2024年湖南師大附中高考數(shù)學模擬試卷（二）附解析

這是一份2024年湖南師大附中高考數(shù)學模擬試卷（二）附解析，共26頁。試卷主要包含了選擇題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，則集合?A∪B（A∩B）＝（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣2，﹣1]∪[1，2）
2．（5分）已知z是虛數(shù)，z2+2z是實數(shù)，則z的（ ）
A．實部為1B．實部為﹣1C．虛部為1D．虛部為﹣1
3．（5分）設，為單位向量，在方向上的投影向量為﹣，則|﹣2|＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）若5個正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知函數(shù)f（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知實數(shù)a＞b＞0，則下列選項可作為a﹣b＜1的充分條件的是（ ）
A．B．
C．2a﹣2b＝1D．lg2a﹣lg2b＝1
7．（5分）若銳角α，β滿足3cs（α+β）＝csαcsβ，則tan（α+β）的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且AD＝1．延長BA至點E．使得BC＝BE，連接CE．設以C，E兩點為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為e1，以C，E兩點為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為e2，則e1e2的取值范圍是（ ）
A．B．C．[1，+∞）D．（1，+∞）
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
（多選）9．（6分）某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于[80，90）內(nèi)的學生成績方差為12，成績位于[90，100）內(nèi)的同學成績方差為10．則（ ）
參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：．記樣本平均數(shù)為，樣本方差為s2，
A．a(chǎn)＝0.004
B．估計該年級學生成績的中位數(shù)為77.14
C．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50
D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25
（多選）10．（6分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°．將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為θ（0°＜θ＜180°）的二面角B﹣AC﹣D，若折成的四面體ABCD內(nèi)接于球O，則下列說法正確的是（ ）
A．四面體ABCD的體積的最大值是
B．BD的取值范圍是
C．四面體ABCD的表面積的最大值是
D．當θ＝60°時，球O的體積為
（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f'（x）的定義域均為R，記g（x）＝f'（x）．若f（x）滿足f（2+3x）＝f（﹣3x），g（x﹣2）的圖象關于直線x＝2對稱，且g（0）＝1，則（ ）
A．g（x）是偶函數(shù)B．g（x）＝g（x+4）
C．f（x）+f（﹣x）＝0D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．（5分）已知直線l是圓O：x2+y2＝1的切線，點A（﹣2，1）和點B（0，3）到l的距離相等，則直線l的方程可以是 ．（寫出一個滿足條件的即可）
13．（5分）數(shù)論領域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)12＝32+12+12+12＝22+22+22+02．設25＝a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是 ．
14．（5分）若一個正三棱臺的各頂點之間的距離構成的集合為，且該三棱臺的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為 ．
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，BD1⊥平面A1C1D．
（1）求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積；
（2）設點D1關于平面A1C1D的對稱點為E，點E和點C1關于平面α對稱（E和α未在圖中標出），求平面A1C1D與平面α所成銳二面角的大?。?br>16．（15分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知na1+（n﹣1）a2+…+an＝2Sn﹣1．
（1）證明：數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列；
（2）求最小的正整數(shù)m，使得對一切n∈N*都成立．
17．（15分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右頂點為（2，0），離心率為，P是直線x＝4上任一點，過點M（1，0）且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線PA，PM，PB的斜率分別為k1，k2，k3，問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
18．（17分）某大學有甲、乙兩個運動場．假設同學們可以任意選擇其中一個運動場鍛煉，也可選擇不鍛煉，一天最多鍛煉一次，一次只能選擇一個運動場．若同學們每次鍛煉選擇去甲或乙運動場的概率均為，每次選擇相互獨立．設王同學在某個假期的三天內(nèi)去運動場鍛煉的次數(shù)為X，已知X的分布列如下：（其中a＞0，0＜p＜1）
（1）記事件Ai表示王同學假期三天內(nèi)去運動場鍛煉i次（i＝0，1，2，3），事件B表示王同學在這三天內(nèi)去甲運動場鍛煉的次數(shù)大于去乙運動場鍛煉的次數(shù)．當時，試根據(jù)全概率公式求P（B）的值；
（2）是否存在實數(shù)p，使得？若存在，求p的值：若不存在，請說明理由；
（3）記M表示事件“甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動”，N表示事件“王同學去甲運動場鍛煉”，0＜P（M）＜1．已知王同學在甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動的情況下去甲運動場鍛煉的概率，比不舉辦抽獎活動的情況下去甲運動場鍛煉的概率大，證明：．
19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），滿足，且f（x）在區(qū)間上無極值點．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當時，設|f（x1）﹣f（x2）|的最大值為F（t），求F（t）的值域；
（3）把曲線y＝f（x）向左平移個單位，再把曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變．得到曲線y＝g（x）．設函數(shù)φ（x）＝（x﹣k）g（x）（k∈R），將φ（x）在區(qū)間上的極值點按從小到大的順序排列成數(shù)列{xn}．若φ（x1）+φ（x2）＝0，求實數(shù)k的值．
2024年湖南師大附中高考數(shù)學模擬試卷（二）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，則集合?A∪B（A∩B）＝（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣2，﹣1]∪[1，2）
【答案】D
【分析】利用不等式性質(zhì)、交集、并集、補集定義求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，
∴A∩B＝（﹣1，1），A∪B＝（﹣2，2），
∴集合?A∪B（A∩B）＝（﹣2，﹣1]∪[1，2）．
故選：D．
【點評】本題考查不等式性質(zhì)、交集、并集、補集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
2．（5分）已知z是虛數(shù)，z2+2z是實數(shù)，則z的（ ）
A．實部為1B．實部為﹣1C．虛部為1D．虛部為﹣1
【答案】B
【分析】直接利用復數(shù)的運算求出結果．
【解答】解：設虛數(shù)z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），則z2+2z＝a2﹣b2+2a+2b（a+1）i，
而z2+2z是實數(shù)，
故2b（a+1）＝0，
得到a＝﹣1．
故選：B．
【點評】本題考查的知識點：復數(shù)的運算，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．
3．（5分）設，為單位向量，在方向上的投影向量為﹣，則|﹣2|＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由投影向量的概念可得＝﹣，然后利用向量的數(shù)量積運算求解．
【解答】解：因為在方向上的投影向量為﹣，
所以＝﹣，
則＝﹣，
又因為，為單位向量，所以，
所以cs＜，＞＝﹣，
所以|﹣2|＝＝＝＝．
故選：D．
【點評】本題主要考查了投影向量的概念，考查了向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題．
4．（5分）若5個正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出，再由5個數(shù)均為正數(shù)，列d的不等式求解．
【解答】解：設5個正數(shù)組成數(shù)列{an}，
則a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝2，∴，
則，解得．
∴公差d的取值范圍是（﹣，）．
故選：D．
【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
5．（5分）已知函數(shù)f（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的圖象判斷出所給命題的真假．
【解答】解：由圖可知，函數(shù)圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C，
由圖可知，函數(shù)的定義域不是實數(shù)集，故排除B；
D選項中，x→﹣∞時，y→0，不符合圖象，故排除D．
故選：A．
【點評】本題考查數(shù)形結合的性質(zhì)的應用，屬于基礎題．
6．（5分）已知實數(shù)a＞b＞0，則下列選項可作為a﹣b＜1的充分條件的是（ ）
A．B．
C．2a﹣2b＝1D．lg2a﹣lg2b＝1
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件，結合特殊值法，以及不等式的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：取a＝4，b＝1，滿足，但a﹣b＞1，故排除A：
取a＝2，b＝1，排除B；取a＝4，b＝2，排除D；
由2a﹣2b＝1，可推出2a＝2b+1＜2b+1，即a＜b+1．
故選：C．
【點評】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎題．
7．（5分）若銳角α，β滿足3cs（α+β）＝csαcsβ，則tan（α+β）的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函數(shù)的關系式的變換和基本不等式的應用求出結果．
【解答】解：由于3cs（α+β）＝csαcsβ，
所以3csαcsβ﹣3sinαsinβ＝csαcsβ，
整理得：，
于是．
故選：D．
【點評】本題考查的知識點：三角函數(shù)關系式的變換，基本不等式的應用，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．
8．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且AD＝1．延長BA至點E．使得BC＝BE，連接CE．設以C，E兩點為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為e1，以C，E兩點為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為e2，則e1e2的取值范圍是（ ）
A．B．C．[1，+∞）D．（1，+∞）
【答案】D
【分析】設M，G分別是BC，BE與圓的切點，設CD＝CM＝GE＝m，利用橢圓，雙曲線的定義分別求出e1，e2的表達式，進而可得e1e2的表達式，然后求出m的取值范圍即可得解．
【解答】解：如圖以CE的中點C為原點建立直角坐標系，
設M，G分別是BC，BE與圓的切點，由圓的切線性質(zhì)得AG＝AD＝1，
設CD＝CM＝GE＝m（m＞1），所以AC＝1+m，AE＝GE﹣AG＝m﹣1，
在△ACE中，CE2＝CA2+AE2﹣2CA?EAcs60°＝m2+3，
以E，C為焦點經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為，
以E，C為焦點經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，
則，
在△ABC中，設BM＝n，所以BC＝m+n，AB＝n+1，AC＝m+1，
由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcs120°，
所以mn＝3m+3n+3，所以，得m＞3，
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
所以．
故選：D．
【點評】本題考查了橢圓和雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
（多選）9．（6分）某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于[80，90）內(nèi)的學生成績方差為12，成績位于[90，100）內(nèi)的同學成績方差為10．則（ ）
參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：．記樣本平均數(shù)為，樣本方差為s2，
A．a(chǎn)＝0.004
B．估計該年級學生成績的中位數(shù)為77.14
C．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50
D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25
【答案】BCD
【分析】根據(jù)直方圖中的性質(zhì)逐項計算即可．
【解答】解：A項，（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，∴a＝0.005，A項錯誤；
B項，[50，70]內(nèi)頻率為：5×0.005×10＝0.25＜0.5，
[50，80]內(nèi)頻率為：12×0.005×10＝0.6＞0.5，
則中位數(shù)在[70，80]內(nèi)，設中位數(shù)為x，則0.25+（x﹣70）×7×0.005＝0.5，
則x＝77.14，B正確；
成績在80分及以上的同學的成績的平均數(shù)為分，
方差為＝30.25，C，D正確．
故選：BCD．
【點評】本題考查頻率分布直方圖，屬于中檔題．
（多選）10．（6分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°．將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為θ（0°＜θ＜180°）的二面角B﹣AC﹣D，若折成的四面體ABCD內(nèi)接于球O，則下列說法正確的是（ ）
A．四面體ABCD的體積的最大值是
B．BD的取值范圍是
C．四面體ABCD的表面積的最大值是
D．當θ＝60°時，球O的體積為
【答案】AD
【分析】對于A選項，取AC的中點E，可得，可求二面角B﹣AC﹣D的平面角為θ＝∠BED，設點D到平面ABC的距離為d，則d＝DEsinθ＝3sinθ，利用四面體的體積公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
對于B選項，由余弦定理可得BD2＝BE2+DE2﹣2BE?DEcsθ＝18﹣18csθ∈（0，36），即可判斷；
對于C選項，，可求△ABD?△CBD，利用三角形的面積公式即可求解；
對于D選項，設M，N分別為△ABC，△ACD的外心，則，在平面BDE內(nèi)過點M作BE的垂線與過點N作DE的垂線交于點O，可得O為四面體ABCD的外接球球心，連接OE，可求球O的半徑，進而利用球的體積公式即可求解．
【解答】解：對于A選項，由題意在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，
可得AC＝AB＝2，取AC的中點E，則BE⊥AC，同理可得DE⊥AC，
可得，二面角B﹣AC﹣D的平面角為θ＝∠BED，
設點D到平面ABC的距離為d，則d＝DEsinθ＝3sinθ，
可得，當且僅當θ＝90°時等號成立，故正確；
對于B選項，由余弦定理可得BD2＝BE2+DE2﹣2BE?DEcsθ＝18﹣18csθ∈（0，36），
可得BD∈（0，6），故錯誤；
對于C選項，由題意可得，
∵AB＝AD＝BC＝CD，BD＝BD，∴△ABD?△CBD，
∴，
∴四面體ABCD的表面積的最大值是，故錯誤；
對于D選項，設M，N分別為△ABC，△ACD的外心，則，
在平面BDE內(nèi)過點M作BE的垂線與過點N作DE的垂線交于點O，
∵BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE﹣E，
∴AC⊥平面BDE，
∵OM?平面BDE，
∴OM⊥AC，
∵OM⊥BE，BE∩AC＝E，
∴OM⊥平面ABC，
同理可得ON⊥平面ACD，
則O為四面體ABCD的外接球球心，
連接OE，∵EM＝EN，OE＝OE，∠OME＝∠ONE＝90°，
∴△OME?△ONE，
∴，
∴，
Rt△BMO中，，
∴，即球O的半徑為，
∴球O的體積為，故正確．
故選：AD．
【點評】本題考查了四面體的體積公式，球的體積公式，余弦定理，三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)等知識的綜合應用，考查了數(shù)形結合思想和函數(shù)思想，屬于中檔題．
（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f'（x）的定義域均為R，記g（x）＝f'（x）．若f（x）滿足f（2+3x）＝f（﹣3x），g（x﹣2）的圖象關于直線x＝2對稱，且g（0）＝1，則（ ）
A．g（x）是偶函數(shù)B．g（x）＝g（x+4）
C．f（x）+f（﹣x）＝0D．
【答案】ABD
【分析】由已知可推導出函數(shù)g（x）的奇偶性，從而判斷A；由已知可得f（x+2）＝f（﹣x），結合導數(shù)的運算可判斷B；利用導數(shù)推導出h（x）＝f（x）+f（﹣x）為常值函數(shù)，結合函數(shù)奇偶性的定義可判斷C選項；賦值法可求出的值，結合函數(shù)的周期性可判斷D選項．
【解答】解：對于A，∵函數(shù)g（x﹣2）的圖象關于直線x＝2對稱，
則g（2﹣x﹣2）＝g（2+x﹣2），
即g（﹣x）＝g（x），∴g（x）為偶函數(shù)，故A正確；
對于B，∵f（2+3x）＝f（﹣3x），∴f（x+2）＝f（﹣x），
對等式f（x+2）＝f（﹣x）兩邊求導得f'（x+2）＝﹣f'（﹣x），即g（x﹣2）+g（﹣x）＝0，
故g（x+2）+g（x）＝0，∴g（x+4）＝﹣g（x+2）＝g（x），故B正確；
對于C，∵g（x）＝f'（x），g（﹣x）＝g（x），則f'（﹣x）＝f'（x），
令h（x）＝f（x）+f（﹣x），則h'（x）＝f'（x）﹣f'（﹣x）＝0，∴h（x）為常值函數(shù)，
設h（x）＝f（x）+f（﹣x）＝C，其中C為常數(shù)，
當C≠0時，f（﹣x）＝C﹣f（x）≠﹣f（x），故C錯誤；
對于D，∵g（x+2）+g（﹣x）＝g（x+2）+g（x）＝0，
∴，g（2）+g（0）＝g（2）+1＝0，可得g（2）＝﹣1，，
由g（x+2）+g（﹣x）＝g（x+2）+g（x）＝0，令x＝1，可得g（3）+g（1）＝0，則g（3）＝0，g（4）＝g（0）＝1，
∴，
∵2024＝8×253，則，D對．
故選：ABD．
【點評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應用，考查導數(shù)的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．（5分）已知直線l是圓O：x2+y2＝1的切線，點A（﹣2，1）和點B（0，3）到l的距離相等，則直線l的方程可以是 x﹣y﹣＝0，x﹣y+＝0，3x+4y﹣5＝0，x＝﹣1 ．（寫出一個滿足條件的即可）
【答案】（寫出一個滿足條件的即可）
【分析】分直線l與直線AB平行或直線l過A，B的中點兩種情況討論，設直線的方程，由點到直線的距離公式可得參數(shù)的值，求出直線的方程．
【解答】解：若l∥AB，此時l的斜率為1，設l的方程為y＝x+b，
則點O到l的距離，得，
因此l的方程為或，
若l經(jīng)過AB的中點，當l的斜率不存在時，l的方程為x＝﹣1；
當l的斜率存在時，設其方程為y＝k（x+1）+2，
則點O到l的距離，得，此時l的方程為3x+4y﹣5＝0．
故答案為：（寫出一個滿足條件的即可）．
【點評】本題考查兩條直線平行的性質(zhì)的應用及點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．
13．（5分）數(shù)論領域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)12＝32+12+12+12＝22+22+22+02．設25＝a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是 28 ．
【答案】28．
【分析】分類討論四個數(shù)的組成后，由計數(shù)原理求解即可．
【解答】解：顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進行討論．
最大數(shù)為5的情況：
①25＝52+02+02+02，此時共有種情況；
最大數(shù)為4的情況：
②25＝42+32+02+02，此時共有種情況；
③25＝42+22+22+12，此時共有種情況．
當最大數(shù)為3時，32+32+22+22＞25＞32+32+22+12，故沒有滿足題意的情況．
綜上，滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是4+12+12＝28．
故答案為：28．
【點評】本題主要考查簡單的合情推理，排列與分類加法計數(shù)原理的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題．
14．（5分）若一個正三棱臺的各頂點之間的距離構成的集合為，且該三棱臺的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為 ．
【答案】．
【分析】設正三棱臺ABC﹣A1B1C1，先考察正三棱臺的一個側面ABB1A1，設AB＜A1B1，求得，設三棱臺的上底面中心為D，下底面中心為D1，利用三角形重心的性質(zhì)求得，設球O的半徑為R，OD1＝x，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：設正三棱臺ABC﹣A1B1C1，如圖，先考察正三棱臺的一個側面ABB1A1，
設AB＜A1B1，在△AA1B中，由于∠A1AB是鈍角，故△AA1B中最大的邊是A1B，
若A1B＝2，則AB和AA1的長只能取1或，此時若兩邊長均為1，
則△AA1B不滿足兩邊之和大于第三邊，
若一邊長1，一邊長，則△AA1B變?yōu)橹苯侨切危?br>若兩邊長均為，則A1B1的長只能為1，與AB＜A1B1矛盾，
因而只能是，
設三棱臺的上底面中心為D，下底面中心為D1，如圖，
在直角梯形ADD1A1中求球O的半徑，
利用重心的性質(zhì)容易求得，
設球O的半徑為R，OD1＝x，則，
解得，故球O的表面積為．
故答案為：．
【點評】本題考查了正三棱臺外接球的表面積計算，屬于難題．
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，BD1⊥平面A1C1D．
（1）求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積；
（2）設點D1關于平面A1C1D的對稱點為E，點E和點C1關于平面α對稱（E和α未在圖中標出），求平面A1C1D與平面α所成銳二面角的大小．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)BD1⊥CD．由，得出，即可求體積；
（2）根據(jù)條件求出，進而得出平面α與平面A1C1D的法向量，利用向量夾角公式即可求解．
【解答】解（1）設直四棱柱的高為a．設菱形A1B1C1D1的兩條對角線相交于點O，則OC1⊥OD1，
以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題設知，點，
因為BD1⊥平面A1C1D，
所以BD1⊥CD，
則，得，
故四棱柱的體積．
（2）因為BD1⊥平面A1C1D，所以點E在線段BD1上，且C1E＝C1D1＝2，
設，則＝4，
即3λ24λ+1＝0，
解得λ＝1（舍去）或，
故，
由于點E和點C1關于平面α對稱，
所以是平面α的一個法向量，
又是平面A1C1D的一個法向量，
則，
設平面A1C1D與平面α所成銳二面角為θ，
則，
所以，
即平面A1C1D和平面α所成銳二面角的大小為．
【點評】本題考查柱體的體積以及向量法的應用，屬于中檔題．
16．（15分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知na1+（n﹣1）a2+…+an＝2Sn﹣1．
（1）證明：數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列；
（2）求最小的正整數(shù)m，使得對一切n∈N*都成立．
【答案】（1）證明見解答；
（2）7．
【分析】（1）由na1+（n﹣1）a2+?+an＝2Sn﹣1，可得（n+1）a1+na2+?+an+1＝2Sn+1﹣1，兩式相減可得Sn+1＝2Sn，由等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）由an＝Sn﹣Sn﹣1，n≥2，可得數(shù)列{an}的通項，利用錯位相減求和法求出，結合已知可得m的最小值．
【解答】（1）證明：na1+（n﹣1）a2+?+an＝2Sn﹣1．
則（n+1）a1+na2+?+an+1＝2Sn+1﹣1．
兩式作差，可得a1+a2+?+an+an+1＝Sn+1＝2Sn+1﹣2Sn，即Sn+1＝2Sn．
由1×a1＝2S1﹣1，可得S1＝1≠0．
所以數(shù)列{Sn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得，
n＝1時，a1＝S1＝1，
當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣2＝2n﹣2，
a1＝1不適合上式，
所以an＝
設，則T1＝1，
當n≥2時，，
故．
兩式作差，得．
整理可得＜7，
又，因此滿足條件的最小正整數(shù)m的值為7．
【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．
17．（15分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右頂點為（2，0），離心率為，P是直線x＝4上任一點，過點M（1，0）且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線PA，PM，PB的斜率分別為k1，k2，k3，問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，λ＝2．
【分析】（1）由題意，根據(jù)右頂點和離心率求出a和c，進而求出b，即可得到橢圓的方程．
（2）假設存在，然后對直線AB斜率是否存在進行分類討論，將直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，代入k1+k3＝λk2，即可求出λ的值．
【解答】解：（1）因為橢圓的右頂點為（2，0），離心率為，
所以，
解得a＝2，b＝1，c＝，
則橢圓的方程為；
（2）假設設存在常數(shù)λ，使得k1+k3＝λk2，
當直線AB斜率不存在時，
直線AB的方程為x＝1，
代入橢圓方程中，
解得，，
此時P（4，0），
可得k1+k3＝0＝k2；
當直線AB斜率存在時，
不妨設直線AB的方程為y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立，消去y并整理得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
由韋達定理得，，
因為P是直線x＝4上任一點，過點M（1，0）且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點，
所以直線PM的方程為，
令x＝4，
解得y＝﹣，
即，
易知，，，
因為k1+k3＝λk2，
所以，
又，，y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
整理得，
解得λ＝2．
綜上，存在常數(shù)λ＝2，使得k1+k3＝λk2．
【點評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理、分類討論和運算能力，屬于中檔題．
18．（17分）某大學有甲、乙兩個運動場．假設同學們可以任意選擇其中一個運動場鍛煉，也可選擇不鍛煉，一天最多鍛煉一次，一次只能選擇一個運動場．若同學們每次鍛煉選擇去甲或乙運動場的概率均為，每次選擇相互獨立．設王同學在某個假期的三天內(nèi)去運動場鍛煉的次數(shù)為X，已知X的分布列如下：（其中a＞0，0＜p＜1）
（1）記事件Ai表示王同學假期三天內(nèi)去運動場鍛煉i次（i＝0，1，2，3），事件B表示王同學在這三天內(nèi)去甲運動場鍛煉的次數(shù)大于去乙運動場鍛煉的次數(shù)．當時，試根據(jù)全概率公式求P（B）的值；
（2）是否存在實數(shù)p，使得？若存在，求p的值：若不存在，請說明理由；
（3）記M表示事件“甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動”，N表示事件“王同學去甲運動場鍛煉”，0＜P（M）＜1．已知王同學在甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動的情況下去甲運動場鍛煉的概率，比不舉辦抽獎活動的情況下去甲運動場鍛煉的概率大，證明：．
【答案】（1）；
（2）不存在p0使得h（p0）＝0．即不存在p值，使得，理由見解析；
（3）證明過程見解析．
【分析】（1）當時，則，求出a的值，再利用全概率公式求解即可；
（2）由得，假設存在p，使E（X）＝，可得5p3﹣6p2+2＝0，設h（p）＝5p3﹣6p2+2，求導可得h（p）的單調(diào)性和最值，進而判斷p是否存在；
（3）利用條件概率證明即可．
【解答】解：（1）當時，，
則，解得，
由題意，得P（B|A1）＝，P（B|A2）＝，P（B|A3）＝，
由全概率公式，得＝，
又，
所以P（B）＝＝＝；
（2）由分布列的性質(zhì)可得，所以，
假設存在p，使，
將上述兩式相乘，得，化簡得：5p3﹣6p2+2＝0，
設h（p）＝5p3﹣6p2+2，則h'（p）＝3p（5p﹣4），
由h'（p）＜0，得，由h'（p）＞0，得，
則h（p）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以h（p）的最小值為，
所以不存在p0使得h（p0）＝0．即不存在p值，使得；
（3）證明：由題知，
所以，
所以P（NM）＞P（N）P（M），
所以P（NM）﹣P（N）P（NM）＞P（N）P（M）﹣P（N）P（NM），
即，
所以，
即．
【點評】本題主要考查了全概率公式，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．
19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），滿足，且f（x）在區(qū)間上無極值點．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當時，設|f（x1）﹣f（x2）|的最大值為F（t），求F（t）的值域；
（3）把曲線y＝f（x）向左平移個單位，再把曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變．得到曲線y＝g（x）．設函數(shù)φ（x）＝（x﹣k）g（x）（k∈R），將φ（x）在區(qū)間上的極值點按從小到大的順序排列成數(shù)列{xn}．若φ（x1）+φ（x2）＝0，求實數(shù)k的值．
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）．
【分析】（1）直接利用函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的最小正周期求出函數(shù)的關系式，進一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用三角函數(shù)的關系式的變換和函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；
（3）利用三角函數(shù)的求導和函數(shù)的單調(diào)性的關系求出實數(shù)k的值．
【解答】解：（1）由題設知直線是f（x）的一條對稱軸，點是f（x）的一個對稱中心，
所以f（x）的最小正周期T滿足，故T＝π，從而．
令，得．
結合0＜φ＜π知，故．
令：，（k∈Z），整理得：，（k∈Z）；
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）函數(shù)F（t）的值域就是f（x）在區(qū)間上最大值與最小值之差的取值范圍．
①若f（x）的對稱軸不在區(qū)間內(nèi)，則f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，在兩端點處取得最大值與最小值，
則＝．
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為．
②若f（x）的對稱軸在區(qū)間內(nèi)，
不妨設對稱軸在內(nèi)，則f（x）的最大值為1，
當，即時，F(xiàn)（t）的最小值為；
綜上所述，F(xiàn)（t）的值域為．
（3）由題設可求得g（x）＝sinx，φ（x）＝（x﹣k）sinx，
當時，φ'（x）＝sinx+（x﹣k）csx＝csx?（tanx+x﹣k）．
由函數(shù)y＝tanx+x在區(qū)間上遞增，且值域為R，
故存在唯一，使得tanx0+x0＝k．
此時，當時，φ'（x）＜0，φ（x）單泡遞減：
當時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，因此x1＝x0．
同理，存在唯一．使得tanx'﹣x'＝k．
此時，當時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增；
當時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，因此x2＝x0'．
由．
同理．
由φ（x1）+φ（x2）＝0，整理得：．
又一，故csx1csx2≠1，則有csx＝﹣csx2＝cs（x2﹣π），
由，故x1＝x2﹣π或x1＝﹣（x2﹣π）．
又k＝x1+tanx1＝x2+tanx2，當x1＝x2﹣π時．不滿足，舍去．
所以x1＝﹣（x2﹣π），即x1+x2＝π．則．
綜上所述，．
【點評】本題考查的知識點：三角函數(shù)關系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的求導和函數(shù)的單調(diào)性的關系，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作X
0
1
2
3
P
a（1﹣p）2
a
a（1﹣p）
X
0
1
2
3
P
a（1﹣p）2
a
a（1﹣p）