D（-72，256）；（3）存在一點(diǎn)P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形，不能為正方形．
【解析】
試題分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及|x2-x1|=5，可求出b；
（2）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對(duì)角線必在拋物線的對(duì)稱軸上，滿足條件的D點(diǎn)，就是拋物線的頂點(diǎn)；
（3）由四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可，再根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)與線段OB的長(zhǎng)度關(guān)系，判斷是否為正方形即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=-23x2+bx+c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣4），∴c=﹣4，
又∵由題意可知，x1、x2是方程-23x2+bx-4=0的兩個(gè)根，∴x1+x2=32b，x1x2=6，由已知得(x2-x1)2=25，∴x12+x22-2x1x2=25，∴(x1+x2)2-4x1x2=25，∴94b2-24=25，解得：b=±143，
當(dāng)b=143時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴b=-143；
（2）∵四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上，又∵y=-23x2-143x-4=-23(x+72)2+256，∴拋物線的頂點(diǎn)（-72，256）即為所求的點(diǎn)D；
（3）∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線x=﹣3與拋物線y=-23x2-143x-4的交點(diǎn)，∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，y=-23×(-3)2-143×(-3)-4=4，∴在拋物線上存在一點(diǎn)P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形．
四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻倪呅蜝POH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（﹣3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上．
考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．探究型；3．存在型；4．壓軸題．
12.如圖，頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，過(guò)作軸于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)心為，試求的最小值．
【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為或或或時(shí)，為直角三角形；（3）最小值為.
【解析】（1）結(jié)合題意，用待定系數(shù)法即可求解；
（2）分3種情況討論，用勾股定理即可求解；
（3）根據(jù)正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.
【詳解】（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)，，
∴，解得：，
∴這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.
（2）在軸上存在點(diǎn)，使得為直角三角形．
∵，
∴頂點(diǎn)，
∴，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，，
①若，則.
∴，
解得：，
∴.
②若，則，
∴，
解得：，，
∴或.
③若，則，
∴，
解得：，
∴.
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或時(shí)，為直角三角形．
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
∵軸于點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵點(diǎn)為的內(nèi)心，
∴，，，，
∴矩形是正方形，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴化簡(jiǎn)得：，
配方得：，
∴點(diǎn)與定點(diǎn)的距離為.
∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，
∵，
∴，
∴最小值為.
【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.
13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為好點(diǎn)．點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求該拋物線下方（包括邊界）的好點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）當(dāng)時(shí)，求該拋物線上的好點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)，求m的取值范圍．
【答案】（1）好點(diǎn)有：，，，和，共5個(gè)；（2），和；（3）.
【解析】
【分析】
（1）如圖1中，當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x2+2，畫出函數(shù)圖象，利用圖象法解決問(wèn)題即可；（2）如圖2中，當(dāng)m＝3時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5，如圖2，結(jié)合圖象即可解決問(wèn)題；（3）如圖3中，拋物線的頂點(diǎn)P（m，m+2），推出拋物線的頂點(diǎn)P在直線y＝x+2上，由點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F(xiàn)（2，2），觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外），求出拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E或點(diǎn)F時(shí)Dm的值，即可判斷．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式為
畫出函數(shù)圖像（圖1）
圖1
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和
好點(diǎn)有：，，，和，共5個(gè)
（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式為
畫出函數(shù)圖像（圖2）
圖2
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
該拋物線上存在好點(diǎn)，坐標(biāo)分別是，和
（3）拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為
點(diǎn)P支直線上
由于點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，則
如圖3，點(diǎn)，
圖3
當(dāng)頂點(diǎn)P支正方形OABC內(nèi)，且好點(diǎn)恰好存在8個(gè)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外）
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，
解得：，（舍去）
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，
解得：，（舍去）
當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)，恰好存在8個(gè)好點(diǎn)
【點(diǎn)睛】
本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，好點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確畫出圖象，利用圖象法解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)解決問(wèn)題．
14.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過(guò)點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D（﹣2，0），點(diǎn)P是線段CB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=t（0＜t＜10）．
（1）請(qǐng)直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)t為何值時(shí)，∠PBE=∠OCD？
（3）點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥BQ，交CQ于點(diǎn)M，作PN∥CQ，交BQ于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，請(qǐng)求出t的值．
【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或 .
【解析】
試題分析：（1）由拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）可設(shè)P（t，4），則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PB、PE的長(zhǎng)，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CQ的長(zhǎng)，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
試題解析：
解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，
∴C（0，4），
∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，
解得，
∴拋物線解析式為y＝x2＋x＋4；
（2）由題意可設(shè)P（t，4），則E（t，t2＋t＋4），
∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，
∵∠BPE＝∠COD＝90°，
當(dāng)∠PBE＝∠OCD時(shí)，
則△PBE∽△OCD，
∴，即BP?OD＝CO?PE，
∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合題意，舍去），
∴當(dāng)t＝3時(shí)，∠PBE＝∠OCD；
當(dāng)∠PBE＝∠CDO時(shí)，
則△PBE∽△ODC，
∴，即BP?OC＝DO?PE，
∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合題意，舍去）
綜上所述∴當(dāng)t＝3時(shí)，∠PBE＝∠OCD；
（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，
∴∠CQO＋∠AQB＝90°，
∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，
∴∠OCQ＝∠AQB，
∴Rt△COQ∽R(shí)t△QAB，
∴，即OQ?AQ＝CO?AB，
設(shè)OQ＝m，則AQ＝10﹣m，
∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，
①當(dāng)m＝2時(shí)，CQ＝＝，BQ＝＝，
∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，
∴PM＝PC?sin∠PCQ＝t，PN＝PB?sin∠CBQ＝（10﹣t），
∴t ＝（10﹣t），解得t＝，
②當(dāng)m＝8時(shí)，同理可求得t＝，
∴當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，t的值為或．
點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意利用矩形的性質(zhì)求得B點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得△PBE∽△OCD是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用Rt△COQ∽R(shí)t△QAB求得CQ的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．

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