一、選擇題
1．已知線段AB是圓O的一條長為4的弦,則( )
A.4B.6C.8D.16
2．復(fù)數(shù)z滿足,則( )
A.B.C.D.
3．已知圓錐PO的軸截面是等邊三角形,則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為( )
A.B.C.D.
4．已知一組數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)為,另一組數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)為.若數(shù)據(jù),,…,,,,…,的平均數(shù)為,其中,則m,n的大小關(guān)系為( )
A.B.C.D.m,n的大小關(guān)系不確定
5．已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2,點(diǎn),是拋物線C上兩個(gè)不同點(diǎn),且,則( )
A.B.C.D.3
6．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則關(guān)于x的不等式的解集為( )
A.B.C.D.
7．在正方體中,點(diǎn)E,F分別為棱AB,AD的中點(diǎn),過點(diǎn)E,F,三點(diǎn)作該正方體的截面,則( )
A.該截面多邊形是四邊形
B.該截面多邊形與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)
C.平面
D.平面平面
8．若項(xiàng)數(shù)均為的兩個(gè)數(shù)列,滿足,且集合,則稱數(shù)列,是一對“n項(xiàng)緊密數(shù)列”.設(shè)數(shù)列,是一對“4項(xiàng)緊密數(shù)列”,則這樣的“4項(xiàng)緊密數(shù)列”有( )對.
A.5B.6C.7D.8
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知集合,集合,若有且僅有3個(gè)不同元素,則實(shí)數(shù)的值可以為( )
A.0B.1C.2D.3
10．已知函數(shù),則( )
A.函數(shù)的最小正周期為
B.函數(shù)在上單調(diào)遞增
C.函數(shù)的最大值為
D.若方程在上有且僅有8個(gè)不同的實(shí)根,則
11．直線l與雙曲線的左,右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),與E的兩條漸近線分別交于C,D兩點(diǎn),A,C,D,B從左到右依次排列,則( )
A.線段AB與線段CD的中點(diǎn)必重合
B.
C.線段AC,CD,DB的長度不可能成等差數(shù)列
D.線段AC,CD,DB的長度可能成等比數(shù)列
三、填空題
12．在的展開式中,不含字母y的項(xiàng)為_________.
13．一個(gè)不透明的袋子裝有5個(gè)完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,4.現(xiàn)甲從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下所標(biāo)數(shù)字后放回,乙再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下所標(biāo)數(shù)字,若摸出的球上所標(biāo)數(shù)字大即獲勝(若所標(biāo)數(shù)字相同則為平局),則在甲獲勝的條件下,乙摸到2號球的概率為_________.
14．由函數(shù)圖象上一點(diǎn)P向圓引兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,連接AB,當(dāng)直線AB的橫截距最大時(shí),直線AB的方程為_________,此時(shí)_________.
四、解答題
15．隨著生活水平的不斷提高,老百姓對身體健康越來越重視,特別認(rèn)識到“肥胖是禍不是?！?某校生物學(xué)社團(tuán)在對人體的脂肪含量和年齡之間的相關(guān)關(guān)系研究中,利用簡單隨機(jī)抽樣的方法得到40組樣本數(shù)據(jù),其中表示年齡,表示脂肪含量,并計(jì)算得到,作出散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)脂肪含量與年齡具有線性相關(guān)關(guān)系,并得到其線性回歸方程為.
（1）請求出的值,并估計(jì)35歲的小趙的脂肪含量約為多少?
（2）小趙將自己實(shí)際的脂肪含量與（1）中脂肪含量的估計(jì)值進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)自己的脂肪含量嚴(yán)重超標(biāo),于是他打算進(jìn)行科學(xué)健身來降低自己的脂肪含量,來到健身器材銷售商場,看中了甲,乙兩款健身器材,并通過售貨員得到這兩款健身器材的使用年限(整年),如下表所示:
如果小趙以使用年限的頻率估計(jì)概率,請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì),小趙應(yīng)選擇購買哪一款健身器材,才能使用更長久?
16．如圖,在四棱錐中,,,,,,,,連接BE,CE,PE.
（1）求證:平面平面PCE;
（2）求直線CE與平面PCD所成角正弦值的大小.
17．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于直線.
（1）若對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn),求證:.
18．已知數(shù)列的首項(xiàng)等于3,從第二項(xiàng)起是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)的和;
（2）設(shè)數(shù)列滿足且,若數(shù)列的前n項(xiàng)的和為,求.
19．已知橢圓,圓.
（1）點(diǎn)B是橢圓的下頂點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,點(diǎn)Q在圓上(點(diǎn)P,Q異于點(diǎn)B),連BP,BQ,直線BP與直線BQ的斜率分別記作,,若,試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.
（2）橢圓的左,右頂點(diǎn)分別為點(diǎn),,點(diǎn)E(異于頂點(diǎn))在橢圓上且位于x軸上方,連,分別交y軸于點(diǎn)M,N,點(diǎn)F在圓上,求證:的充要條件為軸.
參考答案
1．答案：C
解析：由條件知,故選C.
2．答案：D
解析：由條件知,所以,故選D.
3．答案：A
解析：根據(jù)條件可知其外接球與內(nèi)切球的半徑之比為,所以其表面積之比為,故選A.
4．答案：B
解析：由題意可知,,,于是,又,所以,所以,兩式相減得,所以,故選B.
5．答案：A
解析：由已知得,所以,,根據(jù)得即,于是,即,所以,故選A.
6．答案：C
解析：由題意知,解得,所以,其在R上單調(diào)遞增,且函數(shù)為奇函數(shù),,所以不等式可化為,于是,即,解得或,故選C.
7．答案：B
解析：將線段EF向兩邊延長,分別與棱CB的延長線,棱CD的延長線交于C,H,連,分別與棱,交于P,Q,則可得到截面多邊形是五邊形,A錯(cuò)誤;因,所以,于是截面與棱的交點(diǎn)P是棱的一個(gè)三等分點(diǎn),B正確,因與不垂直,平面,所以與平面不垂直,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因平面,所以平面與平面不平行,選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選B.
8．答案：B
解析：由條件知,,,,
于是,
又,
所以,
于是“4項(xiàng)緊密數(shù)列”有,;,;
,;,;,,共有6對,故選B.
9．答案：AB
解析：由條件知,,要使有且僅有3個(gè)不同元素,則,解得,結(jié)合備選答案,AB符合,故選AB.
10．答案：ACD
解析：由條件可知,因,又函數(shù)與的最小正周期均為,所以函數(shù)的最小正周期為,A正確;又,所以函數(shù)為偶函數(shù),考慮當(dāng)時(shí),,所以B錯(cuò)誤,C正確,又,,作出函數(shù)的大致圖象,即可判斷D正確,故選ACD.
11．答案：ABD
解析：設(shè)直線,,,,,聯(lián)立得,于是,,聯(lián)立得,于是,,所以,因此線段AB與線段CD的中點(diǎn)必重合,A正確;設(shè)中點(diǎn)為,則,,所以,B正確;假設(shè)線段AC,CD,DB的長度成等差數(shù)列,則,所以,于是,兩邊同時(shí)平方并整理得,于是,展開整理得,該方程有解,所以存在直線,使得線段AC,CD,DB的長度成等差數(shù)列,C錯(cuò)誤;同上推理,當(dāng)線段AC,CD,DB的長度相等時(shí),線段AC,CD,DB的長度成等比數(shù)列,D正確,故選ABD.
12．答案：
解析：由條件可知不含字母y的項(xiàng)為.
13．答案：
解析：設(shè)事件“甲獲勝”為事件A,事件“乙摸到2號球”為事件B,則,,所以,故填.
14．答案：,
解析：設(shè)點(diǎn),則以線段PC為直徑的圓的方程為,整理得,與圓相交,得直線,令,則,構(gòu)造函數(shù),對其求導(dǎo)得,令,則,于是函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,其最大值為,此時(shí)直線AB的方程為,,,,于是.
15．答案：（1）19.317
（2）小趙應(yīng)購買甲款健身器材才能使用更長久
解析：（1）因線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心,
所以將,代人,
得到.
于是,
當(dāng)時(shí),.
所以的值為,估計(jì)35歲的小趙的脂肪含量約為19.317.
（2）以頻率估計(jì)概率,設(shè)甲款健身器材使用年限為X(單位:年),則X的分布列為
于是.
設(shè)乙款健身器材使用年限為Y(單位:年),則Y的分布列為
于是.
因,所以小趙應(yīng)購買甲款健身器材才能使用更長久.
16．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）因,,所以,
又,所以,
根據(jù)余弦定理知
,
又,,,所以,,,
于是,所以,
,于是,
因,所以平面PCE,
又平面PBE,所以平面平面PCE.
（2）如圖,以點(diǎn)E為原點(diǎn),分別以ED,EP所在直線為y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則,,,
于是,
設(shè)平面PCD的法向量為,
又,,
于是,所以不妨取,
設(shè)直線CE與平面PCD所成角為,
則,
所以直線CE與平面PCD所成角的正弦值為.
17．答案：（1）
（2）見解析
解析：對函數(shù)求導(dǎo)得,
所以,
解得.
（1）由題意可知對任意的恒成立,
即對任意的恒成立,只需,
令,
對其求導(dǎo)得,
所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.
所以,
于是,因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（2）由條件知,對其求導(dǎo)得,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,
所以存在,使,即,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
于是是函數(shù)的極值點(diǎn),
所以,即得證.
18．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）因,,成等比數(shù)列,所以,即,
解得,
所以當(dāng),時(shí),,
又不符合上式,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
因此,
當(dāng),時(shí),,
又符合上式,
所以當(dāng)時(shí),.
（2）由（1）知.
令,,
所以,
又,,所以
因此,
所以,
于是
19．答案：（1）直線PQ過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為
（2）見解析
解析：（1）設(shè),,則,,
丁是,,
因點(diǎn),,所以,于是,
整理得,
又直線PQ的方程為,
即,
所以直線PQ過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）設(shè),,則,設(shè),,
因,所以直線,所以,
因,所以直線,所以,
于是.
先證充分性:當(dāng)軸時(shí),,所以,即,于是,
設(shè)直線NF交x軸于點(diǎn)D,
因軸,所以,又,,
所以,于是,
不妨設(shè)點(diǎn)E在第一象限,點(diǎn)F在第二象限,則,即,
所以直線ND的方程為,
聯(lián)立得,解得或,
所以,
于是
,所以充分性成立.
再證必要性:當(dāng)時(shí),即,
整理得,
又,所以,
又,N,E三點(diǎn)共線,所以直線的方程為,
,M,E三分共線,所以直線的方程為,
聯(lián)立,消去x,得,即,
所以軸,即必要性得證.
甲款使用年限統(tǒng)計(jì)表
使用年限
5年
6年
7年
8年
合計(jì)
臺數(shù)
10
40
30
20
100
乙款使用年限統(tǒng)計(jì)表
使用年限
5年
6年
7年
8年
合計(jì)
臺數(shù)
30
40
20
10
100
X
5
6
7
8
P
0.1
0.4
0.3
0.2
Y
5
6
7
8
P
0.3
0.4
0.2
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