1．（3分）下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
2．（3分）已知的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．點(diǎn)在圓外C．點(diǎn)在圓上D．無(wú)法判斷
3．（3分）下列事件中，是確定事件的是
A．打開電視正好在播放廣告
B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)
C．隨意擲一塊質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是1
D．在一個(gè)裝滿白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球
4．（3分）下列圖形中的角是圓心角的是
A．B．
C．D．
5．（3分）若，與的面積比為，則與的對(duì)應(yīng)邊的比是
A．B．C．D．
6．（3分）某籃球隊(duì)5名場(chǎng)上隊(duì)員的身高（單位：分別是183、187、190、200、195，現(xiàn)用一名身高為的隊(duì)員換下場(chǎng)上身高為的隊(duì)員，與換人前相比，場(chǎng)上隊(duì)員身高的
A．平均數(shù)變大，方差變小B．平均數(shù)變小，方差變大
C．平均數(shù)變大，方差變大D．平均數(shù)變小，方差變小
7．（3分）關(guān)于的一元二次方程一個(gè)實(shí)數(shù)根為2024，則方程一定有實(shí)數(shù)根
A．2024B．C．D．
8．（3分）如圖，將正方形紙片沿折疊，使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，為交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．下列四個(gè)結(jié)論中：①；②；③平分；④，正確的是
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，本大題共24分.不需要寫出解答過(guò)程，只需把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9．（3分）二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
10．（3分）用一個(gè)圓心角為，半徑為的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓半徑為 ．
11．（3分）若某商品經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià)后，由400元下調(diào)至256元，則這種商品平均每次降價(jià)的百分率是 ．
12．（3分）三角形兩邊的長(zhǎng)是4和9，第三邊滿足方程，則三角形周長(zhǎng)為 ．
13．（3分）在中，，則是 三角形．
14．（3分）小明同學(xué)是一位古詩(shī)文的愛好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩(shī)詞《念奴嬌．赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是，則可列方程為 ．
15．（3分）如圖，在矩形中，的角平分線與邊交于點(diǎn)，的角平分線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，如果，，那么 ．
16．（3分）如圖，在四邊形中，，，，，則的最大值是 ．
三、解答題（本大題共10小題，共102分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
18．（10分）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）0能是方程的一個(gè)根嗎？若能，求出它的另一個(gè)根；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．（10分）為了豐富校園文化生活，某校舉辦“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”趣味賽．比賽題目分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”“綜合與實(shí)踐”四組（依次記為，，，，小明和小剛兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從四組題目中隨機(jī)抽取一組，然后放回，另一名同學(xué)從四組題目中隨機(jī)抽取一組．
（1）小剛抽到組題目的概率是 ；
（2）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求小明和小剛兩名同學(xué)抽到的題目不是同一組的概率．
20．（10分）某校為落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富課后服務(wù)內(nèi)容，為學(xué)生開設(shè)五類活動(dòng)（要求每人必須參加且只參加一類活動(dòng)）．音樂(lè)杜團(tuán)；．體育社團(tuán)；．美術(shù)杜團(tuán)；．書法團(tuán)；．電腦編程社團(tuán)．該校為了解學(xué)生對(duì)這五類社團(tuán)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：
（1）此次調(diào)查共隨機(jī)抽取了 名學(xué)生，條形統(tǒng)計(jì)圖中“．美術(shù)社團(tuán)”有 人；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角 度；
（3）若該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校選擇“．音樂(lè)社團(tuán)”的學(xué)生共有多少名？
21．（10分）某網(wǎng)店銷售臺(tái)燈，成本為每盞30元．銷售大數(shù)據(jù)分析表明：當(dāng)每盞臺(tái)燈售價(jià)為40元時(shí)，平均每月售出600盞，若售價(jià)每下降1元，其月銷售量就增加200盞．為迎接“雙十一”，該網(wǎng)店決定降價(jià)促銷，在庫(kù)存為1210盞臺(tái)燈的情況下，若預(yù)計(jì)月獲利恰好為8400元，求每盞臺(tái)燈的售價(jià)．
22．（10分）如圖，已知是外一點(diǎn)，請(qǐng)只用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)作的一條切線．（保留作圖的痕跡）
23．（10分）如圖，在中，點(diǎn)在斜邊上，以為圓心，為半徑作圓，分別與、相交于點(diǎn)、，連接，已知．
（1）與有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
24．（10分）為了讓同學(xué)們感受三角函數(shù)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，數(shù)學(xué)備課組開展了“利用三角函數(shù)測(cè)高”綜合實(shí)踐活動(dòng)．某活動(dòng)小組對(duì)操場(chǎng)外的居民樓進(jìn)行測(cè)量，如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)的仰角．在與點(diǎn)相距5.25米的測(cè)點(diǎn)處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)的仰角（點(diǎn)，與在一條直線上），求居民樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果精確到
25．（12分）如圖①，已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．
（1）【證明與推斷】：
①求證：四邊形是正方形；
②推斷：的值為 ；
（2）【探究與證明】：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度，如圖②所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）【拓展與運(yùn)用】：正方形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，如圖③所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．
26．（12分）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線交拋物線于點(diǎn)，并且，
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第二象限，順次連接點(diǎn)、、、，求四邊形面積的最大值；
（3）在（2）中四邊形面積最大的條件下，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以點(diǎn)為圓心，為半徑且與直線相切的圓？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2023-2024學(xué)年江蘇省連云港市東?？h九年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．（3分）下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程，本選項(xiàng)不符合題意；
、化簡(jiǎn)后為不是一元二次方程，本選項(xiàng)不符合題意；
、是一元二次方程，本選項(xiàng)符合題意；
、不是整式方程，不是一元二次方程，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
2．（3分）已知的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．點(diǎn)在圓外C．點(diǎn)在圓上D．無(wú)法判斷
【解答】解：點(diǎn)到圓心的距離為，小于的半徑，
點(diǎn)在內(nèi)．
故選：．
3．（3分）下列事件中，是確定事件的是
A．打開電視正好在播放廣告
B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)
C．隨意擲一塊質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是1
D．在一個(gè)裝滿白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球
【解答】解：、打開電視正好在播放廣告，是隨機(jī)事件，不符合題意；
、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機(jī)事件，不符合題意；
、隨意擲一塊質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是1，是隨機(jī)事件，不符合題意；
、在一個(gè)裝滿白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球，是不可能事件，屬于確定事件，符合題意；
故選：．
4．（3分）下列圖形中的角是圓心角的是
A．B．
C．D．
【解答】解：因?yàn)轫旤c(diǎn)在圓心的角為圓心角，
所以選項(xiàng)正確．
故選：．
5．（3分）若，與的面積比為，則與的對(duì)應(yīng)邊的比是
A．B．C．D．
【解答】解：與的面積比為，
與的對(duì)應(yīng)邊的比，
故選：．
6．（3分）某籃球隊(duì)5名場(chǎng)上隊(duì)員的身高（單位：分別是183、187、190、200、195，現(xiàn)用一名身高為的隊(duì)員換下場(chǎng)上身高為的隊(duì)員，與換人前相比，場(chǎng)上隊(duì)員身高的
A．平均數(shù)變大，方差變小B．平均數(shù)變小，方差變大
C．平均數(shù)變大，方差變大D．平均數(shù)變小，方差變小
【解答】解：用一名身高的隊(duì)員換下場(chǎng)上身高的隊(duì)員，與換人前相比，場(chǎng)上隊(duì)員身高的和變大，而人數(shù)沒(méi)變，
所以他們的平均數(shù)變大，
由于數(shù)據(jù)的波動(dòng)性變大，
所以數(shù)據(jù)的方差變大．
故選：．
7．（3分）關(guān)于的一元二次方程一個(gè)實(shí)數(shù)根為2024，則方程一定有實(shí)數(shù)根
A．2024B．C．D．
【解答】解：關(guān)于的一元二次方程一個(gè)實(shí)數(shù)根為2024，
，
，
，
是方程的實(shí)數(shù)根．
故選：．
8．（3分）如圖，將正方形紙片沿折疊，使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，為交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．下列四個(gè)結(jié)論中：①；②；③平分；④，正確的是
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【解答】解：①四邊形是正方形，
．
由折疊可知：，．
，
，
，
．
，
．
，
．
故①正確；
②過(guò)點(diǎn)作于，
由折疊可得：，
，
，
，
在和中，
，
．
，．
，
，
，
，
②不正確；
③由折疊可得：，
，
，
，
即平分．
③正確；
④連接，，，如圖，
，，
，，
，
，
．
．
由折疊可得：，
．
．
由折疊可知：．
．
，，
，
，，，四點(diǎn)共圓，
．
在和中，
，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
④正確；
綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④．
故選：．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，本大題共24分.不需要寫出解答過(guò)程，只需把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9．（3分）二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
【解答】解：二次函數(shù)，
該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
10．（3分）用一個(gè)圓心角為，半徑為的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓半徑為 5 ．
【解答】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓半徑為，
根據(jù)題意得，
解得．
故答案為：5．
11．（3分）若某商品經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià)后，由400元下調(diào)至256元，則這種商品平均每次降價(jià)的百分率是 ．
【解答】解：設(shè)這種商品平均每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意得：
，
解得：，（舍去），
即：這種商品平均每次降價(jià)的百分率為．
故答案為：．
12．（3分）三角形兩邊的長(zhǎng)是4和9，第三邊滿足方程，則三角形周長(zhǎng)為 23 ．
【解答】解：解方程得：，，
當(dāng)三邊為4、9、10時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系定理，能組成三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為，
當(dāng)三邊為4、9、14時(shí)，，不符合三角形三邊關(guān)系定理，不能組成三角形，
即三角形的周長(zhǎng)是23，
故答案為：23．
13．（3分）在中，，則是 鈍角 三角形．
【解答】解：，
，，
解得：，
故，，
，
則是鈍角三角形．
故答案為：鈍角．
14．（3分）小明同學(xué)是一位古詩(shī)文的愛好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩(shī)詞《念奴嬌．赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是，則可列方程為 ．
【解答】解：假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是，則可列方程為，
故答案為：．
15．（3分）如圖，在矩形中，的角平分線與邊交于點(diǎn)，的角平分線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，如果，，那么 ．
【解答】解：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
．
故答案為：．
16．（3分）如圖，在四邊形中，，，，，則的最大值是 ．
【解答】解：如圖，以為邊作等邊，連結(jié)，
，，
，，
為等邊三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
以為直徑作，則半徑為，
動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的上，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
在等邊中，，為的中點(diǎn)，
，
，
即的最大值為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共10小題，共102分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
則或，
，；
（2），，，
△，
則，
即，．
18．（10分）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）0能是方程的一個(gè)根嗎？若能，求出它的另一個(gè)根；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】（1）證明：△
，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：當(dāng)時(shí)，有，
解得，
當(dāng)時(shí)，方程為，
，，
能是方程的一個(gè)根，另一根為．
19．（10分）為了豐富校園文化生活，某校舉辦“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”趣味賽．比賽題目分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”“綜合與實(shí)踐”四組（依次記為，，，，小明和小剛兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從四組題目中隨機(jī)抽取一組，然后放回，另一名同學(xué)從四組題目中隨機(jī)抽取一組．
（1）小剛抽到組題目的概率是 ；
（2）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求小明和小剛兩名同學(xué)抽到的題目不是同一組的概率．
【解答】解：（1）由題意可得，
小剛抽到組題目的概率是，
故答案為：；
（2）樹狀圖如下所示：
所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有16種，小西和小安抽取結(jié)果相同的有4種，
小明和小剛兩名同學(xué)抽到的題目不是同一組的概率為．
20．（10分）某校為落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富課后服務(wù)內(nèi)容，為學(xué)生開設(shè)五類活動(dòng)（要求每人必須參加且只參加一類活動(dòng)）．音樂(lè)杜團(tuán)；．體育社團(tuán)；．美術(shù)杜團(tuán)；．書法團(tuán)；．電腦編程社團(tuán)．該校為了解學(xué)生對(duì)這五類社團(tuán)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：
（1）此次調(diào)查共隨機(jī)抽取了 200 名學(xué)生，條形統(tǒng)計(jì)圖中“．美術(shù)社團(tuán)”有 人；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角 度；
（3）若該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校選擇“．音樂(lè)社團(tuán)”的學(xué)生共有多少名？
【解答】解：（1）（名，
美術(shù)社團(tuán)的人數(shù)為（人，
故答案為：200，30；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角，
故答案為：54；
（3）（名，
答：該校選擇“．音樂(lè)社團(tuán)”的學(xué)生大約共有300名．
21．（10分）某網(wǎng)店銷售臺(tái)燈，成本為每盞30元．銷售大數(shù)據(jù)分析表明：當(dāng)每盞臺(tái)燈售價(jià)為40元時(shí)，平均每月售出600盞，若售價(jià)每下降1元，其月銷售量就增加200盞．為迎接“雙十一”，該網(wǎng)店決定降價(jià)促銷，在庫(kù)存為1210盞臺(tái)燈的情況下，若預(yù)計(jì)月獲利恰好為8400元，求每盞臺(tái)燈的售價(jià)．
【解答】解：根據(jù)題意，得，
解得（舍，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
答：每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元．
方法二：
設(shè)每個(gè)臺(tái)燈降價(jià)元．
根據(jù)題意，得，
解得，（舍．
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
答：每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元．
22．（10分）如圖，已知是外一點(diǎn)，請(qǐng)只用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)作的一條切線．（保留作圖的痕跡）
【解答】解：如圖，連接，以為直徑作圓交于、，
，即為所求．
23．（10分）如圖，在中，點(diǎn)在斜邊上，以為圓心，為半徑作圓，分別與、相交于點(diǎn)、，連接，已知．
（1）與有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）與相切，
理由：連接，如圖所示：
，
，
，
，
在中，，
，
，
是的半徑，
為的切線；
（2），，
，
，
，
即，
解得：，或（舍去），
，
，
，
，
，
是的切線，
，
．
24．（10分）為了讓同學(xué)們感受三角函數(shù)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，數(shù)學(xué)備課組開展了“利用三角函數(shù)測(cè)高”綜合實(shí)踐活動(dòng)．某活動(dòng)小組對(duì)操場(chǎng)外的居民樓進(jìn)行測(cè)量，如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)的仰角．在與點(diǎn)相距5.25米的測(cè)點(diǎn)處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)的仰角（點(diǎn)，與在一條直線上），求居民樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果精確到
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
則米，，米，
設(shè)米，則米，
，，
是等腰直角三角形，
（米，
米，
在中，，
，
即，
解得：，
（米，
答：居民樓的高度約為22.6米．
25．（12分）如圖①，已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．
（1）【證明與推斷】：
①求證：四邊形是正方形；
②推斷：的值為 ；
（2）【探究與證明】：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度，如圖②所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）【拓展與運(yùn)用】：正方形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，如圖③所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．
【解答】（1）①證明：四邊形是正方形，
，，
、，
，
四邊形是矩形，，
，
四邊形是正方形；
②解：由①知四邊形是正方形，
，，
，，
，
故答案為：；
（2）解：，理由如下：
連接，如圖，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，
在和中，
，，
，
，
，
線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；
（3）解：由（2）知，
，
，
，
、、三點(diǎn)共線．
，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，
，
，
，
，
，
；
，
設(shè)，則，
，
，
，
則，，
得，
解得：，即．
26．（12分）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線交拋物線于點(diǎn)，并且，
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第二象限，順次連接點(diǎn)、、、，求四邊形面積的最大值；
（3）在（2）中四邊形面積最大的條件下，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以點(diǎn)為圓心，為半徑且與直線相切的圓？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，如圖1所示．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，．
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
將，代入，得：
，解得：，
拋物線的解析式為．
（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，如圖2所示．
當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，，，，
，
，
，
，
．
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為9．
（3）連接，如圖3所示．
，，
，
．
，
，
．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的解析式為，直線的解析式為（可利用待定系數(shù)法求出）．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則過(guò)點(diǎn)且垂直的直線的解析式為．
聯(lián)立兩直線解析式成方程組，得：，
解得：，
兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，．
依題意，得：，
整理，得：，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
綜上所述：在這條直線上存在一個(gè)以點(diǎn)為圓心，為半徑且與直線相切的圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

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