河北省滄州市滄衡名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級和考號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1. 已知是邊長為4的正三角形，則（）
A. 8B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義直接計(jì)算得解.
【詳解】正的邊長為4，則.
故選：C
2. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)（）
A. -1或2B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由交集的結(jié)果，計(jì)算元素的值并檢驗(yàn).
【詳解】因?yàn)?，則，
若，解得，此時，
根據(jù)集合中元素的互異性，不合題意；
若，即，
解得或，若，此時，
不合題意；當(dāng)時成立.
故選：D.
3. 在某市的一次質(zhì)量檢測考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度曲線可用函數(shù)的圖象擬合，且，若參加本次考試的學(xué)生共有10000人，則數(shù)學(xué)成績超過120分的人數(shù)約為（）
A. 600B. 800C. 1200D. 1400
【答案】B
【解析】
【分析】由隨機(jī)變量的密度函數(shù)可求，由條件，利用正態(tài)分布的性質(zhì)可求，由此可求結(jié)論.
【詳解】依題意可知，，又因?yàn)椋?br>所以，
所以數(shù)學(xué)成績超過120分的人數(shù)約為，
故選：B.
4. 已知8名同學(xué)參加體能綜合測試的成績分別為，從這8名同學(xué)中選出3名同學(xué)，則這3名同學(xué)中最高的體能綜合測試成績恰好是這8名同學(xué)體能綜合測試成績的第百分位數(shù)的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)，再由古典概型的概率公式及組合數(shù)公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以這8名同學(xué)體能綜合測試成績的第百分位數(shù)是，
從名同學(xué)中選名同學(xué)，有種選法，
其中這名同學(xué)中最高的體能綜合測試成績恰好為的選法有種，
根據(jù)古典概型可得所求概率.
故選：C.
5. 已知函數(shù)，記，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，比較自變量的范圍和大小，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性比較即得.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增且恒為正數(shù)，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，
又，即，于是，即.
故選:C.
6. 已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）
A. 7B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)得出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】，
又，
即在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
又點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，
所以的最大值為.
故選：A.
7. 將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和在區(qū)間上都是單調(diào)遞增的，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求其單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)圖象變換求函數(shù)的解析式，再求其單調(diào)區(qū)間，由此確定的最大值.
【詳解】依題意，，
令，解得，
即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，
不妨令，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增的.
令，解得，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
不妨令，則函數(shù)在上是單調(diào)遞減的.
，
令，解得，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
不妨令，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，
令，解得，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
令可得，則函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，在上是單調(diào)遞減.
若和在區(qū)間上都是單調(diào)遞增的，且和的周期都為，
則的最大值為.
故選：D.
8. 已知正六棱錐的高為，側(cè)面與底面所成角的正切值為4，則該正六棱錐的內(nèi)接正六棱柱（即正六棱柱的所有頂點(diǎn)均在正六棱錐的側(cè)棱和底面上）的外接球的表面積的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由側(cè)面與底面所成角的正切值為4求出半徑，設(shè)，由幾何關(guān)系得，利用二次函數(shù)求最值.
【詳解】如圖，設(shè)正六棱錐的底面中心為，正六棱柱為，
其中底面在棱錐底面上，
設(shè)底面的中心為，外接球球心為，由題意得，
底面的中心為，底面的所有頂點(diǎn)均在正六棱錐的側(cè)棱上，
則，因?yàn)檎忮F的底面為正六邊形，
設(shè)邊長為，側(cè)面與底面所成角為，作,易知,
則，解得，
即正六棱錐的底面邊長為1，設(shè)，則，
由題意得，故，
故正六棱柱外接球半徑的平方
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，此時外接球表面積，
故正六棱柱的外接球表面積的最小值為，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查球的切接問題，關(guān)鍵是利用幾何關(guān)系確定半徑關(guān)于的函數(shù)關(guān)系.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，則（）
A. B.
C. D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用平方關(guān)系及二倍角判斷ABC,利用商數(shù)關(guān)系及差角的正切公式判斷D.
【詳解】對A,因?yàn)?，則，即，
所以，所以選項(xiàng)不正確；
對B,因?yàn)?，所以，又，所以?br>，
又，所以，所以B選項(xiàng)正確；
對C，，
所以C選項(xiàng)正確；
對，因?yàn)椋?br>若，則，所以選項(xiàng)正確，
故選：BCD.
10. 已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，且，則下列說法正確的有（）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由條件，判斷函數(shù)的對稱性，判斷A；由條件，判斷函數(shù)的對稱性，判斷B；由條件可得，結(jié)合選項(xiàng)B的結(jié)論，判斷函數(shù)的周期，由此判斷C；結(jié)合的性質(zhì)，求，結(jié)合周期性可求結(jié)論.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以選項(xiàng)不正確；
對于B，因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以選項(xiàng)正確；
對于C，由選項(xiàng)知，，因?yàn)椋?br>則，
所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又，所以，即，所以，
所以8是函數(shù)的一個周期，所以，所以C選項(xiàng)正確；
對于D，，，
所以
，所以選項(xiàng)正確，
故選：BCD.
11. 已知點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，分別為上不同兩點(diǎn)（其中在第一象限），為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的有（）
A. 若，則中點(diǎn)橫坐標(biāo)最小值為4
B. 若三點(diǎn)共線，且，則直線的斜率為
C. 若三點(diǎn)共線，且，則直線的斜率為
D. 若三點(diǎn)共線，且的外接圓與的交點(diǎn)為（異于），則的重心在軸上
【答案】ACD
【解析】
【分析】對A根據(jù)拋物線定義結(jié)合梯形中位線性質(zhì)即可判斷；CD選項(xiàng)采用設(shè)線法聯(lián)立拋物線方程得到得到韋達(dá)定理式，將B選項(xiàng)垂直轉(zhuǎn)化為向量點(diǎn)乘為0，將C選項(xiàng)的斜之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之比，D選項(xiàng)設(shè)出該圓方程將其與拋物線方程聯(lián)立得到一元三次方程，利用因式分解得到縱坐標(biāo)之和為0即可判斷.
【詳解】依題意得，，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
對于A選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
根據(jù)梯形中位線性質(zhì)和拋物線定義可得，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，而，則，
即中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為4，所以A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，直線斜率不為零，設(shè)直線的方程為，
由得，則，解得，
所以，因?yàn)?，所以?br>所以
，解得（滿足，
所以直線的方程為或.
又在第一象限，則直線的斜率為，所以B選項(xiàng)不正確；
對于C選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，
消去得，，
由題意得，則，所以，則，
又由題意，所以，直線的方程為，所以C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，
設(shè)該圓的方程為，聯(lián)立
消去得，即，
所以即為關(guān)于的方程的3個根，
則，
因?yàn)椋?br>由的系數(shù)對應(yīng)相等得，，所以的重心的縱坐標(biāo)為0，即重心在軸上，所以D選項(xiàng)正確，
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理，然后利用解出直線中的參數(shù)，C選項(xiàng)的關(guān)鍵是將斜之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之比.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得，，，，從而得到數(shù)列是周期為3的數(shù)列，進(jìn)而即可求得．
【詳解】因?yàn)椋?br>則，即，可得，
同理可得，，
所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，
又，，
所以．
故答案為：5．
13. 已知為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且的周長為6，面積的最大值為，則橢圓的離心率為__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)題意列式，求出，結(jié)合離心率定義，即得答案.
【詳解】依題意，的周長為，
所以面積的最大值為，
又，整理得,即,
解得，故橢圓的離心率為，
故答案為：
14. 已知分別為的內(nèi)角的對邊，且，則__________；內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，則的面積為__________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得，則得到；利用面積法求出，再聯(lián)立余弦定理得到的方程即可求出，最后利用三角形面積公式即可.
【詳解】依題意，由正弦定理可得，
即，
故，又，
所以，則，因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?br>所以，
又平分，所以，
所以，
則，即，
在中，由余弦定理得，即，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以的面積為.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空的關(guān)鍵是利用面積法，再結(jié)合余弦定理和面積公式即可求出答案.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)到平面的距離為分別為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法即可證明；
（2）根據(jù)向量法即可求出.
【小問1詳解】
因?yàn)椋裕?br>設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
則，又點(diǎn)到平面的距離為1，
即，所以，
又因?yàn)槿庵侵比庵?，為的中點(diǎn)，
所以，又平面，
故平面，而均在平面內(nèi)，
故兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
所以，所以；
【小問2詳解】
因?yàn)?，故?br>又，故，設(shè)平面的法向量為，
則即
取，則,設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值是.
16. 在數(shù)列中，，都有成立.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值及數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）證明見解析
（2），
【解析】
【分析】（1）由條件得到，和原條件做差可得結(jié)論；
（2）求出，根據(jù)（1）中結(jié)論及數(shù)列等差，可列式求出，通過遞推式求出及，可得為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
依題意，，則，
兩式作差得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列；
【小問2詳解】
由題意知，則，
若為等差數(shù)列，則，
所以，解得，
此時，
，
即，故為等差數(shù)列，
所以.
17. 現(xiàn)有如下定義：在維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn)與對應(yīng)坐標(biāo)差的絕對值之和，即為.基本事實(shí)：①在三維空間中，立方體的頂點(diǎn)坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示，其中；②在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，并稱其為“維立方體”，其中.請根據(jù)以上定義和基本事實(shí)回答下面問題：
（1）若“維立方體”的頂點(diǎn)個數(shù)為，“維立方體”的頂點(diǎn)個數(shù)為，求的值；
（2）記隨機(jī)變量為“維立方體”中任意兩個不同頂點(diǎn)間的曼哈頓距離，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；
（2）分布列見解析，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)乘法原理，即可確定頂點(diǎn)個數(shù)；
（2）首先確定的可能取值，再結(jié)合組合數(shù)公式求取各值的概率，即可求確定分布列和數(shù)學(xué)期望；
【小問1詳解】
設(shè)“維立方體”頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
由已知的取值有兩種選擇或，
所以“維立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)個數(shù)，
所以 “維立方體”的頂點(diǎn)個數(shù)，
所以.
【小問2詳解】
由題意得，可取，
當(dāng)時，對于點(diǎn)與點(diǎn)，
其中使的的個數(shù)為，則滿足的的個數(shù)為，
此時所對應(yīng)情況數(shù)為，
則，
故的分布列為
數(shù)學(xué)期望①，
又，
所以②，
①②可得，，
所以.
18. 已知雙曲線的一條漸近線為，實(shí)軸長為，為上一點(diǎn).
（1）求雙曲線的方程；
（2）（i）證明：直線與雙曲線相切于點(diǎn)；
（ii）若直線與雙曲線相切，為雙曲線的右焦點(diǎn)，且，試判斷點(diǎn)是否在定直線上，若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請說明理由.
【答案】（1）；
（2）（i）證明見解析；（ii）點(diǎn)在定直線上.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系求解即可；
（2）（i）先證明點(diǎn)在上，再代入并整理判斷判別式為0即可證明；（ii）由（1）知，，設(shè)，可得方程，再根據(jù)雙曲線在點(diǎn)處的切線方程，結(jié)合雙曲線方程化簡可得點(diǎn)在定直線上.
【小問1詳解】
依題意，，則，
又，解得，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
（i）由點(diǎn)在上，知①，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，得，顯然成立，故點(diǎn)在上.
當(dāng)時，將直線化為斜截式，得，
代入并整理，得②.
由①知，，
故②為，
其判別式，
故直線與雙曲線相切于點(diǎn).
當(dāng)時，可得，此時直線與雙曲線相切于點(diǎn).
綜上，直線與雙曲線相切于點(diǎn).
（ii）由（1）知，，設(shè)，
由題意，，
即③.
由（i）知，雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
又點(diǎn)在此切線上，故④.
③④，得，
即，
因?yàn)?，所以?br>故點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】（1）雙曲線在處的切線方程為；
（2）求解定值時，需將所求值根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)，再根據(jù)點(diǎn)滿足的坐標(biāo)方程，代入化簡即可.
19. 已知函數(shù)
（1）若函數(shù)，證明：在上恒成立；
（2）若，且，證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得證；
（2）分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，最初函數(shù)的大致圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可得的范圍，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得證.
【小問1詳解】
由題，，
當(dāng)時，令，
則，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞增，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即在上恒成立；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
，又當(dāng)時，，所以.
當(dāng)時，，則，
所以在上單調(diào)遞減，且，此時，
如圖，由題意，設(shè)，
設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
則，有，
因?yàn)?，所以?br>所以，又，
所以，
令，則，
令，則，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
1
2

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