這是一份福建省寧德市普通高中2023屆高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題，共33頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
福建省寧德市普通高中2023屆高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．若集合，，則（ ）A． B．C． D．2．某學(xué)校利用實(shí)踐基地開展勞動教育活動，在其中一塊土地上栽種某種蔬菜，并指定一位同學(xué)觀測其中一棵幼苗生長情況，該同學(xué)獲得前6天的數(shù)據(jù)如下：第天123456高度14791113經(jīng)這位同學(xué)的研究，發(fā)現(xiàn)第天幼苗的高度的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)此預(yù)測第10天這棵幼苗的高度大約為（ ）A． B． C． D．3．使成立的一個充分不必要條件是（ ）A． B．C． D．，且4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一個動點(diǎn)，，則的最小值為（ ）A．3 B．4 C．5 D．65．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為圓上的任一點(diǎn)，.若，則的最大值為（ ）A． B．2 C． D．6．某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶.根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲?乙兩個品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量（單位：克）分別為，且，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯誤的是（ ）A．的數(shù)據(jù)較更集中B．C．甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過的概率大于D．7．已知，則（ ）A． B．C． D．8．中國古代數(shù)學(xué)家很早就對空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.例如在推導(dǎo)正四棱臺（古人稱方臺）體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進(jìn)行求解.下圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.對應(yīng)的是正四棱臺中間位置的長方體；對應(yīng)四個三棱柱，對應(yīng)四個四棱錐.若這四個三棱柱的體積之和為12，四個四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺的體積為（ ）A．24 B．28 C．32 D．36 二、多選題9．若，則（ ）A． B．C． D．10．某工廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量比為.從兩個車間中各隨機(jī)抽取了10個樣品進(jìn)行測量，其數(shù)據(jù)（單位：）如下：甲車間：乙車間：規(guī)定數(shù)據(jù)在之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品.若將頻率作為概率，則以下結(jié)論正確的是（ ）A．甲車間樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為9.8B．從樣本數(shù)據(jù)看，甲車間的極差小于乙車間的極差C．從兩個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品任取一件，取到合格品的概率為0.84D．從兩個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品任取一件，若取到不合格品，則該產(chǎn)品出自甲車間的概率為0.411．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（ ）A．直線與平面平行B．直線與直線垂直C．平面截正方體所得的截面面積為D．四面體的體積為12．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.當(dāng)時，，則以下結(jié)論正確的是（ ）A．當(dāng)時，B．若，則的解集為C．若恰有四個零點(diǎn)，則的取值范圍是D．若對，則 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.14．已知函數(shù)滿足如下條件：①定義域?yàn)?/span>；②存在，使得 ；③，試寫出一個符合上述要求的函數(shù)__________.15．已知函數(shù)，射線與該函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次構(gòu)成數(shù)列，且，則__________.16．已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，短軸的長為為上異于的兩點(diǎn).設(shè)，且，則的周長的最大值為__________. 四、解答題17．已知數(shù)列滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.18．在四棱錐中，，.(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求的值；若不存在，說明理由.19．記的內(nèi)角的對邊分別為.已知，，，且其內(nèi)切圓的面積為.(1)求和；(2)連接交于點(diǎn)，求的長.20．人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來，理論和技術(shù)日益成熟.某校成立了兩個研究性小組，分別設(shè)計(jì)和開發(fā)不同的AI軟件用于識別音樂的類別.記兩個研究性小組的軟件每次能正確識別音樂類別的概率分別為.為測試軟件的識別能力，計(jì)劃采取兩種測試方案.方案一：將100首音樂隨機(jī)分配給兩個小組識別，每首音樂只被一個軟件識別一次，并記錄結(jié)果；方案二：對同一首歌，兩組分別識別兩次，如果識別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測試通過.(1)若方案一的測試結(jié)果如下：正確識別的音樂數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識別的音樂數(shù)中，組占；在錯誤識別的音樂數(shù)中，組占.（i）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并通過獨(dú)立性檢驗(yàn)分析，是否有的把握認(rèn)為識別音樂是否正確與兩種軟件類型有關(guān)？ 正確識別錯誤識別合計(jì)A組軟件 B組軟件 合計(jì) 100（ii）利用（i）中的數(shù)據(jù)，視頻率為概率，求方案二在一次測試中獲得通過的概率；(2)研究性小組為了驗(yàn)證軟件的有效性，需多次執(zhí)行方案二，假設(shè)，問該測試至少要進(jìn)行多少次，才能使通過次數(shù)的期望值為16？并求此時的值.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)點(diǎn)，點(diǎn)為上的兩個動點(diǎn)，且滿足.過作直線交于點(diǎn).若，求直線的斜率.22．已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且，求證：且.
參考答案：1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由可得，解得，所以，又，所以.故選：D2．C【分析】先根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心建立方程，求出的值，再將代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程，即可得到答案．【詳解】由已知得：，，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以，解得，當(dāng)時，，所以預(yù)測第10天這棵幼苗的高度大約為．故選：C.3．B【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法可判斷ACD；利用作差法及特值法，結(jié)合充分條件與必要條件的概念可判斷B.【詳解】，故A錯誤；當(dāng)時，，得，即，顯然，則，即，故是的充分條件；當(dāng)時，，故是的不必要條件，故B正確； 當(dāng)時，成立，但，故C錯誤；當(dāng)時，由，得，即，故D錯誤.故選：B.4．B【分析】利用拋物線的定義，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，過作于，由拋物線定義可知，所以，則當(dāng)共線時取得最小值，所以最小值為．故選：B．5．C【分析】通過圓的三角換元，利用向量的加減運(yùn)算及向量相等的條件，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即得結(jié)果.【詳解】由已知可設(shè)，則，又，因?yàn)?/span>，所以,即,所以,其中，當(dāng)時，有最大值為.故選：C.6．D【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)和特點(diǎn)求解.【詳解】對于A，Y的密度曲線更尖銳，即數(shù)據(jù)更集中，正確；對于B，因?yàn)?/span>c與 之間的與密度曲線圍成的面積 與密度曲線圍成的面積 ， ，正確；對于C， ， 甲種茶青每500克超過 的概率 ，正確；對于D，由B知： ，錯誤；故選：D.7．A【分析】由可得到，利用作差法得到，，構(gòu)造，分別求出在上的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，令，，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，即；又，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，即，綜上，.故選：A.8．B【分析】根據(jù)給定條件，利用四棱錐、三棱柱的體積公式結(jié)合給定數(shù)據(jù)建立關(guān)系式，求出長方體的體積作答.【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長為a，高為h，三棱柱的高為b，依題意，四棱錐的體積，即，三棱柱的體積，即有，因此，于是長方體的體積，所以該正四棱臺的體積為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的體積，將給定的幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指睿D(zhuǎn)化為可求體積的幾何體求解是關(guān)鍵.9．ABD【分析】利用賦值法，令，可判斷A；令，，計(jì)算求解可判斷B；由，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解可判斷C；兩邊求導(dǎo)，令，可判斷D.【詳解】令，則，即，故A正確；令，則，令，則，則，故B正確；，則，令，則，故C錯誤；由兩邊求導(dǎo)，得，令，則，故D正確.故選：ABD.10．BC【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則判斷A，計(jì)算出極差即可判斷B，根據(jù)全概率公式計(jì)算C，根據(jù)條件概率公式計(jì)算D.【詳解】對于A：甲車間樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為：、、、、、、、、、，又，所以第百分位數(shù)為第四、五兩數(shù)的平均數(shù)即為，故A錯誤；對于B：甲車間的極差為，乙車間的極差為，故B正確；對于C：從樣本數(shù)據(jù)可知甲車間合格品的概率，乙車間合格品的概率，甲、乙兩車間產(chǎn)量比為，若從兩個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品任取一件，取到合格品的概率，故C正確；對于D：由C可知取到不合格品的概率，所以若取到不合格品，則該產(chǎn)品出自甲車間的概率，故D錯誤；故選：BC11．ACD【分析】由題意，則四點(diǎn)共面，可證得為平行四邊形，則，從而面，即可判斷A；分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算即可判斷B；為等腰梯形，計(jì)算面積即可判斷C；求出平面的法向量，利用向量法求得到平面的距離，進(jìn)而求四面體的體積，即可判斷D.【詳解】∵分別為的中點(diǎn)，∴,又,∴，∴四點(diǎn)共面，∵,,∴，∴為平行四邊形，∴，又面，面，∴面，故A正確；分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，,∴，則直線與直線垂直，故B錯誤；為等腰梯形，且,如圖，過點(diǎn)作于，則,則等腰梯形的面積為，即平面截正方體所得的截面面積為，故C正確；，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以到平面的距離為，又,所以，四面體的體積為，故D正確.故選：ACD.12．AD【分析】利用對稱性定義和區(qū)間轉(zhuǎn)化可求對稱區(qū)間解析式，對和兩個區(qū)間分別求解不等式解集，可得的解集，把零點(diǎn)問題利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為兩個圖象交點(diǎn)個數(shù)問題，即可求出的取值范圍，對恒成立問題用分離參數(shù)法，求出相應(yīng)函數(shù)的最值，即可求出的取值范圍.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以當(dāng)時，，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，現(xiàn)在先證，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，當(dāng)時，，不滿足，所以不成立，當(dāng)時，，所以，即，令，則有，①或 ②，解不等式組①，因?yàn)?/span>，則有所以，解不等式組②，因?yàn)?/span>，則有所以，所以的解集為，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)?/span>恰有四個零點(diǎn)，所以當(dāng)時，恰有兩個零點(diǎn)，且當(dāng)時，恰有兩個零點(diǎn)，且時，，因?yàn)?/span>，，所以，故，當(dāng)時，，令，則有或，因?yàn)楫?dāng)時，恰有兩個零點(diǎn)，所以有一個解且不為，當(dāng)解為時，可求，所以；因?yàn)?/span>，所以，即，所以與在時的圖象有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不為，令，則，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)逼近于時，逼近于，且，因?yàn)?/span>與在時的圖象有一個交點(diǎn)，所以，且，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以當(dāng)時，同理可得且，所以當(dāng)恰有四個零點(diǎn)，則的取值范圍是，故選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)D，若對，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以只需研究時的取值；因?yàn)?/span>，，所以，即，顯然當(dāng)時，成立，；當(dāng)時，，利用分離參數(shù)法，，所以令，則，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以；當(dāng)時，恒成立，即所以當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以；綜上所述：，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個：一是把零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)問題求解；二是恒成立問題采用分離參數(shù)法求解.13．5【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得、，即可求出，從而得解.【詳解】設(shè)，，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，即，所以.故答案為：14．（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件求解.【詳解】設(shè) ，則函數(shù)定義域?yàn)?/span>；故答案為： .15．【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再代值計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?/span>，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，且，因此，函數(shù)的周期是4，即，解得，又，即有，解得，于是，所以.故答案為：16．8【分析】根據(jù)條件求出橢圓方程，再運(yùn)用幾何關(guān)系求出最大值.【詳解】由條件 ， ，即 ， ，設(shè) ，由題意： ，則 ， ，即 ，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， ；設(shè)左焦點(diǎn)為F，右焦點(diǎn)為 ，如下圖：則 的周長 , ，當(dāng) 三點(diǎn)共線時等號成立， ，l的得最大值為8；故答案為：8.17．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由已知列式求得，可得數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得答案；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由得，代入得，解得，又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，故公差為，因此.（2）由（1）可得，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以時等號成立，所以，即.18．(1)證明見解析(2)存在， 【分析】（1）解法一：取的中點(diǎn)，可得四邊形為正方形，可證得，，從而平面，即可證得結(jié)論．解法二：取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，四邊形為正方形，在中，由余弦定理求得，證得，，從而平面，即可證得結(jié)論.（2）解法一：取的中點(diǎn)，所以平面，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求得，即可得出結(jié)論.解法二：過作，則平面.以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)，設(shè)，求出平面的法向量，由題意平面與平面所成的角也等于，求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得，即可得出結(jié)論.解法三：過點(diǎn)作于，過作于，可得是二面角的平面角，由題意二面角大小為，從而，設(shè)，則，由得，由得，解得即可.【詳解】（1）解法一：取的中點(diǎn)，連接.在四邊形中，，故四邊形為直角梯形，又，故.又由，所以四邊形為正方形，故，從而；又，所以，故.由平面平面，從而平面，又平面，所以平面平面.解法二：取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接.在四邊形中，，故四邊形為直角梯形，又，故，且，所以四邊形為正方形，故為等腰直角三角形，從而，為等腰直角三角形.在中，，又因?yàn)?/span>，所以，，又，所以，故，由平面平面，從而平面，又平面，所以平面平面.（2）解法一：取的中點(diǎn)，連接，由，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面，所以平面.又為的中點(diǎn)，所以，且，由（1）知，故.以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則則，設(shè)，則，，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則令，則，因?yàn)槎娼?/span>的大小為，所以，由，解得：，所以線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時，使得二面角大小為.解法二：過作，則平面.以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得，因?yàn)槎娼?/span>的大小為，所以平面與平面所成的角也等于，平面的一個法向量為，，因?yàn)?/span>，解得，所以線段上存在點(diǎn)，當(dāng)，即時，使得二面角大小為.解法三：過點(diǎn)作于，過作于，連接，由（1）知平面平面，所以平面，平面，故，又平面平面，所以平面，又平面，因而，所以是二面角的平面角.因?yàn)槠矫?/span>平面，二面角大小為，所以二面角大小為，從而，故，設(shè)，因?yàn)?/span>，從而，所以，從而，因?yàn)?/span>，從而，所以，即，解得，所以，從而.所以線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時，使得二面角大小為.19．(1)，(2) 【分析】（1）解法一：利用余弦定理及三角形面積公式得到方程組，解得即可；解法二：設(shè)圓與邊相切于點(diǎn)，連接，，由銳角三角函數(shù)及切線長定理得到，再由余弦定理得到方程組，解得即可；（2）解法一：設(shè)，，利用角平分線的性質(zhì)得到，即可求出，再由余弦定理計(jì)算可得；解法二：由余弦定理求出，依題意設(shè)，根據(jù)平面向量共線定理求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；解法三：由余弦定理求出，即可求出，從而得到、，再求出，最后利用正弦定理計(jì)算可得.【詳解】（1）解法一：由余弦定理得，即，又內(nèi)切圓的面積為，故內(nèi)切圓的半徑為，所以，故，于是，即，解得或，因?yàn)?/span>，所以.解法二：設(shè)圓與邊相切于點(diǎn)，連接，，則，且，且，故，因?yàn)?/span>三邊與圓相切，切線長相等，所以，即，根據(jù)余弦定理得，即，所以，解得或，因?yàn)?/span>，所以.（2）解法一：設(shè)，，由，又因?yàn)?/span>，所以，在中，由余弦定理，得，所以.解法二：由余弦定理得.設(shè)，又因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，所以，所以.，所以.解法三：在中，由余弦定理得，所以，又，所以，所以（負(fù)值舍去），且，所以.在中，由，得，所以.20．(1)（i）表格見解析，沒有；（ii）(2)測試至少27次，. 【分析】（1）根據(jù)條件填寫列聯(lián)表并做卡方計(jì)算，根據(jù)列聯(lián)表求出 ，對“一次測試通過”作分類討論求出其概率；（2）根據(jù)對“一次測試通過”的分類討論，求出其概率的最大值，再按照二項(xiàng)分布求解.【詳解】（1）（i）依題意得列聯(lián)表如下： 正確識別錯誤識別合計(jì)組軟件402060組軟件202040合計(jì)6040100因?yàn)?/span>，且，所以沒有的把握認(rèn)為軟件類型和是否正確識別有關(guān)；（ii）由（i）得，故方案二在一次測試中通過的概率為 ；（2）方案二每次測試通過的概率為 ，所以當(dāng)時，取到到最大值，又，此時，因?yàn)槊看螠y試都是獨(dú)立事件，故次實(shí)驗(yàn)測試通過的次數(shù)，期望值，因?yàn)?/span>，所以所以測試至少27次，此時.21．(1)(2)±1. 【分析】（1）由題意，點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，，，可得的方程；（2）解法一：設(shè)與的交點(diǎn)為，設(shè)的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，由結(jié)合韋達(dá)定理解得，得到直線的方程，由題意寫出直線的方程，求得點(diǎn)、點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線的方程，可得直線的斜率.解法二：由對稱性，直線必過定點(diǎn)，設(shè)的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，由結(jié)合韋達(dá)定理解得，進(jìn)一步可得到直線方程以及恒過定點(diǎn).求得點(diǎn)、點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線的方程，可得直線的斜率.解法三：設(shè)方程為，設(shè)方程為，聯(lián)立曲線方程，由韋達(dá)定理可求出點(diǎn)坐標(biāo)，用替換得點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線方程進(jìn)一步得到直線恒過定點(diǎn).下同解法一.解法四：由平移知識得到雙曲線的方程，新坐標(biāo)系下直線的方程，代入雙曲線方程，由求得，進(jìn)一步得到直線的方程，從而得到直線恒過定點(diǎn)，再利用過四點(diǎn)的二次曲線系方程結(jié)合的系數(shù)為0，即可得到直線的斜率.解法五：設(shè)直線的方程為，連理曲線方程結(jié)合由解得m，進(jìn)一步得到直線的方程以及恒過定點(diǎn).下同解法一.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，故，所以，所以曲線的方程為.（2）解法一：設(shè)與的交點(diǎn)為.顯然直線的斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程消去得，設(shè)，所以.又，因?yàn)?/span>，所以，故，代入，整理得，即，解得或（舍）.所以直線的方程為，即直線恒過定點(diǎn).因?yàn)?/span>四點(diǎn)共圓，且為直徑，由，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，且直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)，故，代入曲線的方程，解得，即，所以直線的斜率為±1.解法二：由對稱性，直線必過定點(diǎn)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程消去得，設(shè)，所以.，因?yàn)?/span>，所以，故，代入，因?yàn)?/span>，整理得，解得.所以直線的方程為，即直線恒過定點(diǎn).聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)，故，代入曲線的方程，解得，即，所以直線的斜率為1.解法三：設(shè)方程為，設(shè)方程為，聯(lián)立方程，消去得，設(shè)，則，得，所以，所以點(diǎn).用替換得點(diǎn).所以斜率，故直線方程為，即，即.所以直線恒過定點(diǎn).下同解法一.解法四：將坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到，則雙曲線的方程變?yōu)?/span>，即.新坐標(biāo)系下直線的方程設(shè)為，代入雙曲線方程有，即，兩邊同除以得，設(shè)直線的斜率分別為，則，所以，所以直線的方程為，從而直線恒過定點(diǎn)，故原坐標(biāo)系下直線恒過定點(diǎn).由四點(diǎn)共圓，設(shè)的直線方程為，即；設(shè)的直線方程為，即.所以過四點(diǎn)的二次曲線系方程為，等式左邊的系數(shù)為，所以，所以，即直線的斜率為±1.解法五：由直線不過點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為，所以由得，即，兩邊同除以得，設(shè)，上式整理得.設(shè)直線的斜率分別為，則，解得，所以直線的方程為，即，從而恒過定點(diǎn).下同解法一.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題的解題策略（1）直線過定點(diǎn)．將直線方程化為的形式，當(dāng)時與無關(guān)，即恒成立，故直線過定點(diǎn)．（2）曲線過定點(diǎn)．利用方程對任意參數(shù)恒成立得出關(guān)于的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求的定點(diǎn)．22．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）解法一：當(dāng)時，成立；當(dāng)時，即為，利用導(dǎo)數(shù)研究的最大值，即可得解；解法二：由題意得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值，即可得解；（2）解法一：根據(jù)的單調(diào)性可知．證，即證，即證，設(shè)，利用的單調(diào)性即可證明；證，即證．設(shè)，即證．設(shè)，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)可知，，使得，從而得出的單調(diào)性，證得，可得結(jié)論.解法二：證明的方法同解法一．在處的切線方程為，先證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)可知，，使得，從而得的單調(diào)性及，可得結(jié)論.【詳解】（1）解法一：當(dāng)時，由，且時，故成立；當(dāng)時，即為.由，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，即.綜上，.解法二：，由，且時，所以.設(shè)，則，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即.（2）解法一：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故.先證，由，故即證，由，故即證，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以.所以，從而.現(xiàn)證，即證.設(shè)，故即證，即證.設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，使得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，即，故.解法二：證明的方法同解法一.，，則在處的切線方程為，下面證.設(shè)，，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，使得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故，即，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)，一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).
