一、選擇題
1．復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則( )
A.B.C.2D.
2．若為銳角，，則( )
A.B.C.D.
3．已知平面，，，，則“”是“且”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
5．某校數(shù)學(xué)建模興趣小組為研究本地區(qū)兒子身高與父親身高之間的關(guān)系，抽樣調(diào)查后得出y與x線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.調(diào)查所得的部分樣本數(shù)據(jù)如下：
則下列說(shuō)法正確的是( )
A.兒子身高是關(guān)于父親身高的函數(shù)
B.當(dāng)父親身高增加時(shí)，兒子身高增加
C.兒子身高為時(shí)，父親身高一定為
D.父親身高為時(shí)，兒子身高的均值為
6．已知數(shù)列滿(mǎn)足，對(duì)任意都有，且對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．在正四棱臺(tái)中，，，，若球O與上底面以及棱，，，均相切，則球O的表面積為( )
A.B.C.D.
8．已知集合且，若P中的點(diǎn)均在直線的同一側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．若平面向量，，滿(mǎn)足，，且，則( )
A.的最小值為2
B.的最大值為5
C.的最小值為2
D.的最大值為
10．已知函數(shù)，( )
A.若，，則是最小正周期為的偶函數(shù)
B.若，為的一個(gè)零點(diǎn)，則必為的一個(gè)極大值點(diǎn)
C.若，是的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的最小值為
D.若，在上單調(diào)，則的最大值為
11．指示函數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來(lái)表示某個(gè)條件的成立情況.已知U為全集且元素個(gè)數(shù)有限，對(duì)于U的任意一個(gè)子集S，定義集合S的指示函數(shù)，若，則( )
注：表示M中所有元素x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之和(其中M是定義域的子集).
A.
B.
C.
D.
三、填空題
12．在中，，，，則__________.
13．某快遞公司將一個(gè)快件從寄件人甲處攬收開(kāi)始直至送達(dá)收件人乙，需要經(jīng)過(guò)5個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)環(huán)節(jié)，其中第1，2兩個(gè)環(huán)節(jié)各有a，b兩種運(yùn)輸方式，第3，4兩個(gè)環(huán)節(jié)各有b，c兩種運(yùn)輸方式，第5個(gè)環(huán)節(jié)有d，e兩種運(yùn)輸方式.則快件從甲送到乙恰用到4種運(yùn)輸方式的不同送達(dá)方式有__________種.
14．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為，兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”.已知橢圓，點(diǎn)P，O，R在橢圓C上，軸.點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，.若直線與的交點(diǎn)在x軸上，則的最大值為_(kāi)_________.
四、解答題
15．在菱形中，，，以為軸將菱形翻折到菱形，使得平面平面，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，連接，.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
16．已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
17．三個(gè)人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動(dòng)，紅包的總金額數(shù)為(，)個(gè)單位.第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為1到個(gè)單位且等可能(記第一個(gè)人搶完后剩余的金額數(shù)為W)，第二個(gè)人在剩余的W個(gè)金額數(shù)中搶到1到個(gè)單位且等可能，第三個(gè)人搶到剩余的所有金額數(shù)，并且每個(gè)人搶到的金額數(shù)均為整數(shù)個(gè)單位.三個(gè)人都搶完后，獲得金額數(shù)最高的人稱(chēng)為手氣王(若有多人金額數(shù)相同且最高，則先搶到最高金額數(shù)的人稱(chēng)為手氣王).
(1)若，則第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為1，2，3個(gè)單位且等可能.
(i)求第一個(gè)人搶到金額數(shù)X的分布列與期望；
(ii)求第一個(gè)人獲得手氣王的概率；
(2)在三個(gè)人搶到的金額數(shù)為2，3，4的一個(gè)排列的條件下，求第一個(gè)人獲得手氣王的概率.
18．已知雙曲線，上頂點(diǎn)為D，直線l與雙曲線C的兩支分別交于A，B兩點(diǎn)(B在第一象限)，與x軸交于點(diǎn)T.設(shè)直線，的傾斜角分別為，.
(1)若，
(i)若，求；
(ii)求證：為定值；
(2)若，直線與x軸交于點(diǎn)E，求與的外接圓半徑之比的最大值.
19．定義：對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(遞減)，在區(qū)間上單調(diào)遞減(遞增)，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為單峰函數(shù)且稱(chēng)c為最優(yōu)點(diǎn).已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是以c為最優(yōu)點(diǎn)的單峰函數(shù)，在區(qū)間上選取關(guān)于區(qū)間的中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，，稱(chēng)使得較小的試驗(yàn)點(diǎn)為好點(diǎn)(若相同，就任選其一)，另一個(gè)稱(chēng)為差點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點(diǎn)c與好點(diǎn)在差點(diǎn)的同一側(cè).我們以差點(diǎn)為分界點(diǎn)，把區(qū)間分成兩部分，并稱(chēng)好點(diǎn)所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為，再對(duì)區(qū)間重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間，滿(mǎn)足，可使存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點(diǎn)(或者接近最優(yōu)點(diǎn))，從第二次操作起，將前一次操作中的好點(diǎn)作為本次操作的一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度與操作前區(qū)間的長(zhǎng)度的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)這樣的操作是“優(yōu)美的”，得到的每一個(gè)存優(yōu)區(qū)間都稱(chēng)為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，稱(chēng)為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對(duì)區(qū)間進(jìn)行n次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，令，我們可任取區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)作為最優(yōu)點(diǎn)c的近似值，稱(chēng)之為在區(qū)間上精度為的“合規(guī)近似值”，記作.已知函數(shù)，，函數(shù)，.
(1)求證：函數(shù)是單峰函數(shù)；
(2)已知c為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，d為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn).
(i)求證：；
(ii)求證：.
注：.
參考答案
1．答案：B
解析：由，可得，
所以.
故選：B.
2．答案：A
解析：為銳角，,故，
所以，
故選：A.
3．答案：C
解析：由于，所以，，
若，則，，故充分性成立，
若，，設(shè)，，
則存在直線使得，所以，由于，故，
同理存在直線使得，所以，由于，故，
由于a，b不平行，所以a，b是平面內(nèi)兩條相交直線，所以，故必要性成立，
故選：C.
4．答案：B
解析：圓即，
則圓C圓心為，半徑為，
因?yàn)橹本€與圓相離
所以，解得.
故選：B.
5．答案：D
解析：由題意知父親身高與兒子身高具有線性相關(guān)關(guān)系，
不是函數(shù)關(guān)系，故A不正確；
當(dāng)父親身高增加時(shí)，兒子身高約增加，故B不正確；
當(dāng)兒子身高為時(shí)，代入可得，父親身高可能為，故C不正確；
若某父親身高為，則其兒子的身高估計(jì)為，故D正確.
故選：D.
6．答案：C
解析：因?yàn)閷?duì)任意都有，
所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，
因?yàn)閷?duì)任意都有，
所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
7．答案：C
解析：設(shè)棱臺(tái)上下底面的中心為N，M,連接，
則，，
所以棱臺(tái)的高,
設(shè)球半徑為R,根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知：球O與上底面相切于N,與棱，，，均相切于各邊中點(diǎn)處，
設(shè)中點(diǎn)為E，連接，，,
所以，解得，
所以球O的表面積為，
故選：C.
8．答案：A
解析：依題意集合P即為關(guān)于x、y的方程組的解集，顯然，
所以，即，令，
由，解得或，
即函數(shù)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，
又，所以為奇函數(shù)，
因?yàn)榕c在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，
依題意與、的交點(diǎn)在直線的同側(cè)，
只需或，即或，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：A.
9．答案：BD
解析：當(dāng)向量，方向相同，與方向相反時(shí)，滿(mǎn)足，
此時(shí)有最小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)向量，，方向相同時(shí)，滿(mǎn)足，
此時(shí)有最大值，B選項(xiàng)正確；
，有，即，則，
向量，方向相同時(shí)，的最小值為0，的最小值為3，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
向量，方向相反時(shí)，的最大值為2，的最大值為，D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
10．答案：ACD
解析：若，，則，
所以是最小正周期為的偶函數(shù)，A正確；
若，則是最小正周期為，
若為的一個(gè)零點(diǎn)，則為的一個(gè)極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
若，是的一條對(duì)稱(chēng)軸，
則，
所以，即，
又，所以的最小值為，C正確；
若則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，
令，解得，
又在上單調(diào)，所以當(dāng)時(shí)，，
即，解得，則的最大值為，D正確.
故選：ACD.
11．答案：BCD
解析：對(duì)于A，由于,所以
故，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，若,則，，，此時(shí)滿(mǎn)足，
若且時(shí)，，，，
若且時(shí)，，，，
若且時(shí)，，，，
綜上可得，故B正確，
對(duì)于C，
而，
由于，所以
故,C正確，
,
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，中至少一個(gè)為1，所以，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，均為0，所以，
故,故D正確，
故選：BCD.
12．答案：2
解析：由余弦定理可得,
故答案為：2.
13．答案：16
解析：快遞從甲送到乙有4種運(yùn)輸方式，且第5個(gè)環(huán)節(jié)從d，e兩種運(yùn)輸方式中選一種，
1，2，3，4個(gè)環(huán)節(jié)必須包含三種不同的運(yùn)輸方式，
若第1，2個(gè)環(huán)節(jié)運(yùn)輸方式相同，則只能都選a，則3，4個(gè)環(huán)節(jié)一個(gè)選b，一個(gè)選c，
則有種，
若第1，2個(gè)環(huán)節(jié)運(yùn)輸方式不相同，則已經(jīng)包含a，b兩種運(yùn)輸方式，
則3，4個(gè)環(huán)節(jié)一個(gè)選b，一個(gè)選c，或者都選c，
則由種，
快遞從甲送到乙有4種運(yùn)輸方式的運(yùn)輸順序共有種.
故答案為：16.
14．答案：
解析：設(shè)，,由題意，；
不妨設(shè)點(diǎn)P位于第一象限，由可得,
設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則有,;
，，
由可得，整理得①；
，，
由可得，整理得②；
聯(lián)立①②可得，由題意，所以，
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，
，
因?yàn)?，設(shè)，，，
，其中；
所以當(dāng)時(shí)，取到最大值.
故答案為：.
15．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1)，平面，平面，平面.
同理可得平面.
又，平面，平面平面.
平面，平面.
(2)法1：取中點(diǎn)O，易知，.
平面平面，平面平面，
又平面，
平面.
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，.
從而，得.
又，，設(shè)平面的法向量，
有，得，解得，取，故，
設(shè)直線與平面所成角為，則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
法2：取中點(diǎn)F，則是平行四邊形，所以.
從而與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)為.
過(guò)作交于G，過(guò)G作交于H，
過(guò)G作交于K.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>又平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
從而平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，又，，平面，
從而平面.
所以的長(zhǎng)即為G到平面的距離.
由，，可得.
又，所以F到平面的距離設(shè)為h即為G到平面的距離，即.
又，可得.
在中，，，所以，得.
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
16．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1)時(shí)，，即.
又，，也符合，
所以時(shí)，，即.
又，所以，
所以，所以數(shù)列成等比數(shù)列.
(2)由(1)易得.由可得，所以.
所以，
所以.
令，
則，
所以，
所以.
17．答案：(1)(i)分布列見(jiàn)解析，2
(ii)
(2)
解析：(1)若第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為i個(gè)單位，第二個(gè)人搶到的金額數(shù)為j個(gè)單位，第三個(gè)人搶到的金額數(shù)為k個(gè)單位，我們將三個(gè)人搶到的金額數(shù)記作.
(i)，
所以X的分布列為
.
(ii)第一個(gè)人獲得手氣王時(shí)，三個(gè)人搶到的金額數(shù)只可能為，，，
故第一個(gè)人獲得手氣王的概率
.
(2)記事件“三個(gè)人搶到的金額數(shù)為2，3，4的一個(gè)排列”，事件“第一個(gè)人獲得手氣王”.
所要求的是條件概率，有.
當(dāng)三個(gè)人搶到的金額數(shù)為2，3，4的一個(gè)排列時(shí)，總金額數(shù)為9，故第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為1，2，3，4，5.
又，
，
故.
18．答案：(1)(i)
(ii)證明見(jiàn)解析
(2)2
解析：(1)(i)，所以直線.
直線與C聯(lián)立可得，解得或，所以.
所以，所以；
(ii)法1：①直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由得
所以，.
當(dāng)時(shí)，由(i)可得；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，的斜率分別為，.
，.
所以，
.
所以.
因?yàn)锽在第一象限，所以，所以，所以.
②直線斜率不存在時(shí)，可得，，
可得，，
所以，同理可得.
綜上可得，為定值，得證.
法2：①時(shí)，由(i)可得；
②時(shí)，設(shè)，的斜率分別為，.
設(shè)，由在直線上可得.
l與C聯(lián)立可得，
即，
所以，就是方程的兩根.
所以，，
，
因?yàn)锽在第一象限，所以，所以，所以.
綜上可得，為定值，得證.
(2)由(1)可得時(shí)，.
①不存在，則，由①(i)可得，所以，
所以.
②不存在，則，則，
此時(shí)，由圖可得.
③法1：若和均存在，設(shè)，則
與雙曲線聯(lián)立可得，.
所以，.
所以，
所以.
設(shè)與的外接圓半徑分別為，，
從而.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.
所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.
法2：若和均存在，設(shè)，，則，.
由A，T，B三點(diǎn)共線可得.
所以，所以.
，
所以
.
所以，所以.
設(shè)與的外接圓半徑分別為，，
從而.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.
所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.
法3：若和均存在，設(shè)，則，
則.
記直線的傾斜角為，則，所以
所以.
設(shè)與的外接圓半徑分別為，，
從而.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.
所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.
19．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)(i)證明見(jiàn)解析
(ii)證明見(jiàn)解析
解析：(1)因?yàn)椋?，則.，
因?yàn)?，則，則在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br>由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一的，使得，且
時(shí)，，，
所以在上遞增，上遞減，所以為單峰函數(shù).
(2)(i)令，則，令，
因?yàn)閐為在上的最優(yōu)點(diǎn)，所以t為在的最優(yōu)點(diǎn)，，
所以，結(jié)合最優(yōu)點(diǎn)的定義知，t為在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).
又由(1)知，在遞增，遞減，且，.
所以由零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間存在唯一的，使得，
即，所以.
(ii)第一次操作：取，，由對(duì)稱(chēng)性不妨去掉區(qū)間，
則存優(yōu)區(qū)間為，為好點(diǎn)；
第二次操作：為一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，為了保證對(duì)稱(chēng)性，
另一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)與關(guān)于區(qū)間的中心對(duì)稱(chēng)，所以；
又因?yàn)榍皟纱尾僮?，每次操作后剩下的存?yōu)區(qū)間長(zhǎng)度與操作前的比值為.
若，即，則，(舍去)；
若，即，則，即，解得或(舍).
則操作5次后的精度為.
.
又，
所以.
所以，得證.
父親身高
164
166
170
173
173
174
180
兒子身高
165
168
176
170
172
176
178
X
1
2
3
P

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2023屆浙江省寧波市高三下學(xué)期選考適應(yīng)性考試（二模）數(shù)學(xué)試卷PDF版含答案

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2023屆浙江省寧波市高三下學(xué)期選考適應(yīng)性考試（二模）數(shù)學(xué)試卷（PDF版）

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浙江省寧波市2022屆高三下學(xué)期4月二模考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

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