注意事項；
1.本試卷分第I卷和第Ⅱ卷兩部分.全卷共8頁，滿分120分，考試時間120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷相應(yīng)的位置.
3.答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第I卷 選擇題（共30分）
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1.的算術(shù)平方根是（ ）
A.B.C.3D.
2.不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
3.如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（ ）
A.B.C.D.
4.如圖所示的圖形可以驗證乘法公式.這種根據(jù)圖形驗證數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，簡稱為“無字證明”.它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（ ）
A.統(tǒng)計思想B.分類思想
C.函數(shù)思想D.數(shù)形結(jié)合思想
5.山西的土地肥沃且陽光充足，適宜玉米的生長，玉米是山西地區(qū)主要的經(jīng)濟作物之一.質(zhì)檢中心實驗員對某種玉米種子在相同條件下發(fā)芽試驗的結(jié)果記錄如下表：
則這種玉米種子發(fā)芽的概率約為（ ）
6.下列運算正確的是（ ）
A.B.
C.D.
7.如圖，直線，將一塊含角的直角三角尺按如圖所示的方式放置.若，則的度數(shù)為（ ）
A.B.C.D.
8.如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸于點C，連接，則四邊形的面積為（ ）
A.5B.4C.3D.2
9.如圖1是某城市廣場音樂噴泉，出水口A處的水流呈拋物線形，該水流噴出的高度與水平距離之間的關(guān)系如圖2所示，點B為該水流的最高點，點C為該水流的落地點，且，垂足為點D，.若，，則的長為（ ）
圖1圖2
A.B.C.D.
10.如圖，為的直徑，點C在的延長線上，為的切線，切點為點D，點E在上，且.若，，則的長為（ ）
A.4B.C.D.8
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11.計算的結(jié)果是___________.
12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將平移至的位置.若點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為___________.
13.如圖是用火柴棍拼成的圖形，其中第1個圖形由4個小正六邊形組成，第2個圖形由6個小正六邊形組成，…，按此規(guī)律，則第n個圖形需要___________根火柴棍（用含n的代數(shù)式表示）.
14.小華和小文玩“棒打老虎雞吃蟲”的游戲，游戲規(guī)則為：兩人面對面，各用一根筷子相擊，同時口喊“棒子棒子…”，每人隨機喊出老虎、棒子、雞、蟲中的一個.規(guī)定：以棒打老虎，老虎吃雞，雞吃蟲，蟲吃棒定勝負(fù)；若喊出棒子與雞、老虎與蟲或喊出同一物，則不分勝負(fù).依據(jù)上述規(guī)則，小華和小文同時隨機喊出其中一物，小華取勝的概率是___________.
15.如圖，在中，點E為的中點，點F為上一點，與相交于點H.若，，，則的長為___________.
三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16.（本題共2個小題，每小題5分，共10分）
（1）解不等式組：；
（2）解方程組：.
17.（本題6分）同學(xué)們利用幾何畫圖軟件開展了“圖案設(shè)計”項目式學(xué)習(xí)，下面是三位同學(xué)在的正方形網(wǎng)格中設(shè)計的三種不同圖案的一部分，請將圖1中的圖案補成既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，將圖2中的圖案補成中心對稱圖形，在圖3中設(shè)計一個圖案，使其是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形.
圖1 圖2 圖3
18.（本題7分）“五一國際勞動節(jié)”是世界上80多個國家的全國性節(jié)日，中國中央人民政府政務(wù)院于1949年12月作出決定，將5月1日確定為“勞動節(jié)”.如圖是2024年5月的月歷表，用一個方框在表中圈出六個數(shù)（如圖所示），若圈出的六個數(shù)中，最小的數(shù)與最大的數(shù)的乘積為136，求這個最小的數(shù)（請用方程知識解答）.
19.（本題9分）某中學(xué)全體團員積極響應(yīng)團委的號召，開展了“情暖困境少年，助力鄉(xiāng)村振興”的捐款活動.捐款活動結(jié)束后，班長將全班40名團員的捐款情況進行了統(tǒng)計，并繪制成如下統(tǒng)計圖.
（1）這40名團員捐款金額的中位數(shù)是___________元，眾數(shù)是___________元；
（2）若該校共有1200名團員捐款，請根據(jù)該班的捐款情況，估計這所中學(xué)所有團員共捐款多少元；
（3）若把該班團員的捐款情況繪制成扇形統(tǒng)計圖，求捐款金額為30元的人數(shù)所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù).
20.（本題9分）如圖1，某?！绊椖垦芯啃〗M”利用課余時間測量學(xué)校旗桿的高度，下面是其測量方案及結(jié)果.
圖1圖2
測量方案：先在樓頂觀測旗桿頂端和底部的俯角，再測量旗桿到教學(xué)樓的水平距離.圖2是其示意圖，線段，分別表示旗桿和教學(xué)樓，其中，，點A，B，C，D在同一豎直平面內(nèi).
測量結(jié)果：經(jīng)過測量并校正，在樓頂C處分別測得旗桿頂端A的俯角為，旗桿底部B的俯角為，旗桿到教學(xué)樓的水平距離為.
請根據(jù)該小組的測量結(jié)果，計算旗桿的高度.（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
21.（本題9分）閱讀與思考
圖1 圖2 圖3
請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).
有趣的布羅卡爾點
1816年法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)了“布羅卡爾點”，但是他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意.1875年，三角形這一特殊點，被一個數(shù)學(xué)愛好者——法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名，引起一大批數(shù)學(xué)家的興趣，形成了一股研究“三角形幾何”的熱潮.關(guān)于布羅卡爾點的研究與推廣以代數(shù)計算為主，充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的聯(lián)系.
定義：如圖1，若內(nèi)一點P滿足，則稱點P為的布羅卡爾點.若設(shè)，則稱α為布羅卡爾角.
研究發(fā)現(xiàn)，等邊三角形只有一個布羅卡爾點.
任務(wù)：
（1）如圖2，是等邊三角形.
①等邊三角形的布羅卡爾角的度數(shù)為___________.
②若設(shè)等邊三角形的面積為S，邊長為a，三條邊長的平方和為m，布羅卡爾角為β.求證：.
（2）如圖3，在等腰直角三角形中，，若點P是的一個布羅卡爾點，且滿足，，請直接寫出的值.
22.（本題12分）綜合與實踐
圖1 圖2 圖3
問題情境：
已知四邊形是正方形，點P是直角三角尺的直角頂點.
（1）如圖1，將點P放在正方形的頂點A處，三角尺的兩條直角邊分別與，的延長線交于點E，F(xiàn)，則與之間的數(shù)量關(guān)系為___________.
操作發(fā)現(xiàn)：
（2）如圖2，將點P放在正方形的對角線上，三角尺的兩條直角邊分別與，的延長線交于點E，F(xiàn)，則（1）中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.
拓廣探索：
（3）如圖3，將點P放在正方形的邊上（不包含點B，C），三角尺的一條直角邊經(jīng)過點A，另一條直角邊與正方形的外角的平分線相交于點E，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
23.（本題13分）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，點P是x軸下方拋物線上的一個動點（且C，D，P三點不共線），分別過點A，B作，，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接，.
（1）求點A，B的坐標(biāo).
（2）求證：為等腰三角形.
（3）當(dāng)為等腰直角三角形時，直接寫出點P的坐標(biāo).
數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（每小題3分，共30分）
解析：
6.A.，錯誤；B.，錯誤；C.，錯誤；D.，正確.
7.如圖，作直線.
由題意，得，
，，.，.
，.
.
8.如圖，延長交y軸于點D.
軸，軸，
點A在反比例函數(shù)的圖象上，.
軸，軸，點B在反比例函數(shù)的圖象上，
，.
9.設(shè)拋物線的表達式為.
將代入，得，解得.
拋物線的表達式為.
令，則.
解得，（不合題意，舍去）.
的長為.
10.如圖，連接.
是的切線，，.
設(shè)，.
在中，，，解得.
，.
是的直徑，.
，.
在中，
.
.
二、填空題（每小題3分，共15分）
11.12.13.14.15.20
解析：
14.根據(jù)題意，列表如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中小華取勝的結(jié)果有4種，
（小華取勝）.
15.如圖，延長交的延長線于點G.
四邊形為平行四邊形，.
，.
點E為邊的中點，.
在和中，，
，.
，，.，.
，，即，解得.
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16解：（1），
解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以不等式組的解集為.
（2）原方程組整理，得，
①②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以方程組的解為.
17.解：如圖，答案不唯一.
圖1 圖2 圖3
（評分說明：每個圖案2分，共6分）
18.解：設(shè)這個最小的數(shù)為x，則最大的數(shù)為.
根據(jù)題意，得.
解得，（不合題意，舍去）.
答：這個最小的數(shù)為8.
19.解：（1）20 30
（2）（元）
（元）.
答：估計這所中學(xué)所有團員共捐款28800元.
（3）.
答：捐款金額為30元的人數(shù)所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為.
20.解：如圖，過點A作于點E，則.
由題意，得，，.
，.
，，.
四邊形是矩形，，.
在中，.
在中，.
，.
答：旗桿的高度約為9.9m.
21.（1）①
②證明：易得.
.
如圖，過點A作于點H，則.
.
，.
.
（2）.
解析：是等腰直角三角形，.
.
，，即.
又，.
.
，.
，.
22.解：（1）
（2）成立.
理由：如圖，過點P作于點M，于點N，則.
四邊形為正方形，，.
，.
由題意，得，.
，即.
在和中，，
，.
（3）.
理由：如圖，在上截取，連接，則.
四邊形為正方形，，.
，，，即.
.
是的平分線，.
，.
，.
，.
.
在和中，，.
.
23.（1）解：令，則，解得，.
點A在點B的左側(cè)，
點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為.
（2）證明：如圖，延長交于點M.
，，，.
由拋物線的對稱性，可知.
在和中，，.
，.
，，
，為等腰三角形.
（3）點P的坐標(biāo)為.
解析：如圖，設(shè)與拋物線的對稱軸交于點N.
，拋物線的對稱軸為直線.
點D的坐標(biāo)為.
，.
是等腰直角三角形，，.
，.
，.
，.
易得，.
，即.
在和中，，.
，.
對于，令，得..
設(shè)直線的表達式為.
將，代入，得，解得.
直線的表達式為.
聯(lián)立方程組，得.
解得（舍去），，
點P的坐標(biāo)為.
注：以上答案僅供參考，開放性試題的答案合理即可得分。
每批粒數(shù)n
300
500
800
1000
2000
3000
發(fā)芽的頻數(shù)m
284
475
762
948
1902
2848
發(fā)芽的頻率
0.947
0.95
0.953
0.948
0.951
0.949
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
選項
A
D
B
D
C
D
C
A
D
B
小文
小華
老虎
棒子
雞
蟲
老虎
（老虎，老虎）
（老虎，棒子）
（老虎，雞）
（老虎，蟲）
棒子
（棒子，老虎）
（棒子，棒子）
（棒子，雞）
（棒子，蟲）
雞
（雞，老虎）
（雞，棒子）
（雞，雞）
（雞，蟲）
蟲
（蟲，老虎）
（蟲，棒子）
（蟲，雞）
（蟲，蟲）

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