1. 已知一組數(shù)據(jù)為50，40，39，45，32，34，42，37，則這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)為（ ）
A. 39B. 40C. 45D. 32
2. 已知方程表示曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（ ）．
A. 13B. 26C. 39D. 78
4. 設(shè)是兩個平面，是三條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，則
5. 在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級的概率為（ ）
A. B. C. D.
6. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（ ）
A. B. C. 5D. 8
7. 校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)對“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查．其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同．男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)．若有的把握認(rèn)為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生不可能有（ ）人．
附表：
其中，．
A. 20B. 30C. 35D. 40
8. 已知，均為銳角，，則取得最大值時，的值為（ ）
A B. C. 1D. 2
二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A.
B. 是圖象的一個對稱中心
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 在區(qū)間上的最小值為
10. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，下列說法正確的有（ ）
A. B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，不是數(shù)列中的項(xiàng)D. 若是數(shù)列中的項(xiàng)，則的值可能為6
11. 已知函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A. 當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增
B. 當(dāng)時，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)
C. 若函數(shù)只有兩個不等于1的零點(diǎn)，則必有
D. 若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 已知，則__________，在上的投影向量的坐標(biāo)為__________．
13. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則__________．
14. 如圖，點(diǎn)是邊長為1的正六邊形的中心，是過點(diǎn)的任一直線，將此正六邊形沿著折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為__________．

四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
15. 記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．
（1）求的值：
（2）求的最大值．
16. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中點(diǎn)．
（1）證明：BE平面PAD；
（2）若，平面PAD⊥平面ABCD，求直線AB與平面PBC所成角正弦值．
17. 小明從4雙鞋中，隨機(jī)一次取出2只，
（1）求取出的2只鞋都不來自同一雙的概率；
（2）若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，
18. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，.
（1）若，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求直線與雙曲線相交所得的弦長；
（2）探究：的外心是否落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上，若是，請給出證明過程；若不是，請說明理由.
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.
（1）若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；
（2）若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.
0.100
0.050
0.010
0005
0.001
2.706
3841
6.635
7.879
10.828
高三數(shù)學(xué)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知一組數(shù)據(jù)為50，40，39，45，32，34，42，37，則這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)為（ ）
A. 39B. 40C. 45D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算求解即可.
【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：32，34，37，39，40，42，45，50，共8個，
因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)，即為39，
故選：A
2. 已知方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于且不能相等即可求解.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，
所以，解得且，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故選：D.
3. 記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（ ）．
A. 13B. 26C. 39D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】由等差中項(xiàng)和性質(zhì)和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，
所以.
故選：D
4. 設(shè)是兩個平面，是三條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間中線面之間的位置關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】對于A，若，，，則相交或平行，故A錯誤；
對于B，若，，，
由線面平行的性質(zhì)可得，故B正確；
對于C，若，，，
當(dāng)兩兩相交時，兩兩相交，故C錯誤；
對于D，若，，則或，故D錯誤.
故選：B.
5. 在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先設(shè)事件，再求出甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級的概率，然后利用條件概率公式求解.
【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件、、，
則，且，，相互獨(dú)立，
設(shè)甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級為事件，
則，
設(shè)乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級為事件，則，
所以.
故選：B.
6. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（ ）
A. B. C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可求數(shù)列的任意一項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?br>所以.
故選：C
7. 校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)對“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查．其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同．男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)．若有的把握認(rèn)為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生不可能有（ ）人．
附表：
其中，．
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】借助卡方計算即可得.
【詳解】設(shè)總?cè)藬?shù)為，則男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)為，女生選生物學(xué)的人數(shù)為，
則，
即，又為的倍數(shù)，故男生最少有人.
故選：A.
8. 已知，均為銳角，，則取得最大值時，的值為（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先利用展開變形，可得，再利用展開變形，將用表示出來，利用基本不等式求最值及等號成立條件即可.
【詳解】,
則，
所以，
整理得，
因?yàn)?，均為銳角，且，即，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，
所以取得最大值時，的值為.
故選：D.
二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A.
B. 是圖象的一個對稱中心
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 在區(qū)間上的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】由周期公式可得A錯誤；由余弦函數(shù)的對稱中心可得B正確；由余弦函數(shù)的遞增區(qū)間可得C正確；由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得D錯誤.
【詳解】A：由最小正周期是，故A錯誤；
B：因?yàn)?，對稱中心，解得，
當(dāng)時，對稱中心為，故B正確；
C：由余弦函數(shù)的遞增區(qū)間可知，解得，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；
D：由C可知，在上單調(diào)遞增，故最小值為，故D錯誤；
故選：BC.
10. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，下列說法正確的有（ ）
A. B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，不是數(shù)列中的項(xiàng)D. 若是數(shù)列中的項(xiàng)，則的值可能為6
【答案】ABD
【解析】
【分析】對A，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；對B，分析的公差再求解即可；對C，由B中通項(xiàng)公式判斷即可；對D，根據(jù)題意判斷當(dāng)時即可.
【詳解】對A，，故A正確；
對B，當(dāng)時，公差，此時，故B正確；
對C，當(dāng)時，此時，，即是數(shù)列中的項(xiàng)，故C錯誤；
對D，當(dāng)時，，又，故D正確.
故選：ABD
11. 已知函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A. 當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增
B. 當(dāng)時，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)
C. 若函數(shù)只有兩個不等于1的零點(diǎn)，則必有
D. 若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A：直接代入求單調(diào)性即可；對于B：直接代入求極值即可；對于C：將函數(shù)兩個不等于1的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩個不等于1的根，，求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定，然后證明和對應(yīng)的值一樣即可；對于D：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求導(dǎo)解答即可.
【詳解】對于A：當(dāng)時，，
則，令，
則，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故，所以在上單調(diào)遞增，A正確；
對于B：當(dāng)時，，
則，令，
則，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故，所以在上單調(diào)遞增，無極值，B錯誤；
對于C：令，得，
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，
若函數(shù)只有兩個不等于的零點(diǎn)，即函數(shù)與有兩個交點(diǎn)，
則不妨取，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)與的兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)互為倒數(shù)，即，C正確；
對于D：明顯，所以是函數(shù)的一個零點(diǎn)，且，
函數(shù)有三個零點(diǎn)，且函數(shù)在上為連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)必有兩個極值點(diǎn)（不為1），
因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則
當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞減，
，得，單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞減，不可能有3個零點(diǎn)，
所以，令，得，單調(diào)遞減，
，得，單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題要學(xué)會將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如選項(xiàng)C，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，選項(xiàng)D，將零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)個數(shù)問題.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 已知，則__________，在上的投影向量的坐標(biāo)為__________．
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】根據(jù)向量的模長的坐標(biāo)計算公式，代入數(shù)值即可求得；根據(jù)投影向量的計算公式，結(jié)合已知條件，即可求得投影向量的坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)?，故?br>在上的投影向量為，又，則；
故在上的投影向量的坐標(biāo)為.
故答案為：；.
13. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值.
【詳解】由余弦定理可得，
所以，
于是有.
故答案為：.
14. 如圖，點(diǎn)是邊長為1的正六邊形的中心，是過點(diǎn)的任一直線，將此正六邊形沿著折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為__________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正六邊形性質(zhì)和對稱性，可將問題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問題，結(jié)合基本不等式求出最值即可.
【詳解】
如圖，由對稱性可知，折疊后的圖形與另外一半不完全重合時比完全重合時面積大，
此時，折疊后面積為正六邊形面積的與面積的3倍的和.
由正六邊形的性質(zhì)和對稱性知，，，
在中，由余弦定理可得：
，
得，
由基本不等式可知，則，
故，
因，，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故，
又正六邊形的面積，
所以折疊后的面積最大值為：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析得折疊后所成圖形的面積要取得最大值時的狀態(tài)，從而得解.
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
15. 記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．
（1）求的值：
（2）求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通過余弦定理、正弦定理將條件中的邊轉(zhuǎn)化為角即可求出結(jié)果；
（2）由余弦定理表示出，借助條件消去邊，利用基本不等式求出的范圍，進(jìn)而求出的最大值．
【小問1詳解】
由余弦定理可得，
代入，得到，化簡得，
即.由正弦定理可得，
即，展開得，
即，所以．
【小問2詳解】
由得，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
因?yàn)?，所以，所以的最大值?
16. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中點(diǎn)．
（1）證明：BE平面PAD；
（2）若，平面PAD⊥平面ABCD，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形的方法證得BE平面PAD.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接．
，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面平面，
平面．
【小問2詳解】
取中點(diǎn)中點(diǎn)，連接，可得．
平面平面，平面平面平面，
平面．
．
以為原點(diǎn)，以所在直線為軸?軸?軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)槭堑冗吶切危?br>所以，
所以．
則．
設(shè)平面的法向量為，由，
可得，令，可得，
從而是平面的一個法向量．
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17. 小明從4雙鞋中，隨機(jī)一次取出2只，
（1）求取出的2只鞋都不來自同一雙的概率；
（2）若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，
【答案】（1）
（2）分布列見解析；
【解析】
【分析】（1）利用組合的知識，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解；
（2）根據(jù)題意確定X的取值：0，1，2；然后分別求出概率，列出分布列，計算期望即可.
【小問1詳解】
由題可得：取出2只都不來自同一雙概率為：.
【小問2詳解】
由題可知X的取值為：0，1，2，
，，，
故X的分布列為：
，
故.
18. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，.
（1）若，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求直線與雙曲線相交所得的弦長；
（2）探究：的外心是否落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上，若是，請給出證明過程；若不是，請說明理由.
【答案】（1）
（2）是，證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解即可；
（2）先利用直線與拋物線的位置關(guān)系求切線方程，再利用圓中弦的性質(zhì)求出外心坐標(biāo)，即可證明.
【小問1詳解】
依題意，，則直線的斜率為,
則直線，即；
聯(lián)立，得，解得或，
故所求弦長為.
【小問2詳解】
的外心落在雙曲線在點(diǎn)的切線上，證明過程如下，
設(shè)雙曲線在點(diǎn)的切線斜率為，則在點(diǎn)處的切線方程為，
聯(lián)立得，
其中，則，
而，故，代入上式可得，，
解得，故雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，
故直線的中垂線方程為，
聯(lián)立可得，故外心坐標(biāo)為，
其滿足，故的外心落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上.
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.
（1）若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；
（2）若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.
【答案】（1）或
（2）
（3）不能，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)和討論，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和結(jié)合數(shù)列新定義求解即可；
（2）結(jié)合數(shù)列定義，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求解即可；
（3）根據(jù)數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”求得，再利用數(shù)列的前項(xiàng)和得，然后推得與不能同時成立，即可判斷.
【小問1詳解】
若，則，解得，則，與題設(shè)矛盾，舍去；
若，則，得，
而，解得或，
故或.
小問2詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，則，則，
由，得，
而，故，
兩式相減得，即，
又，得，
所以.
【小問3詳解】
記中所有非負(fù)項(xiàng)之和為，負(fù)項(xiàng)之和為，
因?yàn)閿?shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，則得，
故，所以.
若存在，使得，即，
則，
且.
假設(shè)數(shù)列也為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則
因?yàn)?，所?
所以；
又，則.
所以；
即與不能同時成立.
故數(shù)列不為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義問題，應(yīng)根據(jù)定義得到數(shù)列滿足的遞推關(guān)系，再利用常見的數(shù)列通項(xiàng)公式求法（如公式法、累加法、待定系數(shù)法等）求得數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，最后再通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)上討論數(shù)列的性質(zhì).
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7879
10.828
X
0
1
2
P

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