1.已知復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位,).若是純虛數(shù),則（ ）
A.-4B.-1C.1D.4
2.直線的傾斜角為( )
A.B.C.D.
3.有6名男教師和5名女教師,從中選出2名男教師、1名女教師組成一個(gè)支教小組,則不同的選法共有( )
A.60種B.70種C.75種D.150種
4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則是中的( )
A.第28項(xiàng)B.第29項(xiàng)C.第30項(xiàng)D.第32項(xiàng)
5.在中,已知,則“”是“”成立的( )條件
A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要
6.已知雙曲線,直線.雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離最小,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
7.若命題:“,使得”為假命題,則a,b的大小關(guān)系為（ ）
A.B.C.D.
8.設(shè)實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為（ ）
A.B.C.D.-1
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.下列可以反映總體數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)為( )
A.方差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.眾數(shù)
10.已知不等式對(duì)任意恒成立,其中是整數(shù),則的取值可以為( )
A.-4B.-2C.0D.8
11.直線與拋物線相交于兩點(diǎn),過(guò)兩點(diǎn)分別作該拋物線的切線,與直線均交于點(diǎn),則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.直線過(guò)定點(diǎn)B.兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和的最小值為2p
C.存在某一條直線,使得為直角
D.設(shè)點(diǎn)在直線上的射影為,則直線FH斜率的取值范圍是
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知集合,則___________.
13.設(shè)若,則___________.
14.在長(zhǎng)方體中,分別是棱的中點(diǎn),則平面CEF截該長(zhǎng)方體所得的截面為_(kāi)__________邊形,截面面積為_(kāi)__________.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(13分)如圖,在四棱錐中,已知棱AB,AD,AP兩兩垂直,長(zhǎng)度分別為1,2,2,若,且向量與夾角的余弦值為.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.
16.（15分）已知向量.設(shè).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在中,若的平分線交BC于點(diǎn),求AD長(zhǎng).
17.(15分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓的離心率為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)作兩條互相垂直的直線,直線與交于A,B兩點(diǎn),直線與交于D,E兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)是.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)時(shí),求的面積.
18.(17分)設(shè)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(3)求證:對(duì)任意的正數(shù),都存在實(shí)數(shù),滿足:對(duì)任意的.
19.(17分)“踩高蹺,猜燈謎”是我國(guó)元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動(dòng).某地為了弘揚(yáng)文化傳統(tǒng),發(fā)展“地推經(jīng)濟(jì)”,在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動(dòng).
(1)某商戶借“燈謎”活動(dòng)促銷,將燈謎按難易度分為B、C兩類,抽到較易的類并答對(duì)購(gòu)物打八折優(yōu)惠,抽到稍難的類并答對(duì)購(gòu)物打七折優(yōu)惠.抽取燈謎規(guī)則如下:在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片,其中3張寫有字母,3張寫有字母,2張寫有字母,顧客每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片,若抽到寫有的卡片,則再抽1次,直至取到寫有或卡片為止.求該顧客取到寫有卡片的概率.
(2)小明嘗試去找全街最適合他的燈謎,規(guī)定只能取一次,并且只可以向前走,不能回頭,他在街道上一共會(huì)遇到條燈謎（不妨設(shè)每條燈謎的適合度各不相同）,最適合的燈謎出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等,小明準(zhǔn)備采用如下策略:不摘前條燈謎,自第條開(kāi)始,只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的燈謎適合的,就摘這條燈謎,否則就摘最后一條.設(shè),記小明摘到那條最適合的燈謎的概率為.
①若,求;
②當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí),從理論的角度,求的最大值及取最大值時(shí)的值.
(取)
2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)模擬考試
數(shù)學(xué)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.A2.D3.4.5.6.7.8.B
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.10.11.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分.
12.13.614.五,
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(13分)解:依題意,以為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系則,
因?yàn)?所以,……………………………………2分
(1)從而,
則,……………………………………4分
解得;……………………………………6分
(2)易得,
設(shè)平面PCD的法向量,
則,且,
即,且,所以,
不妨取,則平面PCD的一個(gè)法向量,…………………………………………9分
又易得,
故,………………………………………………12分
所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.………………………………………………13分
16.(15分)解:(1)由
……………………………………………………………………………………4分
令,則,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.…………………………………………7分
（2）因,因?yàn)?所以,
即,故;…………………………………………………………9分
由余弦定理得,即,
所以(負(fù)舍),……………………………………………………………………………11分
所以,
即,
所以.………………………………………………………………………………………15分
17.(15分)解:(1)由，知，所以，……………………………2分
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)是,所以,……………………………4分
所以,故,
所以橢圓的方程為.…………………………………………………………6分
(2)分析知直線的斜率存在,且不為0,設(shè)的方程為:,
與橢圓方程聯(lián)立:
,得,……………………………8分
同理:,……………………………………………………10分
所以,解得,…………………………………………12分
所以,直線的方程為,
所以,故.……………………………………………15分
18.(17分)解:(1)當(dāng)時(shí),,
令,列表分析
故的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.………………………………4分
(2),其中,
令,分析的零點(diǎn)情況.
,令,列表分析
分
因?yàn)?
所以,即,
而,
因此在有一個(gè)零點(diǎn),在內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),在內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn).……………………………………10分
（3）猜想：恒成立.……………………………………………11分
證:由(2)得在上單調(diào)遞增,
且.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以.
故在上存在唯一的零點(diǎn),設(shè)為.
由
知,.…………………………………………13分
又,而時(shí),,
所以.
即.
所以對(duì)任意的正數(shù),存在,使對(duì)任意的,使.……………………15分
補(bǔ)充證明(*):
令,所以在上單調(diào)遞增.
所以時(shí),,即.
補(bǔ)充證明(**)
令,所以在上單調(diào)遞減.
所以時(shí),,即.……………………………………………………17分
19.(17分)解：(1)該顧客第一次取到寫有卡片的概率為,……………………………………..1分
該顧客第二次取到寫有卡片的概率,………………………………………………..2分
該顧客第三次取到寫有卡片的概率,……………………………………………3分
該顧客第四次取到寫有卡片的概率,………………………………………4分
該顧客取到寫有卡片的概率為；……………………………………5分
(2)①這4條燈謎的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序,有種情況,………………………………7分
要摘到那條最適合燈謎,有以下兩種情況:
（i）最適合燈謎是第3個(gè),其它的隨意在哪個(gè)位置,有種情況;
（ii）最適合燈謎是最后1個(gè),第二適合燈謎是第1個(gè)或第2個(gè),其它的隨意在哪個(gè)位置,有種情況,………………………………………………………………………………………………………………9分
故所求概率為;……………………………………………………………………………………10分
②記事件表示最適合燈謎被摘到,事件表示最適合燈謎排在第個(gè),
則,
由全概率公式知:,
當(dāng)時(shí),最適合燈謎在前條中,不會(huì)被摘到,此時(shí)；
當(dāng)時(shí),最適合燈謎被摘到,當(dāng)且僅當(dāng)前條燈謎中的最適合那條在前個(gè)之中時(shí),
此時(shí),
所以,………………………………………………………14分
令,則,
由,得,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,
從而的最大值為,此時(shí)的值為.…………………………………………………………………17分1
—
0
+
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
—
0
+
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
-
0
+
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

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