2024湖南省多校高三下學(xué)期4月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（試題卷）
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試題卷上無(wú)效.
3.本試題卷共7頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.如缺頁(yè)，考生須及時(shí)報(bào)告監(jiān)考老師，否則后果自負(fù).
4.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.
姓名______.
準(zhǔn)考證號(hào)______.
祝你考試順利！
機(jī)密★啟用前
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）
A. 160B. C. 220D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式定理直接列式求出的系數(shù).
【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)為.
故選：B
2. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解集合中的不等式，得到這兩個(gè)集合，再由交集的定義求解.
【詳解】不等式解得，
不等式，即，解得，
可得.
故選：D.
3. 若復(fù)數(shù)滿足，則可以是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，由此寫(xiě)出，根據(jù)與的關(guān)系得到與的關(guān)系，從而選出正確選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，則，
即，即，
故選：A
4. 原核生物大腸桿菌存在于人和動(dòng)物的腸道內(nèi)，在適宜的環(huán)境和溫度下會(huì)迅速繁殖導(dǎo)致腸道內(nèi)生態(tài)環(huán)境失衡從而引發(fā)腹瀉等癥狀，已知大腸桿菌是以簡(jiǎn)單的二分裂法進(jìn)行無(wú)性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個(gè)變?yōu)?個(gè)）需要約24分鐘，那么在適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬(wàn)個(gè)大腸桿菌至少需要約（）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 4小時(shí)B. 5小時(shí)C. 6小時(shí)D. 7小時(shí)
【答案】C
【解析】
【分析】依據(jù)題意列出方程，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合給定的特殊對(duì)數(shù)值處理即可.
【詳解】設(shè)適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬(wàn)個(gè)大腸桿菌大約需要分鐘，
則，兩邊取對(duì)數(shù)得，
解得，所以大約需要小時(shí)，
故在適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬(wàn)個(gè)大腸桿菌至少需要6小時(shí).
故選：C.
5. 已知直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直線與拋物線聯(lián)立方程組消去，由求出的值，由拋物線方程求其準(zhǔn)線方程.
【詳解】依題意，聯(lián)立，消去得，
則，由得，
故拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.
故選：C.
6. 在不斷發(fā)展的過(guò)程中，我國(guó)在兼顧創(chuàng)新創(chuàng)造的同時(shí)，也在強(qiáng)調(diào)已有資源的重復(fù)利用，廢棄資源的合理使用，如土地資源的再利用是其中的重要一環(huán).為了積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地計(jì)劃將如圖所示的四邊形荒地改造為綠化公園，并擬計(jì)劃修建主干路與.為更好的規(guī)劃建設(shè)，利用無(wú)人機(jī)對(duì)該地區(qū)俯視圖進(jìn)行角度勘探，在勘探簡(jiǎn)化圖中，平分，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，則，根據(jù)余弦定理及二倍角公式求得，根據(jù)的范圍即可得解.
【詳解】設(shè)，則，設(shè)，則.
故在中，由余弦定理可得，
而，故，解得，
在直角三角形中，為銳角，故，故.
故選：A.
7. 將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，每個(gè)凹槽放一個(gè)小球，則至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用排列組合，先求出將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中的放法數(shù)，再求出至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的放法數(shù)，再利用古典概率公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】將編號(hào)為4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，共有種放法，
恰有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的有種放法，4個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的有1種放法，
所以至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是，
故選：B.
8. 使得不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】換元，利用二倍角公式和兩角和的余弦公式的逆用將題干不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式，解出t滿足的關(guān)系進(jìn)而排除得到正確選項(xiàng).
【詳解】令，
則，
所以已知不等式化為.
，故原不等式的解分兩段：
①得，原不等式化為，即.
②得，原不等式化為，即.
四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值范圍分別為，
當(dāng)時(shí)，由②不符合題意，排除A、B；
當(dāng)時(shí)，由①不符合題意，排除D；
時(shí)易驗(yàn)證滿足①，
故選：C.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分
9. 已知直線，圓，則（）
A. 過(guò)定點(diǎn)
B. 圓與軸相切
C. 若與圓有交點(diǎn)，則的最大值為0
D. 若平分圓，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用直線方程與的取值無(wú)關(guān)，求解定點(diǎn)判A，利用直線與圓的位置關(guān)系判斷B，C,先發(fā)現(xiàn)直線必過(guò)圓心，后將圓心代入直線，求解參數(shù)，判斷D即可.
【詳解】對(duì)A，整理直線的方程，得，令，解得，
當(dāng)時(shí)，直線方程與的取值無(wú)關(guān)，又，解得，
即必過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)B，整理圓的方程，得，易知圓心到軸的距離為，
又，故得圓與軸相切，故B正確；
對(duì)C，若與圓有交點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，
可得，解得故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，若平分圓，則必過(guò)圓心，易知圓心為，
將代入直線的方程，得，解得，故D正確.
故選：ABD.
10. 把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)（）
A.
B. 直線與平面所成角的大小為
C. 平面與平面夾角的余弦值為
D. 四面體的內(nèi)切球的半徑為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再由幾何法求解異面直線垂直、線面成角、面面成角和內(nèi)切球半徑即可.
【詳解】如圖所示，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，

記為中點(diǎn)，此時(shí)平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋耘c不垂直，A錯(cuò)誤.
對(duì)于B：直線和平面所成角即為，因?yàn)?，故，B正確.
對(duì)于C：由于，取中點(diǎn)，則有，
故為平面與平面所成角的平面角.則，C正確.
對(duì)于D：設(shè)內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，由等體積法知，
其中，，
，故，D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在定義域上處處可導(dǎo)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)可判斷在單調(diào)遞增，即可判斷A，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求解在單調(diào)遞增，即可判斷BC,構(gòu)造，求導(dǎo)求解在單調(diào)遞減，即可判斷D.
【詳解】由已知得，故，
又因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，所以A錯(cuò)誤；
構(gòu)造函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，
因此，即，B正確；
由于，故，
因此，C正確；
構(gòu)造函數(shù)，則，而，
故在單調(diào)遞減，因此，D錯(cuò)誤.
故選:BC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知公比為2的等比數(shù)列滿足，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.
【詳解】由題意可得，解得，
故答案為：.
13. 函數(shù)的圖象在與處的切線斜率相同，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】對(duì)求導(dǎo)，可得，則，即可得出的最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在與處的切線斜率相同，
所以，，
故有，即，
則或，
解得或，
當(dāng)時(shí)，取最小值取得最小值，
因?yàn)?，故的最小值?
故答案為：.
14. 若函數(shù)，且的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得方程在無(wú)解，即函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直接判斷，當(dāng)時(shí)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，當(dāng)時(shí)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，依題意只需，從而求出的取值范圍，再結(jié)合求出的范圍.
【詳解】由題意可得方程在無(wú)解，
將方程變形得，
即函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，
易得的定義域?yàn)?，僅在討論零點(diǎn)時(shí)舍去的情況；
若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
故在無(wú)零點(diǎn)，因此符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，
由于時(shí)，時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理可知在必有、且只有一個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
其中，故只需令，
當(dāng)時(shí)符合題意，
因此
，
即，解得，則，
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，，
所以，則；
當(dāng)時(shí)，，，
故在區(qū)間必有零點(diǎn)，與所求不符.
綜上，的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求的極值.
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）極大值，極小值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)解出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)第1問(wèn)的單調(diào)性求出極值即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?br>令，解得或，令得或，令得，列表如下：
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得的極大值為，極小值為.
16. 多樣性指數(shù)是生物群落中種類與個(gè)體數(shù)的比值.在某個(gè)物種數(shù)目為的群落中，辛普森多樣性指數(shù)，其中為第種生物的個(gè)體數(shù)，為總個(gè)體數(shù).當(dāng)越大時(shí)，表明該群落的多樣性越高.已知兩個(gè)實(shí)驗(yàn)水塘的構(gòu)成如下：
（1）若從中分別抽取一個(gè)生物個(gè)體，求兩個(gè)生物個(gè)體為同一物種的概率；
（2）（i）比較的多樣性大??；
（ii）根據(jù)（i）的計(jì)算結(jié)果，分析可能影響群落多樣性的因素.
【答案】（1）
（2）（i）的多樣性大于（ii）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的求法可得答案；
（2）根據(jù)給出求出，然后比較即可.
【小問(wèn)1詳解】
記事件為“兩個(gè)生物個(gè)體為同一物種”，
則發(fā)生的概率為.
【小問(wèn)2詳解】
（i）由表可知
所以，；
即，故的多樣性大于；
（ii）在（i）中兩群落物種數(shù)目相同，各物種數(shù)量不同，而中各物種數(shù)量均相同，
即物種均勻度更大，分析可得物種均勻度也會(huì)影響群落多樣性.
17. 如圖所示，正四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，，平面與交于.
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先通過(guò)，證，再通過(guò)平面，證，最后通過(guò)線面垂直判定定理即可證平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求二面角的余弦值即可.
【小問(wèn)1詳解】
連接，設(shè)，連接，
有平面，由題意得，且,
連接，，設(shè)，則，故在上，
過(guò)作為垂足，在中，，
故，因?yàn)?，所以?br>故，所以，
所以，又
平面，平面，，
故平面，因?yàn)槠矫妫?
又平面平面，故平面.
【小問(wèn)2詳解】
以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系可得
，
由（1）得平面，故平面的一個(gè)法向量為
其中
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令可得
設(shè)為二面角的平面角，則，
由圖可知所求二面角為銳角，故二面角的余弦值為.
18. 已知橢圓，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，在點(diǎn)處的切線交于兩點(diǎn).
（1）求直線的方程（用含的式子表示）；
（2）若點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由離心率和所過(guò)的點(diǎn)求出雙曲線的方程為，由點(diǎn)在第一象限，將雙曲線變形為，利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)處的切線方程.
（2）直線與雙曲線聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離表示出面積，消元后由基本不等式求最大值.
【小問(wèn)1詳解】
焦點(diǎn)在軸上雙曲線的離心率為，則雙曲線為等軸雙曲線，
設(shè)雙曲線方程為，由雙曲線過(guò)點(diǎn)，代入方程，
解得雙曲線，
點(diǎn)在上，有，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以可以將雙曲線變形為.
求導(dǎo)有，
當(dāng)時(shí)，，所以的方程為：，
化簡(jiǎn)有.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，有，
聯(lián)立，消去得，
有，，
，
點(diǎn)到直線的距離，
則，將代入，
有
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
19. 若數(shù)列在某項(xiàng)之后的所有項(xiàng)均為一常數(shù)，則稱是“最終常數(shù)列”.已知對(duì)任意，函數(shù)和數(shù)列滿足.
（1）當(dāng)時(shí)，證明：是“最終常數(shù)列”；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)任意正整數(shù).若方程無(wú)實(shí)根，證明：不是“最終常數(shù)列”的充要條件是：對(duì)任意正整數(shù)，；
（3）若不是“最終常數(shù)列”，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）利用“最終常數(shù)列”定義即可證明；
（2）利用反證法結(jié)合“最終常數(shù)列”新定義證明必要性，利用“最終常數(shù)列”定義證明必要性；
（3）利用第二問(wèn)的證明結(jié)論即可求出的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?duì)任意，故數(shù)列最小值不變.
即對(duì)于任意恒成立.
故對(duì)于任意，有，故是“最終常數(shù)列”.
【小問(wèn)2詳解】
必要性，若不為“最終常數(shù)列”，假設(shè)存在一個(gè)使得，則由（1）同理可知其最小值不變，故為“最終常數(shù)列”，矛盾.所以對(duì)任意.
故對(duì)任意，均有成立，故對(duì)任意成立，
又由定義遞推，知對(duì)任意正整數(shù).
充分性：若任意正整數(shù)，則對(duì)任意成立，
又由定義知任意，均有成立.
由此知.
又由知，故，即在第項(xiàng)后嚴(yán)格遞減，
故不是“最終常數(shù)列”.
綜上，原命題得證.
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知：要求，解得.
下面證明：即為所求.
由時(shí)，，
由遞推可知，對(duì)任意均有.
進(jìn)而對(duì)任意均成立，結(jié)合（2）結(jié)論知不是“最終常數(shù)列”.故的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是：一要準(zhǔn)確理解給定的新定義；二要利用反證法得出矛盾.-1
3
-
0
+
0
-
極小值
極大值
綠藻
衣藻
水綿
藍(lán)藻
硅藻
6
6
6
6
6
12
4
3
6
5

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